Wi* ~f- dd jk -j - W ki 4- cb' ij
+ cc'j' -)- ce? kj 4- db ik + bdji
+ dd’k *.
On voit que les deux produits ne sont pas de forme identique, et qu'on ne peut pas écrire, au point de vue où nous nous plaçons,
pq = qp.
La différence des deux produits sera le polynôme symbolique du second degré suivant :
pq — qp = (cd—dd) (jk — kj) + (db' — bd') (ki-ik)-{-(bc‘ — cb') (ij —ji).
5. Pour simplifier l’expression du produit précédent et le ramener à la forme linéaire, nous conviendrons désormais de faire dans ce produit, sur les termes du second degré par rapport aux symboles, les substitutions suivantes, qui sont celles que M. Hamilton a le premier imaginées :
jk = — kj — i, ki — — ik —j , ij — —ji—k.
A l’aide de ce système de substitutions, les produits précédents se ramèneront à la forme normale, quadrinome et linéaire :
pq = aa! — bb‘—cd —dû -J- j (ad'-|- ia') -|- (ce? — de') j i + | (ac 1 + «O + (db' — éd')| j 4- 1 (ad da' 4 ~ — <*' ) j k
qp “ ad — bb — ce — dd'-f- j [a b' 4- bd ') — (cd‘ — de 1 j t 4- |(oc'4- cd) — db'— W)) j 4- |(a<f'4- da') — (bc — ci 1 ) J k
La comparaison de ces produits montre qu’ils ne sont pas en général
identiques, et fournit les relations
Spg = Sqp = aa ‘ — bb ' — cd — dd'
Xpq — j ( ab ' -f- ba') -f- cd' — dd) j 1 *1" { ( af> 4" co ) + (<W — bd') j /
+ Ja<f -f da") + tbd—cb')\k \qp=z j [ab' -f- ba") — (i'd‘ — dd) j « -j- j ( ac " + ca ) — (rfi' — bd' ) j j
+ Uad'+dd) — fie' — oi')J*
pq — qt> = \pq — Xqp = i j ( cd ' — dd)i- j* [db‘ — bd’)j -f- (bd — cb')k j .
6. Supposons, comme cela arrivera fréquemment dans les applications, quelesqualernions facteurs soient entièrement symboliques, ce qui revient à poser dans les formules précédentes
et désignons les deux nouveaux facteurs symboliques par les lettres * ct£, en sorte qu’on ait
o = il + cj -f- dk P = b'i + dj + d'k,
les identités précédentes deviendront
Sap = S?a — — W — cc — dd'
Vap = — Vpat = (cd ' — dc)i -f- (db' — bd’\j -|- (bc‘ — cb)k.
Remarquons, en outre, qu’on aura généralement :
2S»p = «? + Pi et V(*p + p«)=0 2V«p = ap — pa S{ap — pa)=0.
7 . Pour obtenir le produit d’un nombre quelconque de quaternions, on peut procéder de deux manières différentes. En considérant le produit à effectuer comme le résultat de plusieurs produits successifs de deux facteurs, auxquels s’appliquent les réductions précédentes, on arriverait facilement à un dernier quaternion comme produit final. Mais on peut aussi suivre une autre marche qui consiste à former le produit symbolique complet de tous les facteurs donnés, ayant, par rapport aux symboles, un degré
égal a» nombre des facteurs. On ne fait d’abord aucune réduction sur les symboles, ni aucune inversion dans leur ordre, puis on passe du produit symbolique au produit définitif, en calculant la valeur de chacun des produits composés uniquement de symboles pris comme facteurs, ces divers produits auront d’ailleurs nécessairement l’une des huit valeurs simples
±1, ±i, zhj ou ±k.
Par suite le produit définitif se ramènera immédiatement à la forme normale linéaire.
8. Considérons, pour éclaircir cette dernière méthode par un exemple, le cas où le nombre des facteurs serait égal à trois; les divers produits du troisième degré, formés avec les symboles et qui sont évidemment les seuls dont la valeur ait besoin d’étre connue, seront compris parmi les
vingt-sept suivants :
if, ik '
jk', j?
ki', kf
fi, k*i
i'k, fk
jij, kik
kjk, iji
iki, jkj
ijk, ikj
jki, jik
kij, kji
Il est facile de reconnaître que ces produits donnent lieu aux substitutions numériques correspondantes
qui permettront de déterminer la valeur d’un produit quelconque de trois quatcrnions.
9. L’examen des substitutions précédentes conduit à une remarque importante dans la théorie actuelle, savoir que l'un quelconque des produits de trois symboles conserve toujours sa valeur, quand on substitue au produit de deux symboles consécutifs sa valeur fournie par les substi-
substitutions fondamentales du n* 5. Ainsi on a par exemple
jf=ji.i = — ki =,/.r => — j ikj = ik.j = —jj = i.kj =— 1.« = + l, etc. , etc.
Celte remarque s’étend d’ailleurs au produit d’un nombre quelconque do symboles. Ainsi on aura
ijkik = i.jk.ik
parce qu’on a, d’après ce qui précède,
ik — (ii)
et
les points indiquant des symboles facteurs en nombre quelconque. On aura donc
ijkik — i{jk) {ik) = iï(— j) = — [ii)j —j ;
on aurait pu grouper autrement les facteurs et écrire dans le cas actuel ijkik =(ij)k (.*)=*•(.•*)=- [ik] =j.
On peut dire plus généralement encore qu’un produit d’un nombre quelconque de symboles conserve sa valeur, si l’on substitue à la place de plusieurs facteurs consécutifs le facteur uniquo qui leur est équivalent. C’est ainsi qu’on a, par exemple,
jijkijkkjkj = Ijijjk ( ij)k ( kjk)j = ikkkjj = ik = —j.
10 . Il est visible maintenant que la remarque que nous venons de faire s’étend au produit d’un nombre quelconque de quaternions même. Ainsi si p, q et r désignent trois quaternions, on aura
pqr — pq.r = p.qr.
En effet, en effectuant les multiplications algébriques, telles qu’elles sont indiquées, les termes des trois produits fînals ne différeront les uns des autres que par la manière dont sont obtenus les produits purement symboliques qui y entrent; or ces produits étant composés des mômes facteurs disposés dans un même ordre, donnent lieu, d’après le numéro
précédent, aux mêmes substitutions; par suite ces divers produits seront identiques. Cette conclusion est d’ailleurs générale et s’étend d’elle-mfime à un nombre quelconque de facteurs.
11. Lorsque deux quaternions ont une même partie algébrique et deux parties symboliques égales et de signe contraire, on dit qu’ils sont conjugués l’un do l’autre, et le produit de ces deux quaternions a pour valeur la somme des cariés des quatre coefficients numériques qui entrent dans chacun d’eux; c’est ce qui résulte de l’identité immédiate
(a-f- Ai -J- cj -j- dk) (a — bi — cj — dk) — n' + b' + d'.
Nous désignerons désormais le quaternion conjugué de p par la notation K P, et nous observerons que le produit de deux quaternions conjugués est indépendant de l’ordre dans lequel on les multiplie entre eux, en sorte qu’on a toujours, conformément à notre nouvelle notation,
pKp = Kp.p.
12. Le quaternion conjugué du produit de deux quaternions p et q est égal au produit des conjugués de ces facteurs multipliés dans un ordre inverse, en sorte qu’on a
K pq = K qkjj.
En effet, en conservant les notations du n° 5, on a
K p = a — bi — cj — dk K q = d — Vi — c’j — d'k
K pq — ad — bb' — cc'— dd — ( ad -j- bd -f- cd — dt')i
— (oc' -|- ca‘ -j- dd — bdjj
— (ad -f- dd -j- bc’ — cb’)k.
Si l’on change dans la seconde des formules du n“ o les signes de b , c, d, b\ c et d’, on obtiendra donc le produit
Kÿ K/;
et l’on vérifiera immédiatement quecc produit équivaut à celui qui précède et qui représente le conjugué du quaternion pq, donné par la première des formules du même article.
Ce théorème s'étend sans difficulté à un nombre quelconque de facteurs,
et l’on aura généralement
Kpçr= KrKÿKp.
Si les quateniions étaient privés de leur premier terme et réduits à leur partie symbolique «, |3, y, ô.... leurs conjugués seraient — «, —
— À, et l’on aurait par suite
K(s? X) = ±X Pi
en prenant dans le second membre le signe -+- ou le signe — , selon que le nombre des facteurs est pair ou impair.
13. Nous appellerons module d’un quaternion et nous désignerons par la notation T placée devant ce quaternion, la racine carrée de la somme des carrés précédents ; nous aurons donc
Tp = ^ a ’ -j- 6’ -f- c* -f- d' = V^/’K/> = ^Kp.p en désignant toujours par p le quaternion
p = a + bi + cj + dk.
14. Le quotient du quaternion p par son module Tp, donne un nouveau quaternion dont le module est l’uDilé. Nous appellerons un tel quaternion, une unité et nous la désignerons par la notation U, placée devant le quaternion dont elle dérive; ainsi l’on aura
rt « , b . , r • , à
‘ Tp ' Tl p ' Tp J ' Tp
le nombre de ces sortes d’unités est évidemment illimité; mais leur considération est trè3-ulile, comme on le verra bientôt.
15. Démontrons maintenant que le module du produit de plusieurs quaternions est égal au produit des modules des facteurs.
Si ce théorème était démontré pour le cas de deux facteurs, il est visible qu’il s’étendrait immédiatement au cas d’un nombre quelconque de facteurs. Or si l’on désigne par p et q les deux quaternions
p = a -f- bi -(- cj dk 1 = d+Vi+dj+ d’k,
on aura (o 0 5)
Tpç)’ = (flfl’ — AA' — cc' — dd')' -|- [aV -f- bd -f «/’ — dd)* + (ac' -}- ca' -j- dA' — bd )'
(ad" -|- dd + Ac — cti)'
d’où l’on déduit, en vertu d’une identité bien connue et due, je crois, à Euler,
(Tpq)' = (a* + A* + c* + <f*) fa'* + A'* + f '* + d"! = 'Tp)* (T?)* et par suite
Ipq — lplq,
ce qui démontre le théorème énoncé. Mais voici une autre démonstration fondée sur la remarque du n" 12.
On a en effet, d’après ce numéro
pqkpq — pqkqKp = p.qhq.Kp.
Or les deux produits qKq et pKp sont algébriques et égaux chacun au carré des modules de q et de p. On a donc
et par suite
PqKpq — (Tp)' (T q)', • T />? = TpT?,
ce qu’il fallait démontrer.
tfi. On voit, d’après cela, que le produit d’un nombre quelconque d’unités de quaternion aura toujours un module égal à l’unité et par suite sera une nouvelle unité. Ce qui donno lieu à la formule
Vpqr — UpUjUr.
17. Il importe de faire dès maintenant une nouvelle remarque importante, quoique d’ailleurs évidente : c’est que pour multiplier entre elles deux sommes de quaternions, il sera permis d’opérer par la règle ordinaire de la multiplication algébrique, en observant avec soin de ne pas intervertir l’ordre des facteurs. Ainsi on aura sans réduction
(p + q)' — }>' + pq + qp + q'
(P + q + r)' = p' + q' + r' + pq + qp + qr + rq + rp + pr.
Lorsque les quaternions ne se présentent pas sous leur forme complète,
les formules précédents et d’autres analogues sont susceptibles de réduction. Ainsi si «, (3, représentent des trinômes symboliques ou des quaternions privés de leur premier terme, on trouvera sans difficulté
Or on a (n* 6) donc
On trouverait de même
et comme on a (même numéro)
il vient
pa — ^ = 2Vp* = - 2V«P,
Celte formule se décompose dans les deux suivantes :
On établirait avec le même facilité les formules suivantes qu’il est bon de noter :
(a -J- P + v)’ == «’ + P' + If’ + 2Sip 2Spf 2 Sy*
(«+P + Y.» + *+W = a , + P , + 7 , + -»+* , + 2S«p+2SPY-|-2S.v + ...+aSxX.
18. La définition do la division présenterait quelque ambiguïté, si l'on se bornait à la présenter comme dans l’analyse ordinaire. On peut montrer en effet qu’il existe en général deux quaternions différents, qui, multipliés par un quaternion donné, produisent un autre quaternion également donné, pourvu que la multiplication se fasse dans les deux cas dans un ordre différent. Pour démontrer cette proposition, j’observe d’abord qu’il y a toujours un seul quaternion qui, multiplié par un autre quaternion donné, donne l’unité pour produit, ou ce qui revient au même, qu’à un quaternion quelconque correspond toujours un seul quaternion qui lui soit inverse. Soit par exemple :
P — a + ci + bj -f- dk,
un quaternion donné et
-ttr =r ui aà + yj + 1*,
son inverse, en laissant les quantités w, ,r, y et s indéterminées, elles devront être de telle sorte qu’on ail (n° 5)
mu — hx — cy — dz — \ tiw ox — dy -|- ci =s 0 cu>-{-dx-\-ay — bz — (I dtu — ex -f- by + az = O
on a encore
uw — bx — cy — dz—\ bw -f- ax +rfÿ — cz = 0 au — dx-\-ay + b; = 0 dw -| -ex — by + az — 0.
Or il est facile de reconnaître que ces deux systèmes sont identiques et donnent pour les inconnues les valeurs
tt ’~ (Tpj*’ *-&&• y ~w^' 2- (T>r
qui sont précisément les mêmes que celles que fournit immédiatement la considération du quaternion K p conjugué de p.
19 . Cela posé, si l’on demande maintenant de trouver un quaternion r qui, multiplié par un quaternion donné p, donne comme produit un autre quaternion donné </, le problème admettra les deux solutions distinctes
r, = qtzr et —
«r représentant le quaternion inverse du diviseur p, ou p~‘. Pour faire disparaître toute ambiguïté dans le choix de ces deux quotients, il suffira de ûxer la place qu’il occupe par rapport an diviseur dans le produit qui donne lo dividende. Mais on fait disparaître toute difficulté, en introduisant la considération du quaternion inverse du diviseur, que nous désignerons dorénavant par ce quaternion affecté de l’exposant — 1 , ou encore sous forme de fraction dont le numérateur exprimé ou sous-entendu est + 1 ; et les deux quotients écrits plus liant s’exprimeront respcc-
tivement par la notation
et
20. Lorsque les quatre facteurs numériques a, b, c et d, qui entrent dans l’expression du quaternion
p = a + bi + cj -j- dk
sont réels, on peut mettre ce quaternion sous une forme remarquable, que nous allons faire connaître, et qui conduit à une généralisation de la célèbre formule de Moivre, si utile dans l’analyse ordinaire.
Posons pour cela
il viendra
, » V'fc’+e’ + d* . V'c’ + d’ * . , d
j> — Tp |cos 9 + sin 9 (cos fi + sin o cos Ij -j- sin f sin iA) J .
On voit que de cette manière le quaternion p est exprimé à l’aide de quatre nouvelles quantités. Ce sont le module et les trois angles S, 9 et ■}; nous les appellerons les éléments de ce quaternion.
Le premier de ces angles 9 sera dit l’angle principal et les deux autres, les angles directeurs ou encore la colatilude et la longitude du quaternion. On verra dans la suite la raison de ces nouvelles dénominations.
21. Supposons maintenant qu’on ait le second quaternion p' — a' m (bi + cj -\-dk) satisfaisant à la condition
\p' — m Xp,
m étant une quantité algébrique ou numérique quelconque. L’angle principal 9' de ce quaternion sera donné par la formule
. „ my/A’ + c’-M* m
tg 9 = — î — — — = — tg 9
et l’on aura
p = Tp' £cos 0' -|- sin 6' | cos çj -f- sin ep cos +/ -J- sin y sin i/k J J
les angles directeurs du quaternion p' étant les mêmes que ceux do p. Le produit des deux quaternions p et p' jouit de la propriété do ne pas changer de valeur lorqu’ou change l’ordre des facteurs, et conserve encore la même forme que les précédents, c’est-à-dire les mêmes éléments directeurs; il est donné par la formule remarquable
pfi = Tp ^cos 9 + sin 0 [a]^ Tp' ^cos 0' -f- sin 0' [a] j =TpTp' (cos (b + S')
+ sin (8 + 8') [aj^
dans laquelle nous représentons pour abréger par [«] le trinôme symbolique
cos «i sin f cos ifj -|- sin f sin tyk
que nous appellerons aussi le trinôme directeur du quaternion. *
Cette formule s’obtient facilement au moyen de celle du n’ 3 qui donne le produit pq. En posant en effet, dans cette dernière,
a — cos 9 b = sin 8 cos o c = sin 8 sin f cos d = sin 8 sin ? sin 4 a' = cos 8' b' = sin 8' cos o c' = sin 8' sin ? cos <j< d' — sin 8' sin o-sin i
il viendra
S pq = cos 8 cos 6' — sin 8 sin 8' = cos (8 -f- 6 j et
Vpy = (cos 8 sin 8' -j- cos 8' sin 8) cos fi
-f- (cos 8 sin V cos 8' sin 8^ sin f cos <| >j
-f ^cos 0 sin 8' -f cos 8' sin 6^ sin ® sin *= sin (6 + *)(«].
Ou aura donc
pq = cos (6 -f 8') -f- sin (8 + #1 [«] et par suite l’expression précédente du produit pp.
22. Cette formule nous permet d’exprimer toutes les puissances d’un quaternion, quelle que soit la valeur de l’exposant; la marche à suivre sera identique à celle qui sert à établir la formule de Moivre, et l’on aura à faire la même discussion sur les valeurs multiples des radicaux. Le symbole [a] jouera ici le rôle de y/— 1 dans l’analyse ordinaire et nous obtiendrons ainsi la formule générale
p m = (T/))" j cos mO -)- sin m 8 [*] j ,
0 désignant l’angle principal du quaternion p mis sous la forme p = a + 4i -f ç/ 4- dk — Tp (cos 8 -J- sin 0 [a]),
en posant
Ig 0 = - — et
v'4* -f c' + ti'
■ (W + 9 + dk).
23. Après avoir examiné les diverses fonctions élémentaires qu’on peut former avec les qualernions, il nous reste à voir comment il est possible d’exprimer et de définir les fonctions transcendantes. La méthode la plus simple à cet effet me parait être celle qui repose sur la considération des séries convergentes. Pour en donner une idée, nous l’appliquerons à l’étude de la fonction exponentielle ef, où e représente comme à l’ordinaire la base des logarithmes népériens et p un quaternion quelconque. Dans le cas où p se réduit à uue quantité purement algébrique, on sait qu’on a
e , =zl + Z + lL + -lL + etc
en prenant dans le second membre un nombre illimité de termes ou plutôt la limite vers laquelle tend cette série. Convenons qu’on mette au lieu de la quantité précédente un quaternion p, le second membre représentera une fonction transcendante de p que nous désignerons encore par la même notation e p et que nous appellerons la fonction exponentielle de p.
Il est facile do s’assurer d'ailleurs que la série reste encore convergente et que la fonction e’’ est bien définie. Car soit, comme plus haut,
p = a + Ai -j- cj + dk = T p (cos 0 -f- sin 8 [«]),
la substitution de p dans la série donnera le mémo résultat que si l’on remplaçait p par la quantité algébrique imaginaire
T/» (cos 8 + sin 8 y / — l), d’où il résulte que si l’on pose
X = T p sin 8,
■/ désignant un nouvel angle, on aura
— e r =e s, (cos y + Sin X [a]).
Telle est donc l’expression fort simple à laquelle on peut toujours ramener la fonction exponentielle. Elle se réduit, comme on voit, à un quaterniou, ayant pour module l’exponentielle de la partie réelle du quaternion donné p, pour angle principal l’angle % défini ci-dessus et ses deux autres angles directeurs égaux à ceux du même quaternion p.
2!i. Voyons maintenant à quoi se réduit la fonction inverse de la précédente. Pour cela remarquons qu’on a
e» = «*>><• Xi’l = q
en représentant par q le quaternion équivalent à l’exponentielle e v \ d'ou il résulte que si l’on appelle par analogie logarithme de q le quaternion p qui satisfait à l’équation précédente , dans laquelle on considère q comme donné, et qu’on désigne par la notation p=log <7 ce logarithme, on aura
s /' + (*-f-2for) H = logy,
k étant un nombre entier positif ou négatif quelconque et -a le rapport de la circonférence au diamètre. On voit do plus que Sp=Slogç et que l’angle y est égal à un multiple pair de jt près à l'angle du quaternion q.
25. On conçoit que l’analogie qui existe entre le symbole [a] et l’imaginaire y/— T peut être poussée beaucoup plus loin. Supposons, en effet,
qu’on puisse définir sans ambiguïté, par un simple développement en série convergente dont les termes soient ordonnés par rapport aux diverses puissances entières de s, une fonction quelconque F(s) de la variable imaginaire s, de telle sorte qu'on ail
les coefficients A 0 , A,, A,... A,, A, étant des quantités quelconques entièrement indépendantes de s, on aura le même développement en remplaçant z par un quaternion q et l’imaginaire \J — t qui entre dans z par le symbole [*]. D’où il résulte que tous les beaux développements suivant les sinus et les cosinus d’un même arc qu’on rencontre fréquemment dans la physique mathématique et la mécanique céleste peuvent être étendus cl appliqués au calcul des quaternions. Je n’insisterai pas pour le moment sur cette remarque dont on comprendra sans peine toute l’importance, et je me contenterai seulement d’en faire l’application à la célèbre formule du binôme de Newton.
26. On sait, d’après un beau théorème de Cauchy, que la puissance (1 +s)” est toujours, quel que soit l’exposant m, développable par la formule de Mac-Laurin en une série convergente ordonnée par rapport aux puissances croissantes de la variable imaginaire s, tant que le module de z est inférieur à l’unité. On a donc, sous cette condition,
le second membre étant une série illimitée, quand on suppose, comme nous le faisons ici, que l’exposant m n’est pas un entier positif. Remplaçons maintenant s dans celle formule par un quaternion quelconque p dont le module Tp soit inférieur à l’unité et dont la partie symbolique, qui dépend uniquement des angles directeurs, soit représentée par [«], nous obtiendrons la suivante :
/ii . . i m i »»('« — t) , ,
( H- Pi" = 1 + y P H j-<r^ P + •
En particulier, si l’on fait dans cette dernière m = — j et m — — |, on
obtiendra les deux autres dérivées de la précédente
( i +/ ,)-. ! =i -î,+gi*-
+ etc.
+ etc.
Ces deux séries, dont la loi est évidente, trouvent leur emploi dans le développement symbolique de la force perturbatrice du mouvement elliptique des planètes.
27. Lorsqu’on a à considérer des quaternions comme fonctions d une quantité réelle, variable, analogue au temps, il faut, pour que cette fonction soit continue, que les parties constituantes du quaternion varient toutes d’une manière continue en même temps que la variable indépendante. Ainsi soit
p = w -f » + J# + iky
un quaternion quelconque fonction continue d’une seule variable indépendante /, et A£ un accroissement quelconque fini de (; celui de p, Ap, qui y correspond, sera donné par la formule
Ap = Au -f- Axi 4- Aj (j -|- A ik.
dans le cas où le quaternion p est continu, il y a lieu de considérer le quaternion dérivé de p , et on trouve immédiatement par la considération des limites, et en employant la notation connue
dt~dt + dt + dt J + dt
On obtiendrait de même toutes les dérivées- successives d’ordre plus élevé, et, dans le cas où le quaternion p dépendrait de plusieurs variables indépendantes, les diverses dérivées partielles de ce quaternion.
28. Parmi les diverses formules auxquelles conduit le calcul différentiel appliqué aux quaternions, nous en distinguerons d’abord quelques-unes d’une application fréquente, et par lesquelles nous terminerons les considérations préliminaires qui font l'objet de cette section.
Proposons-nous d’abord d’obtenir l’expression de la dérivée du
module du quaternion p. On aura celte suite d’identités
dTp djw' + x' + y' + z' __ 1 dw , dx A Jy , . d- ,
~df ~ dt lp\ dl + X dl +y dl + * d/, 1
d'où on déduit
— T/j S dt
Kp = T/)S — — S P
d log T p dt
dp
qui montre que la dérivée du logarithme (népérien) du module d'uu quaternion a pour expression la partie algébrique S du quotient de la division de la dérivée du quaternion par le mémo quaternion.
29. La dérivée de l’unité d’un quaternion donne aussi lieu à une formule analogue. On a
TpUp=p;
d’où l’on tire en différenciant
dTpVp + dVp . Tp= dp,
et en multipliant par l’inverse de p ,
dTp düp dp
Or, d’après le numéro précédent
donc
düp dp dp y dp
Vp ~ p p p ’
On voit, d’après celle formule, que le quotient de la dérivée de l’unité d’un quaternion divisée par celte unité équivaut ù la partie symbolique V du quotient de la dérivée du quaternion divisée par le quaternion.
30. Si dans la différenciation du quaternion, exprimé en fonction de ses quatre éléments, les deux éléments directeurs étaient considérés comme
constants, on aurait, en désignant par 9 l’angle principal du quaternion p et par [a] la fonction symbolique constante formée avec les éléments directeurs
li/j = cos 6 + sinO[stj 6 [a] = logl>,
[a] = dlogl'p.
Or, en différenciant la première de ces équations, il vient
dUp — ( — sin 0 -f- COS 0 fa] j df) = (cos (^ + 0 j + si II (g r )J [ï]^ </0 ;
d’ou l’on lire
^ = (cos 5 + sin 5 la] j dû = la] dû = d log U//.
De là , ce théorème analogue à celui du n° 28 : lorsque les seuls éléments variables d’un quaternion sont le module et l’angle principal, la différentielle du logarithme de son unité est entièrement symbolique et équivaut an quotient de la différentielle de l’unité du quaternion divisée par cette unité elle-même, et par suite, d’après le numéro précédent, à la partie symbolique du quotient de la dérivée du quaternion divisée par le quaternion.
31. La différentielle complète d’un quaternion quelconque peut donc toujours être mise sous la forme suivante :
= dTp . ( S g + V |) Up = ( S ^ + V *) p .
Ces dernières identités sont d’ailleurs évidentes, car on a dp = dpp'p = dp[Up)-'\Up), ce qui donne immédiatement
Lorsque le quaternion p se réduit à un trinôme symbolique assxi + yj + zk.
on a
et par suite
On aurait aussi da
Toutes ces dernières formules sont d'une application fréquente.
32. On peut aussi obtenir, par une opération inverse, un qualcrnion dont la dérivée ou la différentielle serait donnée, et ce problème revient évidemment, dans le cas simple où nous plaçons, à effectuer quatre quadratures sur les parties constituantes du quaternion donné. Ainsi, si ce dernier est toujours
p = w + xi-\-yj-\-tk.
rfTa = — S da Ua,
rfUot:
aV(rfa
(Ta)'
et S IxdL'a) — 0.
: «/Ta . Ua + Ta . dUa = dTa . L'a +
Ta
et que ( soit la variable indépendante, on aura
pdl = J wdt i ( xdt -\-j ^ ydt -f- k ^ :dt -f- c".
La constante étant ici un quaternion quelconque indépendant de t.
33. Il est bon de noter quelques cas d’intégration immédiate. Ainsi de la relation
dT p o dp
