XI. J

(34) des onglets et de ces cercles se trouveront donc être à l'intersection des lignes de leurs projections et de la trace verticale de ces plans.

Projetons donc le point e, appartenant au plus grand cercle (celui de la sphère) au -point é où il rencontrera le plan contenant le plus grand diamètre, c’est-à-dire, celui b!-c' du cercle b fd, le point 4 sur le plan supérieur g'-v! où se trouve contenu le cercle 4 ps, le point Zen l!, celui #7 en m!, et ces points e!, 4!, 1! , m!, seront des points appartenans à la trace a-e des bords des onglets; on déterminera ainsi les points g'r's! d'et n! o! pl fl, des traces correspondantes g r s det n o p f, des bords des onglets sur la surface conoïdale,

Quant aux points de ces traces qu’il s’agirait de déterminer sur la surface sphéroïdale, on sent bien que lopération ne peut différer en rien de celle indiquée pour trouver les points précédens, et que l’on pourrait, par quelque point que ce soit de la partie 4-1! de l’axe , faire passer des plans de section de cette surface, lesquels donneraient aussi des cercles qui serviraient ainsi que les autres à déterminer par leur intersection avec les traces horizontales des

bords, autant de points de ces bords qu'il ÿ aurait de plans qui contiendraient ces ercles ou de cercles eux-mêmes ; mais afña de ne pas multiplier les lignes de projections qui embrouillent toujours une figure stéréotomique, on peut faire que les lignes dé projections qui nous ont servi à déterminer les points supérieurs , 4ppartenans à la surface conoïdale, servent aussi à déterminer ceux qui se trouveront sur la surface sphé:

roïdale.

Pour cela, on remarquera que la ligne de projection g-g! déterminant la longueur du rayon a g du cercle gp s, formé par la section de la Surface conoïdale, par le plan g'v!, déterminé aussi le rayon 5.6 d’un cercle de section de la surface sphéroïdale par un plan passant par le diamètre 6-v/; que ce cercle ayant le même räyon qué celui gps, se confondra avec lui en projection horizontale , que le point 4 d'intersection de ce cercle avec le bord a e des onglets, aura la méme ligne de projection que le point k, appartenant au cercle supérieur dans la surface conoïdale, mais qu'il se trouvera fixé au point K/, où cette ligne coupe le plan 6-v/!, puisque le cerclé auquel il appartient se trouvé

( 56 ) contenu dans ceplan et non pas dans celui g' v!, etc. «

Si donc des points 6, 7 et 8 où les lignes de projections des extrémités des rayons 1-1, 2-hl , 5-8! , etc., rencontrent la courbe génératrice du sphéroïde , on mène les plans horizontaux 6.v/, 7-u/, 8-2", les points #7, 0, m/, pll, o!, n',s', r',.q', où les lignes de projections des points 4, l, m,n, 0, P;:9r,s, rencontrent ces plans, seront des points des projections verticales de la trace des bords des onglets correspondans, sur la surface sphéroïdale.

On sait de plus que lés points et a! ur, étant les extrémités de l’axe où viennent se réunir toutes les traces des bords des onglets, sont par conséquent communs à tous ces bords; ainsi, si, par ces points et par ceux précédemment déterminés, on fait passer les courbes a! g'rlsd!s" rique, a! n!

o! p! f! pl! o' nl #', a! ml U Ke! kW! ml; elles seront les projections verticales des bords des onglets, dont &-b, a-e, a-f,sont les projections horizontales.

Il est inutile de remarquer que les courbes ponctuées sont les arrêtes qui, étant sur la partie de la surface opposée à la vue, ne pourraient être a perçues en projections yer=

C 37) ciales ; si l’on ne supposait en stéréotomie tous les corps diaphanes.

Veut-on à présent avoir l'aspect du calice ouvert, ce qui est le principal but de l'opération, attendu que ce problème sera le méme pour connaitre l'ouverture des pétales ? soit une tulipe dontles projections horizontales et verticales seraient les mêmes que celles qui précèdent , détermiver les projections des onglets ouverts suivant un angle donné.

Pour que cé problème puisse être résolu; il faut supposer que chaque onglet, en changeant de position , n’éprouve aucune altération dans sa forme, c’est-à-dire , que chacun des points qui composent sa surface ; conserve, à l'égard de l’autre et de l’axe, une position semblable avant et après le mouvement.

Gela posé, considérons (Gg. 2) chaque onglet comme un solide limité par une portion des surfaces conoïdale et sphéroïdale qui composent le bouton de la fleur, et par deux plans a-d!, a-/1, dont la ligne d’intersection seroit l'axe a/-s.

& Ë fi fé À ” w

Imaginons un plan vertical a-a* passant par cetaxe, et divisant l'onglet en deux parties égales; ce plan contiendra langle formé par la direction primitivement verticale de l’axe et par son inclinaison après le mouvement de l'onglet ; et comme il est parallèle au plan vertical de projection, l’angle se projettera sur ce dernier dans sa véritable grandeur.

Si donc nous çconstruisons sur le plan vertical angle a! t'al! de l'ouverture connue de la fleur , que nous rapportions sur la nouvelle position a/!t de l'axe , les couxbes a!! cl ul et al! fl! sl égales à celles a! c'tlet a! flt', déterminées de la manière indiquée dans le problème précédent , nous aurons la projection verticale du solide de l'onglet.

Pour avoir sa projection horizontale, faisons attention que de même que le point + de l’axe a fait son mouvement de a! en a!!

dans le plan aa*; ainsi chacun des points al,ol!,ph , etc. de la courbe, limite de l’on glet, a décrit son are de cercle dans des plans qui doivent être parallèles au premier. Ainsi des points n!,0!,pl,glr!,sl, etc. menons des parällèles a @ a’, et ces points se trouveront sur ces parallèles fixés à l’en-. droit où elles sont rencontrées par les lignes

(59) de projection menées des points correspondans n/!!, e!!!, p'#, fl!! dela projection: ticale,

On sent bien qu'il est indispensable de choisir la position d'un onglet, ensorte que le plan qui le partage également , soît pa-.

rallèle au plan vertical de projection , ou, ce qui est la mènie chose, de faire passer ce plan parle milieu de l'onglet, car autrement on serait obligé de recoucher le plan sur lequel on ferait toutes ces opés rations , et de les rapporter ensuite sur le plan vertical de projection ; ce qui compliquerait la figure et serait plus long.

Ayant donc ainsi déterminé les projections d’un onglet, pouravoir celles de toutautre , on remarquera que si l'onglet déja déterminé tournait autour de l'axe a! t/, dans uneinclinaison constante, chacun des points qui le composent décrirait des aros de cercles horizontaux qui se projette.

raient horizontalement dans toute leur grandeur et verticalement suivant deslignes droites.

Concevons donc que l'onglet a d'! a £1!

ait tourné jusqu’à ce qu'il se soit confondu. avec celui a!ea*! f*, dont la projection horizontale aef est donnée avant l'ouverture.

et celle des points 2, 0, p, m,1,k, ete. de ses bords, déterminée , ainsi qu’on Ja vu ; le point av aura décrit l'arc de cercle av a, le point nl!!! celui nl!!! n,;etc. fixés à la rencontre de.ces arcs de cercle et des parallèles 7 2,00, pp, , etc.; et comme nous avons observé que ces arcs de cercle se projettaient verticalement suivant des lignes droites ;, ces points se trouveront en projection verticale, à la rencontre des droites horizontales 7!!! n*!, ol! ot!, etc. etdeslignes de projection n° n*!, 0" ol etc.Si donc, par tous ces points , nous faisons passer des courbes , elles seront les projections horizontales et verticales de l'onglet aef:0on opérerd ainsi pour tout autre.