La quantité algébrique

L'algèbre n'est tout d'abord qu'une arithmétique où les nombres sont remplacés par des lettres, et où une formule, c'est-à-dire un tableau d'opérations à effectuer, se substitue au résultat numérique particulier, dans la solution d'un problème. Un symbole nouveau et propre à l'algèbre prend naissance avec les quantités négatives. Quelle en est l'origine ? C'est sans doute la considération des grandeurs susceptibles de varier dans deux sens opposés, comme une distance ou une durée. Si l'inconnue d'un problème doit se calculer par la formule x — a — 6, et que b soit plus grand que a, le problème n'admet pas de solution. Mais, dans le cas particulier où il s'agit d'une de ces quantités qu'on peut mesurer, à partir d'un état déterminé, dans deux directions contraires, on reconnaît que la solution x = b — a répond à un problème ne différant du premier que par le sens où on fait, varier l'inconnue. Plus généralement, l'idée paraît naturelle de compter certaines grandeurs positivement dans un sens, négativement dans l'autre, partout où elles interviennent, et on n'a pas de peine à vérifier, dans une foule de questions, que cette convention généralise et simplifie, en permettant de résoudre par une formule unique un certain nombre de problèmes distincts. Mais en laissant subsister le lien qui unit les nombres négatifs aux grandeurs elles-mèines, on peut difficilement éclaircir avec rigueur tous les points qui s'y rattachent. On sait tous les fantômes et toutes les obscurités que les meilleurs esprits se sont déclarés impuissants à dissiper; c'est précisément que pour eux la quantité négative était l'être nécessaire, le substratum indispensable que désigne le symbole.

MATHÉMATIQUES PURES

L'interprétation des calculs devient alors fort difficile. Comment justifier seulement la règle de multiplication des nombres négatifs ? Gomment même en donner le sens? Aujourd'hui tous les nuages ont disparu grâce à la séparation nettement tranchée entre un pur symbolisme d'une part, et, de l'autre, les interprétations possibles ou impossibles suivant les conditions concrètes. En peu de mots, voici comment se définissent maintenanties nombres négatifs ainsi que les opérations effectuées sur eux.

En choisissant d'abord les valeurs numériques attribuées aux lettres de telle façon que tous les calculs indiqués par les signes algébriques puissent se faire normalement, on appelle somme, différence, produit de deux polynômes (1), un nouveau polynôme dont la valeur numérique soit la somme, ou la différence, ou le produit des premiers, après la substitution des nombres aux lettres. Les règles qui fourniront le nouveau polynôme se déduisent de là tout naturellement. On supprime alors la restriction qui limitait le choix des valeurs attribuées aux lettres. Le sens des calculs et des raisonnements que Ton a faits disparaît en môme temps, une définition va y suppléer : on appellera somme, différence, produit de deux polynômes, le polynôme nouveau formé à l'aide des premiers, en vertu des règles précédemment obtenues. L'application mécanique de ces règles, abstraction faite de toute signification des lettres ou des calculs, servira toute seule à déterminer ici le but et le résultat de chaque opération. Les nombres négatifs, purs symboles de la forme — N (où N est nombre quelconque, entier, fractionnaire ou incommensurable), seront enfin posés comme des polynômes réduits à un terme, de sorte que les opéra-

(1) Suites de termes de la forme A -)- B — C où A, B,C sont

des produits de facteurs.

G. Milhaud.

tions principales effectuées sur eux se trouvent complètement définies. Les égalités portant sur des expressions où entrent de pareils nombres se trouvent définies par les régies de calcul elles-mêmes qui, effectuées dans chacun des deux membres, donnent de part et d'autre môme résultat. L'inégalité a besoin d'une définition nouvelle : on dira que l'on a A>B, A etB désignant des nombres quelconques .(positifs ou négatifs), si la différence A — B est un nombre positif; au contraire, on dira que l'on a A<B, si A — Best un nombre négatif. Gomme conséquence, il est clair que : 1° tout nombre positif est plus grand qu'un nombre négatif quelconque; 2° de deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est formé avec le plus petit nombre arithmétique.

Ainsi se trouve construite une série illimitée de signes partant de zéro et se succédant en ordre inverse des nombres arithmétiques; avec la série de ces nombres, elle forme une échelle double de symboles allant dans deux sens contraires de zéro à l'infini : celle précisément sans doute à laquelle conduisait l'intuition d'une distance variable, comptée à partir d'un point fixe dans deux directions opposées. Mais l'analyse a voulu la reconstruire pour elle, sauf à laisser le soin, à quiconque en fera une application concrète, de justifier la légitimité de son application.

Après le nombre négatif, c'est le nombre imaginaire qui s'introduit tout naturellement, à l'occasion de ce problème simple : Trouver un nombre dont le carré soit A. Si A est positif, l'arithmétique donne un nombre a entier, fractionnaire ou incommensurable, répondant à la question, et l'algèbre se contente d'y joindre — a, dont le carré est le môme. Mais, si A est négatif, il n'existe plus aucun nombre défini jusqu'ici, positif ou négatif, qui, multiplié par lui-môme, repro-

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duise À; autant vaut dire que le problème posé ne peut se résoudre avec les symboles jusqu'ici introduits : qu'à cela ne tienne, on créera un symbole nouveau dont le carré soit un nombre négatif, et les nombres imaginaires naîtront ainsi. Cette fois, il n'est pas facile aux esprits les plus acharnés à chercher l'être, la chose sous le signe, de trouver un substratum concret représenté par le symbole imaginaire, comme une collection d'objets l'était par le nombre entier : et de là viennent toutes les difficultés qui ont paru surgir par l'introduction des imaginaires. Mais, au fond, l'analyse n'a pas brusquement ici changé sa méthode, comme on pourrait le croire. Elle ne se trouve vraiment chez elle qu'au milieu de purs symboles, dont elle fixe elle-même les relations. Le nombre imaginaire arrive pour elle aussi naturellement que le nombre entier, celui-ci est un signe comme celui-là ; ni l'un ni l'autre ne prennent de signification permettant un usage pratique que lorsque l'esprit vient placer sous le langage symbolique une interprétation appropriée à l'usage qu'il en veut faire.

On trouve encore chez quelques mathématiciens l'idée qu'il n'y a pas de convention arbitraire dans cette propriété de — 1, d'être le carré de \j — ï. Nous craignons qu'ils ne soient victimes d'une erreur due à la persistance du signe \J . Sans convention, \J- — 1 ne signifie rien, l'opération que rappelle ce signe n'étant définie que s'il porte sur un nombre positif. Sans cloute, la convention sera naturellement amenée, cela est clair; mais, quant à affirmer sa nécessité, c'est méconnaître le caractère même de l'analyse.

Du reste, bien qu'il ne se cache, à l'origine de la quantité imaginaire, aucune quantité concrète, l'analyse fait même disparaître toute trace de cette origine, expérimentale jusqu'à un certain point (l'expérience

portant ici sur dos résultats de calcul). Et voici comment elle procède :

Sera dite quantité imaginaire toute expression de la forme a + b\j — 1, ou encore, pour simplifier l'écriture, a -H bi, où a et b sont des nombre positifs ou négatifs, et i un symbole auquel on convient d'appliquer toutes les règles de calcul algébrique, sauf que son carré se remplacera par — 1. L'égalité a + bi = a,Jr b'i

Ces définitions suffisent pour que des calculs de différentes sortes, effectués sur des imaginaires, se dégagent une foule de relations souvent très précieuses, non seulement pour l'analyse, qui y puise des transformations commodes de certaines expressions algébriques, mais pour l'arithmétique même et le domaine des nombres réels. Comment cela est-il possible? Comment le symbole i ne gêne-t-il pas? Mais en quoi gênerait-il, puisque toute égalité où il entre se dédouble en deux relations entre quantités réelles?

Du reste, le symbole a-\-bi trouve une représentation géométrique simple sur laquelle nous n'avons pas à insister : Qu'y a-t-il là que de très naturel? L'esprit ne peut-il essayer, — et cela de bien des manières, — de faire correspondre, par d'ingénieuses conventions, un symbole, quel qu'il soit, à certaines réalités concrètes ?

La notion de fonction est tout d'abord cette idée générale de relation entre deux phénomènes quelconques, suivant laquelle l'un variant, l'autre varie aussi. Cette notion s'applique d'abord aux grandeurs concrètes qui figurent dans ces phénomènes. C'est ainsi qu'on dira : Le temps nécessaire pour creuser une tranchée dépend,

signifiera, par définition