Les directions de deux tangentes successives étant
dp
dt
61 ïï + d ïï = Tt + U dt = :!, ' + ,, " d ‘’
la perpendiculaire au plan déterminé par ces deux directions, ou la direction normale au plan osculaleur, au point p de la courbe sera donnée par l’expression
w -{- p ’dt) ou par dtV — .
La longueur du dernier vecteur étant évidemment égale au sinus de l’angle des tangentes précédentes, et par conséquent à cet angle lui-même, en négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur au premier, on obtiendra, en divisant ce vecteur par dp, qui lui est perpendiculaire, la direction du rayon de courbure, et le module du quotient sera égal à l’inverse de ce rayon. Ainsi une longueur égale à l’inverse du rayon de courbure, portée dans un sens contraire à celui de ce rayon, aura pour expression complète, comme il est facile de s’en assurer (n« 29),
p'‘p' ïp'" dt
La longueur du rayon de courbure portée dans le sens même du rayon serait donc
ce qui s’accorde avec la formule connue.
Remarquons que si l’on prenait pour variable indépendante l’arc de la courbe, compté à partir d’un point donné de cette courbe, on aurait
Tp'=1,p'=Up' et p" = düp', et comme SUp'dUp'=ld(Up')’ = 0, on
voit que p" sera perpendiculaire à p'. •
J1 est utile de remarquer qu’en général p étant un vecteur variable, dUp est perpendiculaire à Up, ce qui résulte immédiatement de la différenciation de l’équation (Up) 1 = — 1 , qui donne S(Up . dUp) = 0.
La première des expressions précédentes deviendra donc — p", et la seconde, qui donne le rayon de courbure, se réduira aussi à —
75. Pour avoir l’angle infiniment petit de deux plans osculateurs successifs, i! suffit de même de considérer les directions des deux perpendiculaires à ces plans
Vp’p* et Vp’p' dV p'p" = Vp'p* -{- d/Vp’p",
et de déterminer le vecteur-quotient de ces deux lignes. On aura pour l’expression de ce vecteur
m Vp’p* d<V(Vp’p». Vp'p»)
TW'‘ '
Développant le numérateur du second membre suivant la formule du n“ 60, il viendra pour l’expression de l’angle cherché, qu’on appelle l 'angle de torsion, au point p
rfp-gggv.
TYp'p"
76. L’angle que nous venons de calculer est donné par une longueur portée dans la direction de la tangente dp à la courbe considérée ; si l’on divisait par dp la ligno précédente, on obtiendrait un quotient purement numérique, qui est ce qu’on appelle l’inverse du rayon de seconde courbure et dont la valeur est, comme on voit,
sp*py
TW*'
77. Les directions de deux rayons de courbure successifs seront, d’après ce qui précède (74),
dVf rfUp' , d' Up' jÆ .
dt dt ‘ dt' ’
l’angle infiniment petit formé par ces deux rayons sera donc donné par
rf’Up'
... A(k dtV dV P ’ ’ dt
cet angle étant porté sur une ligne perpendiculaire au plan mené par les deux rayons de courbure consécutifs.
Mais on peut cncoro trouver une autre expression du même vecteur en prenant pour direction de ces rayons de courbure (7 4)
p'VpV et p'Vp"p' + dt j p'VpV + p"Vp"p' j , ce qui donne pour la valeur de l’angle cherché
dtX
/p^pY ,
i p'VpV
V p'VpY 1
r p'VpV.
VpY
vU
ù VoV
Or diV et diX —Â sont (74 et 75) des longueurs égales aux angles de
