U(AB . BC . CD KL. LA) = (UAT

Suivant quen sera un nombre pair ou impair, le second membre se réduira à ± 1 , ou à ± UAT. Par suite le produit des vecteurs donnés sera algébrique ou symbolique, selon que le nombre de ces vecteurs sera pair ou impair, et dans lo dernier cas, ce produitéquivaudra à un vecteur dirigé parallèlement à la tangente AT. Le module du produit sera d’ailleurs égal au produit numérique des longueurs de tous les facteurs, et l'on reconnaîtra par lequel des signes + ou — il faudra multiplier le produit, suivant la valeur de l’entier n et la manière dont les sommets BC....KL du polygone seront disposés par rapport aux diverses diagonales et à la direction AT choisie pour la tangente.

SI» Supposons que les vecteurs donnés comme facteurs ne soient plus situés dans un même plan, mais qu’ils soient encore parallèles aux divers côtés d’un polygone gauche quelconque inscrit dans une sphère donnée ; on montrerait de même, par la décomposition de ce polygone en triangles, que le produit de tous les vecteurs, qui est égal, à un facteur numériquo près, à celui des côtés du polygone, sera un quaternion dont l’axe serait dirigé suivant le rayon Ao de la sphère, ou bien un vecteur parallèle à la tangente AT menée à la même sphère, suivant que le nombre des facteurs sera pair ou impair.

52. Il est par suite aisé de reconnaître, par le calcul symbolique actuel, si un point donné M est ou n’est pas sur la surface de la sphère qui passe par quatre autres points A, B, C et D dont la position est connue. Soient en effet a, (3, -/ les vecteurs représentés par les droites AB, BC, CD et p, » les deux vecteurs DM, MA. La condition nécessaire et suflisantc pour que le point M soit sur la sphère circonscrite au quadrilatère ABCD sera exprimée par l’équation

«Pîtr* =

qui équivaut à la condition que Ton et l’autre de ces deux produits soit un vecteur, car chacun d’eux étant égal au conjugué de l’autre multiplié par — 1 , il faut que leurs parties algébriques soient nulles.

Si l'on pose

en désignant par 3 le vecteur DA, l’équation précédente peut être mise sous cette forme qu'on obtient d’ailleurs directement

Spipv ~ 0 .

or p est un quaternion dont l’axe est dirigé suivant le rayon A o de la sphère circonscrite au quadrilatère ABCD et ipv est un vecteur tangent en A (n* 49) au cercle AMD, la condition précédente revient donc à exprimer que ce vecteur est perpendiculaire à Ao, ce qui est la condition nécessaire et suffisante pour que le point M soit sur la sphère de centre o, circonscrite au quadrilatère ABCD.

il serait aussi facile, en partant de là, de trouver en coordonnées ordinaires l’équation delà sphère précédente, ainsi que celle du plan tangent à cette sphère mené par le point A. Il suffirait pour arriver à cette dernière équation de faire dans les précédents p— 3 et de considérer v comme un vecteur quelconque situé dans le plan tangent.

53. Occupons-nous maintenant d’établir quelques identités importantes auxquelles donne lieu la considération des produits de plusieurs vecteurs.

Soient d’abord a, (3, y trois vecteurs ayant une même origine; leur produit donnera un quaternion composé en général de deux parties, qui sont susceptibles d’étro exprimées par des formules simples et d’un usage fréquent.

On aura en premier lieu

Voftr = «Sp Y — pS<rf -)- fSa? , qui revient aussi à celle-ci

VaVp-f = V(V Y p . a) = Y Sap — pSf» ,

Or, pour établir cette dernière formule, il suffit de remarquer qu’on a (6)

V(üVP'f) = i (aVPï — vp-f.a)= i (ap Y — p Y a) = 5 («P -f p*) Y — ^ P[« Y -j- Y «),

et par suite