A'(8in•J^.<Pl4-cos•}.72)4-(sin^^.U'^,4-^>os•y U'<Pj

58. Cela posé,, il est aisé de voir que les termes constants des équations différentielles donnent trois équations dé la forme suivante

-a/?{aX-^+2f*U)(A'0'o4-A"&"o)

/ -p(h^« + aaU)(ô',-hô;)-a/?U(fl'0,+«"0J-2/?«(A'Ô,-hA"e,) ' ^ ^ -a^a{U'0,4-U''0,)

-;?hM«'?. + «>,)-2/>a(A'(p,4-A>,)

+/>X-»( A"?, - A'ÇJ 4- ^pu ( U'Ô. - U'Ô,) -i-pP (n'e, - «' 0,)

-h/^(2KU-f-aX-^)(ô^-0;)-h2/>a(U>,-U'(p,)

\ -4-9/^«(A''(p,-A'?,)+a/?U(a>,-û'<pJ.

En égalant à zéro les termes qui contiennent sini}' ou cos^}' en facteur, on obtient les équations

h^?,4-7«9.-i-aU?,+7tt0,-f7«?-7«?.-l-7-(D?~V^*')Ç.

= (2aU'+2û'U + 9A'tt)9,4-(h»w+2aU)ô;-4-aA'U?„ + («'h^4-9«A')y,-f-{2aU"+«''X-')0,4-(2aU + aX-^)ô; -f.A"Â'^g,-h(a«"U + 2aU'' + 9^^A")(p,,

= (2aU''-|-a«"U4-9A''w)0,4-(h'MH-2aU)G';-f-2A''UÇ„ -h(«"h'4-9aA")<p.-(2«U'4-«'X'')Ôo-(awU + aX'')ô;' - A'X-^$,~(2«'U + 2aU'-|-9«A')y,.

Comme nous négligerons dans les équations finales les puissances de a', 6', c', . . . supérieures à la seconde, et que les quantités Çi, Çj,. • . , sont des quantités petites du premier ordre, il suffira, dans les équations précédentes qui donnent ces quantités, de conserver les premières puissances. Nous pourrons donc négliger les termes

{Dï — ipk^)l, («'h + 9aA')9„,...,

qui sont petits du second ordre; car, dans le milieu isotrope uniforme, on a, pour les vibrations transversales, <p«=o,

88 LIVRE m. -^ CHAPITRE IL

D? — 2pk^=o. Nous réduisons ainsi ces équations à la forme

(4) \ =(2aU'-^2«'U + 9A'tt)Ô,4-(h^K + a«U)ô;-f.aA'UÇ.

(5) { =(2aU"4-2«''U4-9A"a)9,-l-(h'«-+-2aU)0î-f-2A''UÇ, -(2aU'4-«'/-')Ô^-('2ttU-f-aX»)ô;-A7-^Ç^.

Des équations (4) et (5) on déduira les valeurs de ^i, Ç,,. . .; en portant ces valeurs dans les équations (3), on obtiendra les trois équations finales en ^o, vjo, Ço, qui détermineront, comme nous l'avons dit, la partie moyenne de la vibration, et, par suite, le phénomène sensible. Il est à remarquer que les parties périodiques, quoique insensibles par elles-mêmes, ne doivent pas être négligées dans le cours du calcul, parce qu'elles modifient les équations qui donnent la partie moyenne de la vibration, et introduisent dans ces équations des termes à coefficients constants.

Il est extrêmement probable, d'après l'ensemble des observations, que, dans les milieux transparents, comme le verre, la distance des molécules pondérables est beaucoup plus petite que la longueur de l'onde, c'est-à-dire que la quantité k est très-petite par rapport à h. Des équations (4) et (5) on tirera donc les valeurs de ^i, y},, Ç, , ^a, y}», Ç», développées en séries suivant les puissances croissantes du rap-

port 7-9 et on substituera ces valeurs dans l'équation (3). On

voit que les quantités ^t, ^a,. . ., sont en général de premier

, k ordre par rapport à ?-> et par conséquent par rapport à w, v, w^