CONSTRUCTION
” Prenons sur les rayons ad, af(Gg.2)projection horizontale des bords de l'onglet a-d f des points q;,r,s,n,0;,p les mêmes que les points correspondans de la fig. 1°, ces points se trouveront sur des plans des sections du solide, coupant l'axe a! # (fig. 2), aux points 1,2,9 , etc., de même que dans la fig. précédente. Observons de plus queles points! g/l, ol1!, pl s!se trouvant sur la même
(41) perpendiculaire au plan vertical de projection, les deux bords ad, af se projetteront verticalement suivant une même courbe.
Des points z10!pl, menons à présent les lignes de projection verticale n1 n!!, o! o!!,pr P'', etc. rencontrant les plans 1 en n!!', 2 en oll ; etc:, et par ces points faisons passer la courbe. a! n!1 on p''f1 elle sera la projection verticale des bords de l'onglet dans la position projettée horizontalement en a dl fi.
On sent que le plan a a’, ou le plan ay!
ramené sur le plan a av, doit couper la surface du solide, suivant une courbe génératrice de cette surface qui sera celle aïct; nous aurons donc la projection entière du solide compris entre l’axe a! 1! et la courbe al cl L', et la projection de l’onglet comprise entre la courbe al! fil, précédemment déterminée , et celle a! c ci.
Construisons maintenant l'angle a! t! al!
égal à la moitié de celui de l'ouverture totale de la fleur, le côté a!/£ sera l'axe parvenu dans sa position inclinée après le mouvement; rapportons sur cet axe les points 1, 2, 9, etc., où il est coupé par les plans de section horizontaux, en décrivant les arcs de cercle 1-1/,2-2/,3-3!, etc. ; des points 1/,2/, 51, menons indéfiniment à a!! # les per-
pendiculaires 11n11!,a1 0, !!!, etc., elles seront
les traces de ces mêmes plans après le mouvement, puisqué nous avons dit qu’aucun des points qui cormposaient le solide, ne changeait de position par rapport à l'axe: pendant ce mouvement.
Sur les traces de ces plans, portons les distances -1-n4, 2-0l!, 3-pN, de 1! en nil!, de 2 en ol! , de 3 en puit, etc.; par ces points, faisons passer la courbe a!!/pliis ; déterminons de même celle a!! ct!, et nous aurons la projection verticale du solide et.de l’onglet après le mouvement d'ouverture.
Enfin pouravoir la projection horizontale, rappelons-nous que les points »/0!pl-glrls!, etc., exécutent leur mouvement dans des plans parallèles au plan vertical de projection de ces points, menons donc a, a-y les parallèles n'-n"*, 0.0"! g'-q'', p'-p"", etc. et des points 2"! o"p"!, leslignes de projection n"-n1, o"-0!", pl'-pli, etc. Par les points
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ag! n""r"0" s"p"", ete. où elles coupent les parallèles, faisons passer la courbe a d'a f“" a, elle sera la projection horizontale de l’onglet après le mouvement.
L'opération ne change point de nature.
pour la partie sphéroïdale inférieure. Voilà
pourquoi nous noussommes bornés à l'indis
(45) cation de quelques points de la surface conoïdale.
Cette projection étant déterminée dans cette position , il s’agira de la ramener dans toute autre; or dans le mouvement de rotation horizontal que fait cet onglet pour y parvenir, aucun des points ne change par rapport à l’autre.
Si donc , par quelque moyen que lon veuille employer sur la ligne aa’, milieu de l'onglet afe, ou sur toute autre ligne passant par le milieu d’un onglet , nous déterminons les points ef”, pv, l'o’, à des distances des extrémités de cette ligne, égales à celles des points f”’ d’,p'"s";, etc., de la ligne ay, et que par ces points nous fassions passer la courbe a’ f'aela”, elle sera la projection horizontale des bords de l'onglet dans sa véritable position, et ainsi pour toute autre.
Pour avoir sa projection verticale, nous avons remarqué que chaque point qui compose sa surface ou bien le solide, décrivait des arcs de cercle dans des plans horizontaux , passant par leur position avant le mouvement; menons donc des points x! 0" p", etce., les traces horizontales de ces plans, elles contiendront ces points
(44) dans une situation qui sera fixée en projection aux points de rencontre de ces plans par les lignes menées des points correspondans en projection horizontale av, rwÿm/, 0°, l',ete., c’est-à-dire aux points a"ll;nvl; ll, 0", UM, etc.;et si par-tout ces points , nous faisons passer les courbes a""!-pv.£, a"!-m''-r, elles seront lés projections verticales des bords de l'onglet dans, sa véritable situation.
Quant à la projection verticale des hmites du solide ou de la surface extérieure de l'onglet, elle sera, dans la position actuelle, une courbe égale à la génératrice act; dontles extrémités sont toujours fixées en a’ ett; ainsi du centre de la sphère, et par conséquent de son grand cercle fixé maintenant au point 8 , où le plan 7-8 horizontal , contenant l'arc décrit par ce centre , coupe là ligre-a/’t, dernière direction de l'axe, décrivons indéfiniment une portion de circonférence, elle sera la limite de la partie sphérique de la surface de l'onglet, la limite de $a partie conoïdale se décrira en choisissant pour point-de centre, un point qui ait par rapport à la direction a"’£ de l'axe, la même position que celle du point
(45) qui a servi à dévier l'arc a} par rapport à la direction a”: du même axe.
Mais si la position de l'onglet étoit telle par rapport au plan vertical de projection, que les projections des deux bords de l’onglet y fussent aperçues, c’est-à-dire, que l’un de ces bords ne fût pas masqué par la conyYexité de la surface extérieure , . cette courbe serait inutile à décrire, puisqu'elle serait comprise entre ces deux bords, et conséquemment superflue pour limiter la projection verticale du solide, terminée dans sa partie inférieure par la portion de circonférence qui joindrait les projections des deux arrêtes.
Il ne reste plus pour terminer qu’à projeter horizontalement la partie de la surface aperçue ou les limites de cette surface; pour cela il faudrait construire toutes les projections horizontales de toutes les portions de cercles ou sections de la surface du solide, par Les plans qui nous ont servi à déterminer les bords des onglets, et faire passer ensuite tangentiellement à tontes ces courbes, une autre courbe qui serait la projection horizontale de la limite de la surface.
On s’est borné ici à indiquer l'opération par la détermination des points & et 4, au
En
(46 ) moyen des révolutions des portions de cercle pour être rabattues sur le plan vertical; mais, comme il est présumable qu'a près avoir bien entendu ce probléme, où sera en état de déterminer par des procédés graphiques, analogues à ceux quenousavons décrits, les projections des sections de la surface par ces plans, l’indication suffit, et la construction ne ferait, en embrouillant extrémement la figure, que nuire à l'intelligence de ce qui a été dit.
La même opération stéréotomique donnerait les formes de l'églantiné épanouie (fig. 3) , ou de toute autre fleur.
Veut-on à présent avoir les dimensions précises des pétales au lieu de celles que procure fautivement l’applatissement mécanique des herbiers ?
on observera que les arcs correspondant aux cordes qui ont servi à tracer l'aspect de la pétale ont des rapports connus avec ces cordes ou avec le dia mètre correspondant; on aura donc aisément par-là les longueurs de ces arcs développés.
Ainsi; en nommant D, D', D’, les diax mètres des cercles des sections, on aura pour l’églantine, en ayant le rapport © de la circonférence au diamètre & D, ® D';
5 G æ D” où tout est connu quand on a fixé
les distances ou abcisses des sections. Pour les liliacées, on ailes arcs développés représentés par & D, + D', & DI!; pour les
6 6 6 radiées + D, ® D', ® D”, etc... , et en
ñn n n général, pour avoir une formule conve-
nable aux diverses calottes des pétales près de s'ouvrir, on prendra les diamètres d des sections en valeur des contours ou sphériques, ou elliptiques, ou paraboliques des calottes. Ainsi, pour les boutons coniques , l'arc développé sera repré-
senté à la base par & x 2(y/ c:p°) en
nommant c le côté a! b du cône connn ( Gg.1), et p la longueur a’ 4 des pistils connue également. On aura les arcs développés des autres sections, en retranchant de a'4 les valeurs des divisions ou abcisses. Pour les boutons sphériques (fig. 1), on aura
les arcs développés® x : SERNE 2 (V/2-p2)")
(45) æ étant l'abcisse ; puis en supposant l’abcisse croissant comme 1, 2,3, 4, 5, etc On aura les diamètres connus à chaque section ; puisque tout sera connu jusqu'à x dans la formule ci-dessus. Pour l'ellipsé, on aura les arcs développés
Co) :
— æ x ? (‘ordonnés') — Kx z b G=.2? ou n n a
les aboisses x en progression arithmétique
seront connues.
Pour la parabole enfin. on aura les arcs
; o us PSP A
développés —— x, = PÆ'et ainsi de n
suite pour toutes les courbes dont les or:
données correspondront à des abcisses
qu'on séra maître de se donner suivant
une loi connue:
On sent que ce calcul très-simple et qui en mérite à peine le nom peut | s'appliquer également aux solides des fruits, ét qu'on aura par les applications et les indications de formules ci-dessus exposées , les moyens, de tracer plus régulièrement les types des troncs , des feuilles , des fleurs et des fruits qui entrent dans les compositions.
Ïlestinutile, au surplus , d'obseryer que ces constructions ne conviennent qu'à l’état d'immobilité, et que la plupart de ces corps flexibles abandonnés aux vents, à l’action dusoleilou à toutes autres causes mécaniques, subissent des altérations de forme instantanées qui, en donnant la vie au tableau , sembleraient dispenser le peintre d’une exactitude que la géométrie méme ne peutatteindre que de fort loin, maissur laquelle elle paraît cependant devoir être toujours consultée, pour garder des types certains, et servir de vérification dans les tracés défectueux:
