ROLE DES MATHÉMATIQUES PANS LA SCIENCE GÉNKRALE

tinuera toujours à se mouvoir avec la même vitesse et suivant la même direction. »

L'insuffisance de celte prétendue démonslration est trop frappante pour qu'il soit nécessaire de beaucoup

insister. « Il n'y a pas de raison pour que » ne

signifie en réalité que ceci : « Nous ne voyons pas de

raison pour que » Ce n'est même pas ici linconce-

vabililé de la négative qui déterminerait rasseiilimenl, c'est la simple difficulté de la démontrer, ou d'en donner une raison.

Mais alors, si la démonslration à priori de nos principes implique une illusion, à quelle source puisent-ils le caractère de certitude que nous leur accordons? La plupart des savants et des philosophes qui ont eu à se prononcer sur ce point ont affirmé que ce sont des vérités d'expérience. À propos de la loi d'inertie, Aug. Comte, par exemple, a écrit : <« Elle no saurait avoir de réalité qu'autant qu'on la conçoit comme basée sur l'observation. Mais, sous ce point de vue, VeravUtmle en est évidente, d'après les faits les plus communs, etc. (1) »

Il serait difficile de contester l'origine expérimentale des lois sur lesquelles repose la mécanique. Il est trop clair, et l'histoire le prouve suffisamment, qu'elles mit attendu, pour naître, le triomphe définitif de la méthode expérimentale. Si elles n'ont pas été tout d'abord énoncées avec une clarté parfaite, elles ont jailli spontanément, pour ainsi dire, des travaux de (ïalilée sur la chute des corps. Mais, eu acceptant que l'observation les ait suggérées, nous n'admettons nullement qu'elle soit capable de les démontrer, et nous ne comprenons même pas comment cela serait possible. Il entre, en effet, dans les énoncés de ces lois, des notions dont la

(1) Cours de philosophie po*itive % XV leçon.

LA CERTITUDE LOGIQl'E

réalité concrète échappe à tonte observation. Sauronsnous jamais, en présence d'un point matériel au repos ou en mouvement, à quelles forces il est ou n'est pas soumis? F

Auguste Comte nous semble mille fois plus clair quand iJ dit : « Tous les faits nous prouvent que, si le mouvement primitivement imprimé se ralentit toujours graduellement et finit par s'éteindre entièrement, cela provient des résistances que les corps rencontrent sans cesse, et sans lesquelles f expérience nous porte a penser que la vitesse demeurerait indéfiniment constante, puisque nous voyons augmenter sensiblement la durée de ce mouvement à mesure que nous diminuons l'intensité de ces obstacles. »

Cette façon de parler : « nous porte à penser », implique le sentiment assez vif de l'impuissance à tirer de l'expérience une démonstration directe, et nous croyous inutile d'y insister davantage.

Que sont donc enfin ces principes de la dynamique? Ils sont celte expression spéciale d'idées suggérées par l'expérience, qui tient le milieu entre le sensible et l'intelligible, qui d'une part emprunte assez à l'observation directe des phénomènes pour faire pressentir la fécondité du principe, et d'autre part renferme assez d déments idéaux pour permettre à la mathématique pure de fonder sur eux, sans rien perdre de sa rigueur, un chapitre nouveau. Postulats de l'expérience, vis-àvis de cette mathématique à laquelle ils ont ménagé l'accès, ils vonl être, disons le mot, de simples définitions. Une fois posées les définitions de la vitesse et de l'accélération par des considérations purement géométriques, n'était la signification spéciale du paramètre /, le temps, quantité dont nous parlerons tout à l'heure,' la loi de l'inertie énonce les conditions ou on dira qu'un point matériel est soumis à une force.

ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE v 03

Par définition, une force agira toutes les fois que le mouvement d'un point ne sera pas rectiligne et uniforme, c'est-à-dire toutes les fois que la direction ou la valeur de la vitesse varieront.

Le cas du mouvement rectiligne uniformément varié se trouve, en vertu des conventions déjà faites, correspondre à une force constante. La démonstration tirée de la loi des mouvements relatifs y ramène par un chemin si court, qu'on pourrait, sans changer grand'chose à la suite des idées, énoncer ici une définition au lieu d'un théorème. Bref, la mécanique va procéder comme si on avait posé dès le début qu'un point, animé d'un mouvement uniformément varié, sera dit soumis à une force constante et proportionnelle à la vitesse imprimée après l'unité de temps. Le rapport constant de l'intensité de la force à celte vitesse, qui se trouve être ici l'accélération, est ce qu'on appelle la masse du point matériel.

Quand le mouvement d'un point est rectiligne, mais non plus uniformément varié, on dit qu'il est soumis à une force variable, dirigée dans le sens du mouvement, et égale à chaque instant à la force qui communiquerait à ce point de masse déterminée l'accélération correspondant à cet instant; en d'autres termes, si Ton tient compte de la définition de la masse, cela revient à définir l'intensité de la force : le produit de la masse par l'accélération. Enfin, dans le cas du mouvement curviligne, on arrive à cette double notion de l'intensité de la force (à savoir, le produit de la masse par l'accélération) et de sa direction (à savoir, celle de l'accélération \ et cette double notion peut être envisagée comme contenant alors la définition de la force qui, dans le mouvement le plus général, agit à chaque instant sur le point matériel.

Nous sommes loin, on le voit, de l'idée métaphysique de la force, envisagée comme cause du mouve-

LA OKHTITIhE LOGIQI'E

ment. Il est loul naturel que la science positive rejette au même titre que les autres ce noumeiie spécial «

S "ï C °n ,nC dn ? s l0UtCS ,cs occasi0,ls o* «• principe (le causalité semble jouer un rôle, elle exclue toute considération métaphysique. Kl, en vérité, ce l,„ " t

suivant la judicieuse remarque de M. Calinon se comprend aussi bien dans les deux hypothèses on a foi ce est cause du mouvement et où elle en est, au contraire, la conséquence (1). « La force, dit encore M Calinon est, comme la vitesse et l'accélération, une* circonstance du mouvement; il y a entre la force eMe .mmveinent, non pas relation de cause à effet, mais dépendante, comme, par exemple, entre le rayon d'un cercle et sa surface. » On ne saurait mieux dire • mai ce qui nous intéresse particulièrement et sur quoi nous vou, ons attirer l'attention, c'est le caractère 2.LT tique de cette circonstance qui se nomme la force Non seuement eue a perdu toute signification musique, mais encore elle porte à un très haut degré ïa

Sn'd?" rW " U0n <,e , * c " ,rit - S «^ rt P«' ™ e * va.on des mouvements, cet élément n'en est pas moins

dél n. par le mathématicien en direction et en quantité de telle manière que la notion en soit désormais adéquate a cette détinition. Comme la vitesse, comme l'accéleraticn, a propos des phénomènes de mouvement comme la longueur de la circonférence en géométr e

propos de la circonférence, l'idée de force, dès quelle 1 enetre: dans le domaine propre du principe do en tiadiction, devient un concept délimité par l'esprit qui en dicte lui-même le contenu. q

Mais nous n'avons rien dit jusqu'ici d'un élément dont dépendent les lois fondamentales de la méca-

(1) Revue philosophique, mars 1887.

MOLK T>ES MATllÉMATIQl KS DANS LA SCIKNCK fiKNKRALE 03

nique, et par suite dont dépend aussi la notion do la force. Le « temps » entre dans les définitions de la vitesse et de l'accélération. \ 1m vérité, il n'est pas nécessaire de donner un sens concret à la quantité désignée par / dans les équations de la dynamique pour qu'elles aient en elles-mêmes une signification. Il suffit seulement d'y voir une variable continue susceptible de pivmlre toutes les valeurs réelles posilhes et négatives. Mais ces équations ne devant s'écrire qu'à l'occasion de phénomènes concrets de mouvements observés, il faut bien indiquer le moyen de mesurer celle quantité variable. D'un autre point de vue, on peut dire que, si les lois fondamentales ont été suggérées par l'observation, il a bien fallu dans les phénomènes observés connaître chaque fois les valeurs de /. Le temps est, comme la force, une circonstance du mouvement, mais c'est celle qui, s'ajoutant aux circonstances purement géométriques, permet à la mécanique de sortir de la géométrie pure, et à la cinématique de naître et de s'appliquer. Il lui faut nécessairement une définition concrète. L'idée toute naturelle de mesurer le temps d'après un mouvement périodique facilement observable, dont les phases successives représentent par convention des temps égaux, est certainement fort ancienne, et le mouvement diurne s'est sans doute offert de lui-même aux premiers penseurs qu'a préoccupés celte question. Une nouvelle convention, à savoir que les oscillations du pendule ont des durées égales, a conduit à l'horloge à secondes, c'est-à-dire au pendule qui donne un nombre déterminé d'oscillations pendant une rotation terrestre. Et c'est finalement un certain nombre de battements de ce pendule qui représente, dans toute observation, la valeur du temps. Il importe de voir ici clairement la part de la fiction. Dirat-on que la rotation terrestre est certainement uniforme.

1MÎ

LA CKIITITUIIK LWMOUK

ou que la terre tourne du même angle (Mi des temps égaux? Dira-on ensuite que les oscillations du pendule ont certainement même durée? Comment pourrait-on établir de semblables propositions, quel sens seulement pourrait-on leur donner avant d'avoir défini des durées ét/ales ? Selon quelques auteurs, il faut entendre par là des intervalles de temps dans lesquels se produisent, à des époques différentes, des phénomènes identiques. Mais que signifient ces mots « phénomènes identiques » ? Si Tidentilé doit porter sur toutes les circonstances du phénomène, l'idée est une chimère incompréhensible. Si elle doit se limiter à quelques circonstances déterminées, il faut dire lesquelles, et la fiction réapparaît alors tout entière. — On ne songerait jamais à invoquer un sens de la durée qui nous ferait apprécier une certaine égalité impossible pourtant à définir. Il faut bien se résoudre alors à voir, dans l'égalité des durées et dans la mesure du temps fondée sur la périodicité de certains mouvements, une part de convention.

Si maintenant nous revenons à la notion mécanique de la force, dont nous avons reconnu déjà le caractère fictif quand nous laissions encore de coté la signification de la quantité /, nous sentirons sans peine combien s'augmente la fiction, lorsque l'élément nouveau, que nous avons associé à d'autres pour former le concept, implique lui-même une certaine part d'arbitraire.

Qu'en présence d'un mouvement matériel offert par l'expérience nous énoncions une relation quelconque entre les concepts de temps, de vitesse, d'accélération, de masse, de force, qu'exprimerons-nous au fond sinon une vue spéciale de l'esprit, quelque chose de purement intelligible, non pas même impliqué dans le phénomène observé, ce qui n'aurait aucun sens, mais seulement

IIOLK DES MATIIÛMATIOIKS HANS f.A Sf.lKNCK tiKNKHAM. ï>7

pensé par nous à l'occasion de ce phénomène ? (*e sera, si Ton veut, une façon de penser et de parler correspondant à la chose observée ; disons le mot, ce sera un ////*flar/c spécial, créé par l'esprit pour la désigner. Si les phénomènes de mouvement se prêtent désormais à la méthode mathématique et à des raisonnements rigoureux, c'est qu'ils pourront se traduire dans une langue parfaite.

Une question se pose alors. Fictive ou non au début, suggérée d'abord par des conceptions plusou moins naturelles, mais en tout cashypolhétiques, cette langue ne va-t-elle pas nous conduire à dos lois dont la vérification expérimentale, en prouvant leur portée objective, établira en même temps la valeur réelle des coin entions premières? f/est poser en question, à propos de la mathématique appliquée, l'impuissance du principe de contradiction à nous faire sortir de l'intelligible pur.

Pour répondre plus clairement et prendre un exemple bien connu, rappelons la genèse de la loi de l'attraction universelle.

Les observations de Tycho-Brahé sur les mouvements des planètes permettent à Kepler d'énoncer les lois suivantes : 1° les planètes se meuvent dans des courbes planes, et leurs rayons vecteurs décrivent des aires proportionnelles aux temps; 4° les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer ; 3° les cubes des grands axes de ces ellipses sont entre eux comme les carrés des temps employés à les décrire.

Ces lois expriment, entre des faits géométriques et des faits de durée, des relations qui, se trouvant correspondre à un certain nombre de phénomènes observés, sont données par induction comme devant correspondre à toute une espèce de phénomènes. Le mode de correspondance est lui-même défini d'une façon précise. A propos de telle planète, on sait comment mesu-

G. MlLHAUD.

if

LA CKHTITinK L0GIQIE

rer tous les éléments qui entrent dans ces relations. Il est donc aisé de comprendre comment, d'une part, les observations particulières ont pu se traduire en ce langage, et, d'autre part, comment désormais dos données intelligibles, fournies par la loi dans un cas particulier, on passera au phénomène correspondant. Que les lois de Kepler nous permettent donc de fixer, à une époque quelconque, la position d'une planète dans le ciel, et que l'observation confirme la prévision : dira-t-on que les lois elles-mêmes se trouvent objectivement vérifiées? que Ton doit attribuer désormais auv éléments géométriques envisagés une existence concrète, et que la durée quantité cesse d'être une» fiction? Nullement. Ce qui est vérifié par l'observation, c'est d'abord, à Tégard des phénomènes, une induction ordinaire : un phénomène nouveau est à rapprocher d'autres déjà observés; et ensuite, c'est l'accord de la pensée avec elle-même, c'est la rigueur du langage qui, dans l'interprétation, a su rester conséquent avec lui-même. Mais quant au caractère de nécessité de ce langage, dont on voudrait trouver la preuve dans la vérification expérimentale des lois, il faut y renoncer. Qu'un seul des éléments fictifs qui le composent soit changé; que, par exemple, la durée ne se calcule plus de la même manière, qu'en d'autres termes on choisisse, pour définir e*^ compter des temps égaux, les phases d'un autre mouvement que la rotation terrestre, et voilà la première et la troisième loi complètement changées (I). Les phénomènes célestes qui reliaient entre eux les anciennes lois seront reliés par les nouvelles. L'avenir sera prévu tout aussi bien, les vérifications expérimentales ne feront pas défaut. Klles continueront à justifier une induction naturelle et à prouver que nous ma-

(1) Voir Ca linon, Revue philosophique^ 1887.