DES RÈGLES PRINCIPALES DE CALCUL DES QUATERNIONS

1. Nous désignerons par i,j et k, trois symboles particuliers dont nous ferons constamment usage et dont nous fixerons plus loin le sens et les diverses transformations. En les considérant d’abord comme de simples quantités algébriques, on pourrait former avec eux des polynômes dont le plus simple est évidemment celui qui serait linéaire par rapport aux symboles et dont la forme générale est

p — a + ti + cj + dk,

où n, b, cet d désignent des quantités algébriques quelconques indépendantes des symboles i, j et k.

Ce quadrinome fondamental et irréductible p est ce que nous appellerons désormais un qualernion, sous la réserve des conventions particulières relatives aux symboles que nous ferons bientôt connaître.

2. Le premier terme a du polynôme précédent constitue ce que nous . appellerons la partie algébrique du qualernion. Nous le d< signerons souvent, pour abréger, parla caractéristique spéciale S placée devant le quaternion complet, en sorte qu'on aura

Sp = a.

Lorsqu’on retranche du qualernion cette partie, il se réduit à un trinôme entièrement symbolique qui constitue ce que nous appellerons la partie symbolique de ce qualernion, que nous désignerons aussi doréna-

vant par la caractéristique spéciale V, placée devant le qualernion complet, en sorte qu’on aura

et par suite

Xp = bi+cj + dk,

p = Sp + Xp.

Nous appellerons les qnatres termes irréductibles, a, bi, cj et dk, les parties constituantes du qualernion.

5. Nous conviendrons que deux, quaternions ne peuvent être égaux que s'ils sont composés identiquement des mêmes parties constituantes, et bien qu’on ne puisse encore attacher aucune idée précise de grandeur ü l’expression d’un qualernion, tel qu’il vient d’être défini, on conçoit facilement que les règles du calcul algébrique relatives à l’addition et à la soustraction sont applicables à des polynômes de celte espèce et donnent toujours comme résultat un autre polynôme do même forme. Ainsi en désignant par p et q deux quaternions définis par les égalités

p = a + bi + cj + dk, q = a'-)- bi + e j + d'k,

on aura

p ±q=z(a±c!) -j- (6±è')i + {eifcc'y -j- (d±<f)k.

On opérerait de même dans le cas où on aurait à combiner entre eux, par voie d’addition et de soustraction, un nombre quelconque de qualernious.

4. Éludions maintenant et tout d’abord le cas de la multiplication de deux quaternions, qui va être pour nous l’occasion de faire connaître les règles fondamentales et de poser les bases du calcul actuel. Si l’on effectue la multiplication des deux quaternions précédents p et q, d’après la règle ordinaire et en se bornant à prendre la précaution de ne pas intervertir l’ordre dans lequel les symboles se présentent commo facteurs, nous obtiendrions les deux identités suivantes, dont les seconds membres sont du second degré par rapport aux symboles

ad

-f- fai' -j- bd )i

+ (ad + ed)j

-)- lad' + da'jk

-f Mï*

cd' jk

db‘ ki

bd ij

+ cc'P

+ ddV

dd kj

bd' ik

cb' ji

et

qp= an + (ai' 4- ba’)i + ( ac ’ + ca'l;' + (ad' -f- da')k