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la deuxième , et déterminer sur chacun de ces plans de section rabattus sur l'horizon; le point ou le rayon réfracté, du point de tangence, suivant un angle donné, coupele le cercle produit par la section de la sphère par le plan, et ce point serait aussi celui où la sphère serait pénétrée par ce rayon; mais nous renvoyons plus loin cette seconde solution.

. Par le point a, projection horizontale du point lumineux, et par celui b, projection horizontale du centre de la sphère., faisons passer un plan « b prolongé jusqu’au point é, sommet du cône, formé par la réfraction des rayons lumineux. Couchons ce plan sur l'horizon , en reportant son intersection commune avec le plan horizontal en x/y!, parallèle à a bi, afin de ne pas embrouiller la figure. Le point lumineux & se trouvera au-dessus de l'intersection commune d’une quantité y'a!!!, égale à l'élévation du point a v au-dessus de l'horizon. Déterminons également la position du centre de la sphère sur ce plan, en portant sur la première bbur, depuis l'intersection commune. y! x!, la: hauteur L* b, de ce point au-dessus de l'horizon; actuellement du centre b!!!, ainsi déterminé; et durayon b 4, décrivons

(151) la virconférence e/—=f1—r—nti égale an grand cercle de la sphère, nous aurons la section de la sphère par le plan projetté horizontalement en ab," passant par son centre.

Ménons à cette section du point Iumineux a!!! les tangentes a!!! e!, a! 1! f1, el et fl, seront les deux points de tangence de deux rayons de lumière, contenus dans ce plan; projetons - les horizontalement, en menant de ces points les lignes e! e.et f! f, parallèles à af!! à et les points e et f où ces lignes rencontrent le plan de section qui contient les deux rayons, seront les projections horizontales de deux points de la courbe ; limite de l’ombre et de la lumière sur la surface sphérique.’

Pour en trouver d’autres, iaginons , par un raÿon ; Coupant Ja projection horitontalé de la sphère et mené arbitrairement

du point a (celui ad, je supposé) un plan que nous coucherons également sut l'horizon; nous observerons qué tous ces plans étant verticaux, couperont la sphère suivant des cercles d'autant plus petits, que leur divergence les éloignera plus du centre de la splière; mais que tous ces cercles auront leurs centres à une même

où

(132 ) hauteur, au-dessus de l'horizon, quelecentre de la sphère. Si donc du milieu et de la projection de ce cercle ; on mène la ligne d Ull, parallèle à aal', et que sur cette ligne , au-dessus de la nouvelle section commune æy, on porte toujours .la distance Bb" bv en b!!, b!! sera le centre du:nouveau cercle de section; et si du rayon dr on décrit le cercle c! di, il sera le cercle même de section , duquel on mènera les points de tangence c!' ét d'en e et d, où les lignes.

de projection rencontrent le plan qui contient les deux rayons tangens; et ces points e, d seront deux autres points de la courbe.

. On déterminera de même les points get Z.

QuantauxpointsKet/appartenans au grand cercle horizontal de la sphère, on sent qu’ils sont d’abord déterminés par la tangencedes rayons ak,.al, qui ne peuvent, en aucune manière, pénétrer la sphère, puisqu'ils glissent horizontalement sur le grand cer-.

cle. Si donc, par les points 4, g, e, c, l,d,f,h, nous fesons passer une courbe, elle sera celle qui est produite par tous les points de tangence des rayons lumineux à la surface sphérique : pour en avoir la projection verticale, il ne s’agira plus que de mener dela projectionhorizontale de chacun de ces

(133) points sur le plan vertical des lignes de projection, et de fixer sur chacune d’elles la hau-teur respective de ces points au-dessus de l'horizon : or, la hauteur de chacun de ces points est déterminée dans chaque section qui le contient, et la courbe fi! A! le, ainsi déterminée, est la projection verticale de celle qui est produite par les points de tangence des rayons de lumière. On a donc ainsi l'aspect horizontal et vertical de la courbe de séparation de la partie ombrée..

On opérerait pareillement pour tous les solides, en pratiquant des sections , dirigeant des plans tangens à ces sections , horisontalement et par le point lumineux ; puis renvoyant les points de tangénce en projection verticale , et prenant leurs intersections avec les sections vues verticalement, on tracerait ainsi sur la surface de chaque corps, les courbes de démarcation de la lumière et de l'ombre.

Pour le solide ( fig: 18) par exemple, représentant le corps féminin, solide, admirablement varié, et dans lequel les formes sphériques et elliptiques se

le (1 M Hi ( {l fi À

lient avec une grâce merveilleuse, on voit qu’en rapprochant beaucoup les sections , et ayant soin d'en faire passer par les points où les courbes verticales se coupent entr'elles , on aurait des rayons tangens à toutes les nais= sances des solides proéminens du tronc potelé, gracieux que nous considérons, et la, courbe limitrophe des parties éclairées.

Soit donc A la projection horizontale d'un corps de femme, A la projection verticale ; B, B' les projections respectives d'un point lumineux , il s’agit de trouver les projections des ombres portées par les parties saillantes sur ce corps , et de déterminer les limites des parties éclairées , et de celles qui se trouvent dans l'ombre.

Puisque la limite des ombres sur un corps quelconque est déterminée par les points de tangence des plans passant sur les surfaces des corps, et par le point lumineux, il suffira, pour trouver ces limites ; de mener à ces surfaces autant de

(155) tangentes et de points qu'il sera nécessaire pour tracer la ligne de cette limite. Considérons le sein comme un demi-sphéroïde dont la projection verticale serait le grand cercle, et le point ci le centre. Sa projection horizontale sera une demi-circonférence dont le point csera le centre. Menons par ce point, parexemple ( dans le plan A), et par le point B, projection horizontale du point lumineux une ligne Bc, elle sera la projection horizontale d’un plan qui coupera la sphère suivant son grand cercle, puisqu'il passe par son centre. Couchons ce plan sur l’horizon, et ayant placé le centre c sur la perpendiculaire cc!/, décrivons de ce point , comme centre, la circonférence t# , égale au grand cercle de la sphère, on aura la trace de la section de la sphère par ce plan : du point B, menons à cette circonférence la ligne B#', &' sera le point de tangence d’un rayon de lumière à la sphère, compris dans ce plan, et par conséquent du plan tangent lui - même; projetons horizontalement ce point, en * menant la ligne 4! &, parallèle à la ligne c!!! e; csera la projection horizontale du point où le rayon de lumière rencontre la sphère, La projection verticale sera sur la ligue #/#.

PE

RE

Te

Pour l’y fixer, considérons que ce point ; dans lasection de la sphère, se trouve à une distance cl/2 du centre cl/! ou plutôt à une distance #1! de l'axe d’abcisses Bc, portons cette hauteur £#! en projection verticale sur la ponctuée s2/, correspondante , le point #/! (élévation A) sera la projection verticale du point de tangence du rayon de lumière en 4i!. Une opération semblable nous fera déterminer la position de ce point sur le profil. Pour trouver tout autre point, irons arbitrairement du point lumineux une ligne qui coupe la projection horizontale de la sphère, et que nous supposerons être la ligne Be, remarquons qu’un plan coupe toujours une sphère suivant un cercle, et qu’on connaîtra ici le diamètre du cercle suivant lequel la sphère aura été coupée. Projetons verticalement ce point de centre, ilse trouvera être à même hauteur que le centre du grand cercle.

Couchons ce plan sur l'horizon , nous trouverons, par une opération absolument semblable à celle qui précéde, les projections horizontales et verticales du point de tangence du rayon Be, mené à cette nouvelle section.

C'est en construisant ainsi toutes les courbes des sections des différens plans sécans , menés par le point lumineux-, et passant par le solide de révolution ou autres composant cette figure , et en menant des tangentes à ces courbes, que l’on parvient à trouver les différentes projections des points composant la ligne de limite des ombres.

Ce mode applicable à tous les solides, une fois déterminé, quelle estla loi dedécroissementdes parallèles vues, c’est-àdire imitant les élémens demi-obscurs?

Cetteloi se détermine en considérant qu'iln y a pas d'obscurité absolue ; que tous les autres corps éclairés, réfléchissant eux-mêmes des rayons lumineux , deviennent, pour le corps privé en partie du premier foyer, des foyers secondaires , influents sur sa partie obscure , suivant leur proximité, leur quantité et leur direction.

Toutconsiste doncalors à déterminer le nouveau faisceau des rayons secondires ou déjà réfléchis, pour en dé-

( 138 ) duire leur résultat sur les corps non éclairés par les rayons primitifs.

Par exemple, étant donnée en projection verticale , la position de la lune et de la terre, et la direction des rayons du soleil par rapport à l'une et à l'autre, déterminer les projections des parties éclairées de ces deux sjhères par les rayons du soleil, et la partie de la terre éclairée par la réfléction des rayons solaires par la lune.

Après ce qui a été dit pour la détermination des points de tangence à la sphère des rayons de lumière partant d’un point a (fig. 9) ,on rappellera seulement qu’il ne s’agit ici , ainsi que dans le problème cité, quede déterminer les points de tangence desrayons du soleil aux deux sphères, pour avoir les limites de l’ombre et de la lumière sur ces deux sphères, et ensuite de déterminer sur celle de la terre , les points de tangence des arêtes d'un cône qui envelopperait la partie éclairée dela lune, pour avoir la partie de la terre éclairée par la réflection de la première.

Pour rendre la solution plus facile, imaginons le plan vertical de projection, passé par le centre des deux sphères, et que la direction des rayons du soleil soit parallèle au plan vertical de projection, il sera facile de voir que le cercle formé sur les sphères par les points de tangence de tous ces rayons parallèles entr'eux , seraun grand cercle de chacune des sphères, etse projetteta sur le plan vertical, suivant des lignes droites /-/,1'7, puisque le plan qui les contiendra sera perpendiculaire au plan vertical de projection, et aux rayons parallèles émanés du disque solaire,

Les. parties éclairées. seront doncla demi-sphère l'o/dela lune, et celle z-p!i de la terre; il ne reste plus qu’à déterminer sur la terre la partie éclairée par la réflection des rayons solaires par la lune.

Supposons un instant que la lune soit entièrement lumineuse, et qu’elle réfléchisse la lumière de toutes les parties possibles de sa surface, le plan vertical de projection restant d’ailleurs le même, le