DE L’INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES SYMBOLES

36. Nous avons vu (n* 20) qu’on peut exprimer algébriquement un quaternion donné quelconque par le produit de son module multiplié par une fonction de trois angles. Parmi ces quatre éléments de quaternion , les deux que nous avons appelés directeurs entrent seuls dans la partie symbolique de la fonction précédente et forment un trinôme, qui se réduit, comme il a été dit, à la forme

= cos fi + sin ? cos tyj sin f sin <1»A- = [a]

li + mj + ni ^t' + m' + n'

et dont le module est égal à l’unité. Or on peut représenter ce trinôme, appelé aussi directeur (21), par le point de la sphère de rayon égal à un , qui aurait ces angles 9 et pour coordonnées polaires par rapport à un point fixe pris pour pôle. En traçant sur la sphère le grand cercle équateur correspondant à ce pôle, et en prenant dessus une origine quelconque pour les longitudes, le point dont il s’agit aurait une

longitude égale ù et une latitude égale à ^ — 9: l’angle 9 représen-

tant ici la distance du point au pôle considéré, ou encore ce qu’on peut appeler la colutitude de ce point. Les trois symboles i, j et k correspondent aux-mèmes à trois points de la sphère éloignés l’un de l’autre d’un quadrant, savoir : i au pôle, j à l’origine des longitudes, et le dernier svm-

bole A au point de l'équateur, dont la longitude est égale à Si l'on joint

le centre 0 de la sphère à ces trois points, ainsi qu’à celui qui est défini par le trinôme précédent [a], les projeclions de ce dernier rayon sur les trois premiers, considérés comme formant un système de trois axe6 coordonnés rectangulaires, seront

\7*-f-ro* -f-n* y/’ -J- m* + n* \U* -(- m’ n*

ou encore

cos y , sin y cos <!> et sin <f sin $ ,

et inversement ces projections définissent la position de ce point sur la sphère, ainsi que nous venons dè le montrer.

37 . Le même trinôme symbolique directeur [a] peut aussi servir à représenter un plan perpendiculaire au rayon précédent; l’angle ç désignerait alors l’inclinaison de ce plan sur l’équateur, et l’angle 4 l’angle que fait l’intersection du plan et de l’équateur avec le rayon correspondant au symbole A-, de sorte qu’en prenant ce dernier point pour origine des longitudes , et en conservant les désignations en usage en astronomie, © et 4 ne seraient autre chose que l'inclinaison et la longitude du nœud qui suffisent, comme on sait, à fixer la position du plan considéré.

Ainsi, on voit qu’en traçant sur la sphère un triangle tri-rectangle dont les sommets I, J et K correspondraient aux trois symboles i, j et A, un trinôme directeur quelconque, tel que

li -f mj + nA . , . , . . , .

;*! = — — s= cos 01 -J- sin y cos 41 -f- sin o sin i>k

peut servir à représenter soit un point A de la sphère éloigné de I, de l’angle <ç et tel que 4 est égal à la distance de J au cercle mené par AI, soit le grand cercle de la même sphère ayant A pour pôle, qui fait avec le cercle JK un angle égal à 9 et dont l’intersection avec le même cercle JK est à une distance de K égale à l’angle 4.

Nous conviendrons d’appeler vecteur le rayon OA, qui sert ainsi à représenter ou à définir le symbole [a] ; mais nous donnerons dans la suite une plus grande extension à cette dénomination, en désignant de ce nom

une longueur portée dans une direction arbitraire, dont les projections sur les axes auraient des valeurs quelconques /, ra et r», et qui serait représentée par le trinôme symbolique

/» + mj -j- nk = ifl' + m* -(- n* [*] ,

de sorte qne si [a] désigne le rayon OA de la sphère précédente, en portant sur ce rayon, prolongé s’il est nécessaire, à partir du centre O, une

longueur OA' égale à \J C -H m’ -+- n‘, OA' sera le vecteur correspondant au dernier trinôme.

38. Soit maintenant un second vecteur dcGni par les nouveaux angles directeurs, <f, et tji,, et correspondant au trinôme

, — (/,• + mj + n,&) = cos ç,i + sin o, cos i/J -f sin sin <(-,*

vV+ «•,*+« i*

que nous désignerons aussi pour abréger par [a,]. Le produit des deux trinômes [«] et [a,] sera un quaternion p ayant un module égal à l’unité, et les deux parties S p et Vp de ce quaternion auront les valeurs suivantes :

Sp= S[«] [«,] = - ("■ + m w ; + = -

v V ri . , (wn, — nm,]i + (w/, — — ml,)k

V P + m* + n* vV + m i* + «,’

- co s 9 = sin 6 [P|

en désignant par 0 l’angle plus petit que r, que font entre eux les deux vecteurs [a] et [a,], et par f(5] le vecteur-unité perpendiculaire à leur plan, mené de telle sorte qu’on puisse faire coïncider [a] avec [*,] par une rotation directe autour de [p] comme axe, égale à l’angle 0. Ces résultats simples se déduisent immédiatement de formules élémentaires très-connues. Remarquons qu’en changeant le signe du facteur [a,] on obtient son inverse (n° 18), et que la multiplication précédente se transforme en une division. On aura donc aussi, en appelant q le quotient de la division de [a] par [a,],

;SL-j=— SMKi

//, -j-mm, -f-nn,

Yj v ( g l v [g 1M ”. w )« + (",* — 1 > »]j+ (l,m — m,l)k

— — sin 0 [p],

l’angle 8 et le vecteur [p] conservant la signification précédente. Nous sommes ainsi conduit à la règle suivante :

Le produit et le quotient de deux rayons de la sphère donnent deux quaternions égaux et de signe contraire. La partie algébrique du produit de ces vecteurs est égale à la projection de l’un d’eux sur le prolongement de l'autre, et la partie symbolique du même produit est égale à l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs, multipliée par le trinôme symbolique directeur correspondant au rayon perpendiculaire au plan de ce parallélogramme, et dirigé de telle sorte qu’une rotation moindre que n autour de ce rayon puisse amener, dans le sens direct, le multiplicande à coïncider avec le multiplicateur. Les deux parties du quotient des mômes vecteurs sont par suite les mêmes que celles de leur produit changées de signe.

Ajoutons ici celte remarque importante et qui se déduit immédiatement des formules précédentes, à savoir : que le produit ou le quotient de deux vecteurs parallèles se réduit toujours à une quantité numérique, tandis que le produit ou le quotient de deux vecteurs perpendiculaires donne toujours un simple vecteur perpendiculaire au plan des premiers.

Nous confondrons désormais dans le langage, sans qu'il puisse en résulter d’équivoque, les opérations faites sur les trinômes symboliques avec les opérations analogues effectuées sur les vecteurs correspondants.

39. Il est visible maintenant qu’on peut considérer toute unité de quaternion Up comme le produit ou le quotient de deux vecteurs. En effet, si l’on appelle 9 l’angle du quaternion, cette unité sera de la forme

Up = cos 6 -f sin 9 [p],

[(3] étant le vecteur défini par les deux angles directeurs du quaternion p; or si l’on mène dans le plan du grand cercle de la sphère perpendiculaire au vecteur [p] deux rayons [a] et [a,] faisant entre eux un angle égal à 0 , et tels qu'on puisse appliquer [«,] sur [a] par une rotation dans le sens direct égale à 9 autour de l’axe [p], d'après ce qui vient d’être dit le quaternion Up sera égal au quotient de [a] divisé par [«,], ou, ce qui revient au même, égal au produit du premier vecteur par le vecteur opposé au second.

On peut mieux se représenter ce résultat en traçant sur la sphère un arc de grand cercle AA, égal à 9 et ayant pour pôle le point B, extrémité du vecteur [(5], (lo telle sorte que le chemin AA, soit décrit sur la sphèro d’un mouvement direct par rapport à ce pôle, en allant de A, à A, ou d’un mouvement rétrograde en allant au contraire de A à A,. Cet arc AA, déterminera donc par ses extrémités A et A, le rayon dividende et le rayon diviseur, dont la division donne pour quotient le quaternion Up. Il est évident do plus que cet arc est susceptible de glisser à volonté sur son cercle et de prendre toutes les positions possibles sans que la valeur du quaternion quotient, représenté par cet arc, soit altérée.

/|0- Outre cette représentation géométrique des unités de quaternion, au moyen des arcs do grand cercle d’une même sphère, on peut encore en imaginer une seconde, non moins simple, qui lui est réciproque. Pour cela, décrivons de chacune des extrémités de l’arc AA,, comme pôles, deux arcs de grand cercle; ils se couperont au point B et détermineront par leur intersection l’angle sphérique CBC,, dont la grandeur sera bien déterminée et égale à 9 ou à l'arc AA,, et dont les côtés, susceptibles d’ailleurs de prendre une infinité de positions différentes autour du sommet B, seront placés de telle sorte qu’on aille dans un sens direct ou dans un sens rétrograde deC, à Cou de C à C, dans l’intérieur de cet angle. Remarquons de plus que si l'on prolonge les côtés de cet angle, ils se couperont en un second point B, , opposé au premier B suivant un diamètre, et formeront un fuseau complet CBC, B, compris entre deux demi-cercles, lequel représentera encore lo mémo quaternion, soit qu’on prenne B ou B, pour sommet de l’angle, pourvu que le sens qui amènerait i'un de ces demi-cercles sur l’autre, pour décrire le fuseau , soit toujours direct de C, à C ou rétrograde de C à C,. Le vecteur qui correspond au sommet B ou au pôle de l’arc représentatif AA, du quaternion, et dont la considération est, comme on voit, importante, s’appelle l 'axe du quaternion, de môme que l’arc AA, s’appelle l’arc de ce quaternion.

il. Il est maintenant facile de donner la signification géométrique du produit de deux, et par suite d’un nombre quelconque de quaternions unités. Nous sommes même ainsi conduit à deux résultats de forme différente et d’égale simplicité, selon que les quaternions facteurs sont repré-

sentes par des arcs de cercle ou par des angles sphériques. En premier lieu, pour effectuer la multiplication de deux qualernions, p et q, donnés par leurs arcs, imaginons qu’on construise un triangle sphérique ABC tel que les deux arcs BC et CA représentent et définissent les deux qualernions facteurs p et q; il est évident que la construction de ce triangle sera toujours possible, à cause de la faculté qu’on a de déplacer à volonté sur chaque cercle l'origine de l’arc représentatif d’un môme quaternion. Désignons maintenant par [«], f/5] et [y] les trois vecteurs correspondant aux sommets de ce triangle, on aura, d’après ce qui précède ,

donc le produit r=pq sera (n” 10)

na m m

IPI

et par suite, l’arc représentatif du quaternion r sera le côté BA du triangle sphérique actuel ABC.

On déterminerait de même le produit du quaternion précédent par un troisième facteur s et ainsi de suite, et l’on arriverait toujours, en suivant cette marche, à un dernier arc qui représentera le produit cherché.

Ô2. Supposons en second lieu que les facteurs quaternions soient donnés comme des angles ou des fuseaux sphériques, et commençons d’abord par déterminer, comme précédemment, le produit de deux quaternions. Pour cela imaginons qu’on construise les arcs représentatifs de ces quaternions, et à leur aide, comme ci-dessus, le triangle sphérique ABC dont le côté BA serait l’arc correspondant au produit cherché. Déterminons ensuite sur la môme sphère le triangle sphérique polaire A'B'C' du triangle ABC, dont les sommets A', B' etC' soient respectivement les pôles des arcs BC, CA et AB, il est évident que les deux quaternions facteurs p et q seront représentés par les angles extérieurs du triangle polaire dont les sommets sont en A' et en B', et qnc le quaternion produit r le sera aussi par le troisième angle extérieur ayant son sommet en C'. Od peut représenter les divers sens de ces angles en employant

trois lettres pour désigner chaque angle, ainsi qu’il suit :

p = CATV.

q — A'B'C', r — pq = A'C'B'.

Le sens rétrograde étant encore ici indiqué en allant de la première lettre à la dernière, ou plutôt du cerclo représenté par les deux premières, à celui qui est représenté par les deux dernières, en faisant tourner autour de chaque sommet suivant l’angle extérieur correspondant du triangle.

On aurait pu évidemment construire immédiatement le triangle A'B'C' sans passer par le triangle auxiliaire ABC, et l’on arriverait au même résultat, en faisant bien attention au sens respectif de chaque angle. Il est visible que celte construction s’étend, comme la précédente, à un nombre quelconque de quaternions donnés.

43. Nous allons faire quelques applications bien simples des théorèmes précédents. Considérons en premier lieu deux triangles sphériquee ABC et AB,C, qui aient un angle commun en A compris entre des côtés égaux chacun à chacun et situés dans le prolongement l’un de l’autre. Désignons par p et q les quaternions représentés par les arcs AB et BC du premier triangle, on aura (n* il)

pq — AB . BC = AC s= C, A et

C,A. AB, = C,B, = pgp'-

Ainsi l’arc C,B, représente un quaternion obtenu en multipliant l’arc BC =<7 à droite et à gauche par Tare AB = p et son inverse AB, = p l . Cette double multiplication n’altère donc pas la grandeur de l’angle du quaternion q puisque l’arc C,B, est égal en grandeur à l’arc BC; elle change seulement la position de l’arc primitif BC du quaternion q en lui donnant la même inclinaison par rapport à l’arc du quaternion p, mais en transportant le point B sur cet arc à une distance égale au double de la longueur BA de l’arc du quaternion p.

44. On arrive aussi au même résultat en faisant la multiplication par la règle du n" 42. Soient en effet ABC et AB,C deux triangles sphériques

symétriques par rapport au côté AC commun , et désignons par p et q Jes quaternions représentés par les angles extérieurs CAB et ABC du premier triangle, le produit pq sera représenté aussi par l’angle extérieur ACB, et par suite aussi par l’angle B,CA qui peut lui être substitué; or la multiplication de ce dernier angle par p~‘ ou par l’angle extérieur CAB, donne l'angle CB, A extérieur au second triangle AB, C , c’est-à-dire un angle égal en grandeur à l’angle de q, et dont le sommet B, s’est déplacé en tournant autour du pôle A par une rotation de même sensque l’angle de p et égale au double de cet angle. Le résultat auquel nous sommes ainsi conduit pour l’interprétation géométrique du produit

WF'

concorde d’ailleurs évidemment avec celui du numéro précédent.

fj5. Il devient maintenant facile, d’après nos notations, de représenter symboliquement la position que prendrait un corps déterminé B, après une rotation de grandeur connue, autour d’un axo fixe passant par un ses points. Pour cela désignons par p un quaternion-unité correspondant à l’axe de rotation et ayant pour angle la moitié de celui qui indique la grandeur de la rotation du corps. On aura en désignant par (B,) les diverses positions des vecteurs menés aux différents points du corps par le point fixe, et par (B) les positions primitives de ces vecteurs avant la rotation

On exprimerait de même symboliquement la position dn même corps, après plusieurs rotations successives autour d’axes donnés et passant par le même point, en formant les divers quaternions p, q... et r correspondant à ces rotations, et l’on aurait

[B,) = r ÎP[Blp-’r‘ *-*•

Cette formule peut encore être mise soas la forme suivante :

[B.| = «* çVlBlp'V*

p, q... r désignant maintenant les quaternions qui déterminent successivement les axes et les angles de rotation.

— Si —

46. Il résulte de là qu’on peut composer autant de rotations successives qu’on voudra en une seule, car d’après un théorème démontré (n* 12), on a

K(b q/i) = KpKq K r ;

d’où l’on déduit

donc si l’on pose

(r qpY' = P~'q~' r '>

f* •>*•• çp S j

oo aura

»■ ÎPtBlrV r 1 = s[B)j

et par suite la première formule do l'article précédent devient

(B,) = *lB]r-.

La seconde formule de cet article est susceptible de la même transformation. En posant

Elle devient

Ce qui démontre la proposition énoncée.

47. On peut encore obtenir autrement les diverses rotations successives dont il est ici question. Soient A, B,C,D,... H, K les divers sommets d’un polygone sphérique quelconque tracé sur une sphère fixe de rayon égal à l’unité, qui aurait pour centre le point 0 du corps considéré. Supposons que la première rotation imprimée à ce corps ait pour effet d’amener en B, par le chemin AB, le point du corps qui coïncidait primitivement avec le point A de la sphère fixe, et que les autres rotations fassent successivement décrire au môme point les arcsBC, CD,... HK. Lorsque toutes ces rotations auront été effectuées le point du corps qui coïncidait primitivement avec A se sera transporté en K, donc on peut remplacer toutes les rotations précédentes par deux autres : l’une qui aurait pour effet de déplacer le corps suivant l’arc AK, et l’autre de le faire ensuite tourner autour de l’axe OK. Pour déterminer la grandeur de cette dernière rotation , considérons la droite liée invariablement au corps qui

avait primitivement la position de la tangente à l'are AK , menée au point A. Cette ligne se déplacerait par les diverses rotations effeetnées suivant les arcs AB, BC... et HK, et il est visible qu'on pourrait l’amener à devenir successivement tangente à tous ces àrcs en faisant effectuer au corps, autour des rayons oA, oB,.., oH et oK, des rotations respectivement égales aux suppléments des angles du polygone sphérique, et dans le sens même du périmètre de ce polygone. De cette manière lorsque le corps sera arrivé à sa dernière position, la droite tangente primitivement à l’arc AK sera redevenue tangente au même arc en K. Or on peut supprimer toutes les rotations autour des axes oA,oB,...oH et oK,au moyen d’une dernière rotation autour de oK égale à la somme des suppléments des angles du polygone et de sens contraire à la précédente. Si l’on change le sens de cette rotation en retranchant la somme précédente de %r, on obtient le théorème suivant : ' .

Lorsqu’un corps quelconque ayant un point fixe placé au centre d’une sphère immobile de rayon égal à l’unité, est déplacé successivement au moyen de diverses rotations effectuées suivant les divers arcs de grand cercle AB, BC. .. HK d’une ligne polygonale ABCD... HK donnée, on peut toujours faire passer le corps de sa première à sa dernière position par une rotation suivant l’arc de grand cercle AK qui ferme la ligne précédente, suivie d’une seconde rotation dans le sens avec lequel on parcourt le périmètre AB. . . KA et dont la grandeur est égale à l’angle qui représente la surface du polygone sphérique formé.

On sait, en effet que cet angle a précisément pour valeur

A, B,... H et K désignant les divers angles du polygone sphérique considéré.

Remarquons que si les sommets A et K du polygone venaient à coïncider, la première rotation deviendrait nulle et la seconde serait encore égale à la surface du polygone ABC... H.

Le théorème précédent paraît avoir été découvert parM. Hamilton,qni V a été conduit par la théorie des quaternions. On voit, par ce qui précède, qu’on peut aussi le démontrer par un raisonnement géométrique fondé sur des considérations tout élémentaires.

48. Revenons maintenant à l’analyse symbolique, et soient p,q,...selt les quaternions représentés par les divers côtés AB, BC,... HK, KA du polygone sphérique précédent. La règle de la multiplication donnée (n* 41) fournira facilement l’arc qui correspond au produit

■ i * ii

On voit donc d’après le théorème précédent combiné avec celui du n* 44, que cet arc aura pour pôle le point A, et en second lieu, que sa longueur sera égale à la moitié de l’aire du polygone AB... HK (divisée, bien entendu, pour rétablir l’homogénéité par le rayon de la sphère égal à l’unité de longueur).

De là résulte immédiatement une construction bien connue et attribuée, je crois, à Gudermann , de l’arc qui représente l’aire d’un triangle sphérique, ou de ce qu’on appelle aussi V excès sphérique. Mais le théorème précédent donne la construction générale pour un polygone sphérique quelconque.

49. La multiplication appliquée au cas important où les facteurs sont des vecteurs en nombre quelconque donne lieu à un grand nombre de conséquences géométriques très-utiles dans le calcul actuel. Examinons en premier lieu le cas de la multiplication de trois vecteurs, et supposons d’abord que ces vecteurs soient perpendiculaires à une môme direction ou, ce qui revient au même, soient situés dans un môme plan. Comme l'origine do chaque vecteur est arbitraire, puisqu’on ne change pas la valeur d’un vecteur, quand on le déplace parallèlement à lui-même, imaginons qu’on construise un triangle dont les côtés aient précisément la direction des vecteurs donnés. Soit ABC ce triangle, le produit qu’il s’agit d’obtenir dépendra de la valeur du suivant