V.«Vp Y = Y Sap — PSa Y
On peut encore démontrer directement la première des identités précédentes en faisant cotte suite de transformations.
On a
V*Pt = ^(«Pt + tP«);
car
«Pï + tfa = 8*Sp*r + «VPy - Vfr . a = or
^ («Pt +tP«) = 5 «(Pt + ïP) — ^ («t + ï«)P + ^ t(«P + P») ;
donc
V*p Y = ctSPf — pSaY + tS«P-
On voit par suite que la partie symbolique du produit de trois vecteurs ne change pas, quand on permute entre eux les facteurs extrêmes, et qu’on a toujours
V«Pr=V T p«.
On déduirait encore facilement de la môme identité les suivantes, qu’il est utile de remarquer
VapY -f- Vyap = 2ySap V»Px + VpY* = 2«Spï
V«Pt + V?T« + Vy*p = «SpY -f pSay -1- Y&p.
54. I^es formules précédentes subsistent évidemment lorsque les vecteurs a, (3 et y sont dans un même plan. On aura donc dans ce cas
aVPt=TS«P — PS«Ï-
Si l’on désigne par A, B et C les angles que font ces vecteurs avec une droite quelconque tracée dans leur plan, cette identité donnera les deux suivantes :
sin A sin (B — C) = C06 C cos (A — B) — cos B cos (C — A)
— cos A sin (B — C) = sin C cos (A — B) — sin B cos (C — A).
Ces formules so transforment en deux antres, en changeant B et C en | -i- B et ^ -4- C; ce sont
sin A sin (B — C) + sin B sin (C — A) -f sin C sin (A — B) = 0 cos A sin (B — C) + cosB sin (C — A) + cosC sin (A — B) = 0,
et comme l’origine des arcs est arbitraire, on peut diminuer dans ces formules tous les angles de l’angle D, ce qui donne
sin (A — D) sin (B — C) + sin (B — D) sin (C — A) + sin (C — D) sin ( A — B) = 0 cos(A — D) sin(B — C) + cos(B— Ü) sin(C — A)-f-cos(C— D) sin (A — B) = 0.
Toutes ces identités bien connues sont, comme on voit, des conséquences immédiates de cette première
«Vj3y = jSa? — fSay.
55. La partie algébrique du produit précédent a|3y est susceptible d’une interprétation géométrique remarquable; elle exprime en effet le volume du parallélipipède qui aurait ses arêtes parallèles aux vecteurs a, (3 et y, ou encore, ce qui revient au même, le sextuplo de celui de la pyramide triangulaire qui aurait ses arêtes parallèles aux mêmes vecteurs. Celte proposition devient évidente si l’on remarque que la base du parallélipipède précédent comprise entre les vecteurs |3 et y, a pour expression
TVpy
et que la hauteur correspondant à celte base est
SaUVfty.
Le volume du parallélipipède est donc
SaPr-
Ce volume est d’ailleurs susceptible d’avoir un signe selon l’ordre dans lequel sont disposés les facteurs, car on a évidemment
puisque
on aura en général
Sa?7 = — SerjP,
VPî = — Vyjt,
S«PT = SpY« = S'fap et Sypa=Spiy = S«T(P = — &*Pt-
56 . On démontrerait, à l’aide de considérations géométriques élémentaires, que le volume Sa(2y est aussi équivalent au sextuple de celui du tétraèdro qui aurait trois quelconques do ses arêtes parallèles aux mêmes vecteurs a, (5 et y. Remarquons aussi que la mémo expression est égale au produit de la plus courte distance de deux arêtes opposées du tétraèdre précédent multipliées par l’aire du parallélogramme construit avec les mêmes arêtes. Ainsi soient « et [3 deux arêtes opposées d’un tétraèdre et y l’une des arêtes qui les joint, en appelant d la longueur de la plus courte distance des arêtes a et (3, on aura
dxTV<«3 = s*Fï.
Cela résulte en effet de ce qu'on a immédiatement
d = SfUVap.
Cette expression très-simple de la distance de deux droites, coïncide d’ailleurs avec celle qu’on emploie ordinairement dans la géométrie analytique.
57. On voit facilement, d'après ce qui précède, quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que le produit agébrique
S»Fy,
devienne nul, lorsque les vecteurs sont eux-mêmes finis. Cette condition est que les vecteurs soient tous parallèles à un même plan. A l’aide de celte remarque on peut souvent simplifier les produits algébriques de trois sommes de vecteurs qui auraient des parties communes.
Ainsi l’on aurait identiquement
S*(F -H)(a + P + î-t-Y)= = Sajft -f ®h>
et en général
S«(a« + tf) {« -f d? + cr) = 6eS«pY, a, b, c,de te désignant des quantités numériques quelconques
— ko —
58. Si l’on exprimait sous la forme symbolique normale ordinaire les trois vecteurs a, fi, y et qu’on eût, par exemple
a = ai -J- bj -f- f A p = aï + b'j -\-c’k t=sa’i+Wj + d’k,
on trouverait, en effectuant les calculs nécessaires
— V*pY = i j a{a'a" -f- b’V + de") — a'(ao' + 64" + cc") + a"(ad + bb‘ + ed) J + j j A(aV + VV + de') — b'(acf + bb" + ce') + b"(ad + bb‘ + cd |
+ k | c(aV -f VV + cd') — c'jaa" -f bb" + cc") + c"(aa' + bb ' -f cd J et
— Safr = a(b‘c" — db") — b[c'a" — de") + c(db" — Va"), la première de ces deux équations démontre la formule V«Pï = aSPr — ps*v -f ySap,
et la seconde donne l’expression connue du volume d’un parallélipipède en fonctions des projections de ses côtés sur trois axes rectangulaires quelconques. Nous retrouvons ainsi, comme vérification, quelques-uns des résultats précédents.
39. Étudions maintenant le produit des parties symboliques de deux quatemions obtenus chacun par la multiplication de deux vecteurs. On fera usage, pour obtenir ce produit, des formules suivantes, d’une grande importance dans le calcul actuel
V( VapV-tS) = «SPfS — pS*rS = 5S«Pï — fSapt
s(v«pv T 8) = sissp-r — atïSps.
La première de ces formules se déduit immédiatement de la seconde de celles du n° 53. En effet, on a
v(>v-f8)=îsx-r— -rsxs.
X étant un vecteur quelconque, faisons dans cette formule X=Va|3, il viendra
v(v«p . v-fS) = ss#r —
Oo déduirait de mémo de la formule
V(|»Vp*)=oS t iP — pS^*.
En remplaçant le vecteur arbitraire ^ par YyS, celle-ci :
V(Vfî . VP») = V(V«p . Yft) = aSfcp — pSfÊi = «Sp-fS — p&rft.
On pourrait encore établir la môme formule au moyen des deux suivantes :
V(ipV-ïS) = dSp-fS — pSrfS -f V-fJSap V(oPVyî) = VïSSaP + V(V«P . VfS),
. d’où on tire immédiatement
V(V a p . Vy 8) = «S?yS - psxfj,
et par une simple permutation de lettres, on obtiendrait encore V(V«pVt5) = SSjpY — Y&pS.
60. Si l’on supposait dans cette formule que l’un des deux premiers vecteurs, a ou (3, fût égal à l’un des deux autres, (3 ou y, le second membre se simplifierait et se réduirait à un seul terme. Ainsi on aurait en posant, par exemplo, a = 3,
V (V«PVy«) = «S*Py
on aurait de môme
V(VapV«Y) = — «SipY.
61. Pour établir la seconde formule relative au produit algébrique des vecteurs précédents, nous remarquerons qu’on a
Ss?y« = S«PSy 6 + SfVapVfS),
or, par un autre développement du môme produit, on aura
S«Py3 = SiVPyî = Sa(pSY« — yS?3 + SSPy)
= SïP.Sy 3 — S®Y.SpY + S*S.SPY.
On conclura donc de ces deux identités la suivante, qui est celle qu’il s’agit d’établir :
S(V<xPVyS) = S«3.SPy — SdY.Spa.
Le second membre de celte formule se réduit à un seul terme, lorsque l'un
des vecteurs, a ou (3, est perpendiculaire à l’un des deux autres, y ou 3. Ainsi, si a était perpendiculaire à y, ou à 3, on aurait
ou
S(Va?VfS)=Sa8.S?t
= — Say . S?3,
et la même réduction aurait lieu si {3 était perpendiculaire à 3 ou à y.
62. L’identité précédente n’est autre chose que la traduction de ce théorème de trigonométrie énoncé par Gauss, au commencement de son célèbre mémoire sur les surfaces : si ABCD est un quadrilatère sphérique formé par quatre arcs de grand cercle, et que M soit l’angle que font les arcs AB et CD à leur rencontre, on aura
sin AB . sin CD cos M = cos AC cos BD — cos AD cos BC,
C'est ce qu’on voit immédiatement en représentant par «, (3, y et ù les rayons de la sphère précédente qui aboutissent respectivement aux sommets A, B, C et D du quadrilatère.
63. On peut déduire encore de la même identité celte autre, qui me parait curieuse et digne d’être remarquée :
S [Va? . Vf 8 + \<ty . VS? + Va? . V?y] = 0.
En effet, on a, d’après la formule précédente,
S{Va? . XyZ) = Sa? . Sfr — &rf . S?ô S(Va-f . Vôp) = Sa? . SfO — Sa? . Sf?
Si Va? . V? T ) = Say . S?? — Sa? . S? T
d’où on déduit, en ajoutant membre à membre ces trois équations, la formule précédente, en remarquant que les six termes de ces seconds membres se détruisent deux à deux dans l'addition.
64. Cette formule peut aussi se traduire par le théorème de trigonométrie suivant : soit ABCD un quadrilatère sphérique formé par quatre arcs de grand cercle quelconque ; désignons par M, N et P les angles que formeraient respectivement par leur intersection
AB et CD, AC et BD et AD avec BC.
on aura toujours identiquement
sin AB. sin CD cos M -J— sin ACsin BD cos N -J- sin AD. sin BC cos P = 0.
Dans le cas où les quatre points A, B, C et D seraient sur un môme grand cercle, les angles M, N et P seraient nuis, et on retrouverait ainsi une formule déjà obtenue (54) qu’on peut aussi écrire dans ce cas :
sin AB. sin CD + sin AC. .sin BD + sin AD. sin BC = 0.
En déplaçant le point A sur le môme cercle à une distance - de la première, on aurait aussi
cos AB. sin CD-(- cos AC. sin BD -f- cos AD. sin BC = 0.
65. Les théorèmes relatifs à la multiplication des quateruions, exposes aux numéros 41 et 42, conduisent aussi très-facilement aux relations fondamentales de la trigonométrie sphérique. En efTet, soient ABC et A'B'C' deux triangles sphériques polaires; a, (3, y, a, p' et y' les vecteurs correspondants aux sommets de ces triangles; désignons aussi, selon l’habitude, par a, b, c, A, B et C les côtés et les angles du premier triangle ABC, les éléments pareils du second triangle seront, comme on sait, r. — A, n — B, t. — C, 77 — a, 77 — b et TT — c; et soient de plus p, q, r,p\ q et r' les quaternions représentés par les arcs BC, CA, BA, B'C', C'A' et B'A', on aura
et de plus , on aura donc
p — — ê"r = cosa — sin a .a',
q — — ya = cosA — sinA.6’,
r = — 6a — cosc -p sine. y',
p‘ — — 6Y = — cos A + sin A. a,
A' = — yY = — cosB -j-sinB.6, r' = — 6V = — cosC — sinC.y.
r — pq et r 1 = p'qf.
cosc+sincy'=(cosa — sin n.#') (cos A — sinA.6*) = cnsacosA sina sinA.Sa’6',
— cosasinA.6 — cosAsina.a’, + sina siuA Va'ff,
= co s a co s A -f sinasinAcosC — cos a sin A. 6’ — cosAsina.a' -|-
-(- sina sinAVa’S,
et
— cosC — sinC. tr=(eosA — sinA .«)(cosB — sinB.6)=:cos AeosB-|-sinAsinBSa6
— cos A sin B . 6 — cos B sin A . « 4- sin A sin BV«6 = cosAcosB — sioAsinBcosc — cos A sin BC — cosBsinA*-f-sinAsmBVa€.
66. On tire de ces dernières équations, en prenant les parties algébriques des deux membres de chacune d’elles,
cosc = cosa cosi -f- sina sin 6 cos C,
— co«C= cosAcosB — sioAsinBcosc.
On aurait de môme, en égalant les parties symboliques de la première équation,
sinc.Y'-f-cosasiné. 9 + cosèsina.a' — sinasin6Va'6' = o, équation qui peut aussi se mettre sous la forme suivante :
Ycrfi -f- cos«Vy« + cosèVSt — sina sin 6 sin C. y = 0.
Multipliant la première par S. Va'(3' et la seconde par S. y, il viendra :
sincSa’ÊY + sin a sin £ sin’C = 0,
et
Saêy + sinasiné sinC = 0.
On tire de ces deux équations, d’abord
sinasin4sincSa6y = — Sofrf ,
qui exprime une relation remarquable entre les volumes des parallélépipèdes construits sur les rayons qui aboutissent aux sommets de chacun des triangles polaires. On obtient ensuite par une simple permutation entre les lettres :
— SaGf = S7C1 = sinasinésinC = sinisincsin A = sine sina sin B.
ce qui donne les relations très-simples
sin A sinB sinC St 6* Sa'6y
sina sin A siu c sinasiuAsinr Sa6/
La môme équation symbolique
sine, y + cos a sin 6 . C -(- cos A sin a . a = sin a sin 6 Vaff
donne aussi, en la multipliant par S .
sinccosB-fcosasinécosC — sinacosi = 0,
et cette dernière fournit, en divisant tous ses termes par sin b et en rew-
, sine sin C plaçant - — - par - — - , 1 équation connue sin b sin B
colt sin a = cos a cos C + sinCcotB.
Nous retrouvons ainsi, comme on voit, presque immédiatement, les principales formules de la trigonométrie sphérique.
67. Considérons maintenant trois vecteurs obtenus respectivement chacun par la multiplication do deux autres, et que nous désignerons ainsi :
Va? V? Y et Vf5
et cherchons à exprimer la partie algébrique de leur produit. On trouvera qu’elle s’obtient à l’aide de la formule suivante :
S(Vap.VPt.VtS) = SoS. (py — Sfr*) + Sp Y (SaSSJ Y + S^S*?}
— p*.&rf.S«ï— T*Sap.S«p.
En effet, on a
S(a66f T°) =8VSd = SofiS^SrS -f- Sa6S(Vfrf . Vf?)
+ se-fS{Va6.Vfô)
+ SfSS( VaS . VS-r) + S(Va6 . V6r . V Y S)
d’où on tire, en appliquant dans le second membre la formule (6t),
S( Va« . V6r . V T Î) = CYSaS — Sa6 . se Y . S-8 — f*S*e . S63 - S ’S-fS . Sot — SG-f . S*5. se-r
+ SaS . S&r . StS + £6 T . Sa T . S63 -f SrS . SaS . S&r = SaS.(6Y — SSr 1 ) +S6 ï .(So6.S«t + Sat.SÎG)
— 6«.Sa Y .SS Y — Y ’Sa6.SS6,
ce qui est la formule qu’il s'agissait d’obtenir. On voit qu’elle ne renferme dans son développement que six termes et qu’elle est symétrique par rapport à «et à 3, ainsi que par rapport à (3 et à y. On aurait donc par exemple
8( Va6 . V£ Y . Vfr,) = S( V£6 . Va Y . VGtf
68. On serait conduit à la même formule en développant le produit suivant
Sa&f.S'ffiS
au moyen de la formule
S(«frf -Tf®) — = S«&y.StK - f- S(Vo6y , Vy6S)
qui donne
&*&r . SyfiS = S’f’S»5 — S(«S6 y — 6Sirf 4 - ifSafi) (yS6o — 6Sy$ S&y6i = So8 . (6 *t* — Sfrf'l -|- SÆif . (Sa6 . S«y + S*Y ■ S56)
— S*S< rf . S«y — • S®.
69. L’égalité des deux formules précédentes donne l’identité remarquable
S(V«6 . V6y . Vfô) = SoSf . Sr65- Si on fait en particulier « = 3, cette dernière devient
{Sctj&Yj* = S{V*6 . Vrr , Vf6) = S(Va6 . V6 y . Sof)
= *’S6y -f- S’SaY -1- y*S«6 — îSïSSÊySy* — a’C’v’ .
L’identité
Sa&ï‘ = — SVa6.V6Y.VY*,
se confond d’ailleurs, ainsi qu’il est facile de s’en assurer, avec l’une des formules déjà obtenues au n* 66.
70. En désignant par «, (3, y, S et e cinq vecteurs quelconques, l’application des formules précédentes donnera les deux équations
Saôs S Sot =z S»6 (S8t 5 — 8V) — Sot (SaoSSt -f- StaSSS) -f- 8’SatSSt -(- t’SxSSSô ,
= y’(s 8? — ÎV) — 2SotSyô Sy* + S’SÎft 1 + t‘ S^?,
d'où on tire, en retranchant membre à membre la seconde de la première ,
ïwot S68t — Sy^î" = (Sa6 — y’)(S« J — 8*e’) — Sot (SaSS6s -(- Sas S6o — 2 Sy3Sy*)
-)- 8’(Sas SSt — Sys”) -+■ s’ (Sa5S65 — Sy^j ■
Il est utile de remarquer que tous les termes du second membre de cette formule, que nous aurons à appliquer plus loin, sont du second de-
gré par rapport aux vecteurs a, (5 et y, et que ce membre 30 compose de deux parties; l’une contient en facteur le binôme
et l'autre est formée en combinant deux à deux les produits algébriques SaS, Sot, SSà, S6t, Sy8 et Sy«.
