CHAPITRE II

Après le problème de la liberté, un des exemples les plus frappants de l'illusion, que produit l'usage du principe de contradiction, nous est offert par les interprétations courantes des résultats de la géométrie non euclidienne. D'une façon générale, on exagère, pour des conceptions différentes de celles que manie la vieille géométrie, l'importance de certains développements illimités qui peuvent logiquement s'en déduire. En particulier, tandis qu'un grand nombre de penseurs, y trouvant enfin la preuve de l'origine expérimentale des axiomes de la géométrie, en font une forteresse de l'empirisme, d'autres y voient une œuvre de la raison pure, qui leur permet d'édifier sur de nouvelles bases la thèse idéaliste.

Pour nous, on l'a vu, la condition même du caractère mathématique d'une suite de déductions est que les conclusions ne portent que sur des fictions qui lui servent de point de départ : c'est-à-dire que nous rejetons d'avance la possibilité de voir un pareil développement aboutir aux découvertes que l'on signale. Mais laissons

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là notre conviction préalable, et discutons directement les problèmes soulevés.

Résumons avant tout, au moins dans ce qu'ils ont d'essentiel, les travaux dont il est question.

a. — Les premiers datent du commencement de ce siècle, et remontent à Lobatctiewsky et à Bolyaï.

Tout le monde sait que, parmi les « notions communes » qu'Euclide a inscrites au début de la géométrie, il s'en trouve une qui, énoncée sous une autre forme, peut au fond se remplacer par celle-ci : « Par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite. » Elle est accompagnée de quelques autres de ces propositions qu'on a nommées depuis des axiomes, et auxquelles le géomètre grec donnait sans cloute la môme importance. Elles représentaient pour lui la quantité de vérités destinée à servir de fondement à la géo~ métrie. Mais il est arrivé que, tout en prenant Euclide pour modèle, et en n'altérant guère que la forme ou l'ordre des énoncés, les auteurs des traités en sont venus à ne citer au début de leurs livres que les notions nécessaires aux premières démonstrations sur les angles et triangles, et à réserver pour le moment opportun l'axiome des parallèles. Cette disposition, qui donne à un si haut degré l'impression d'une lacune dans la suite des déductions géométriques, a été sans doute pour beaucoup dans le besoin de la combler qu'ont témoigné tant d'esprits ingénieux et dans les efforts qu'ils ont faits pour y parvenir. Les recherches sans nombre qu'a suscitées l'axiome n'ont pu aboutir à une démonstration, mais il y avait un autre moyen de résoudre la difficulté, c'était de supprimer l'axiome luimême. Gauss le premier a songé à construire une géo-

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métrie qui en fût indépendante. Ses méditations sur ce sujet ne sont indiquées que vaguement dans sa correspondance. C'est Lobatchewsky et Bolyaï qui ont publié des systèmes complets de géométrie, où les démonstrations se font à la manière cl'Euclide, mais où on ne suppose plus qu'on puisse mener par un point une seule parallèle à une droite. A l'axiome euclidien Lobatchewsky substitue la proposition suivante : « Toutes les droites tracées par un môme point dans un plan peuvent se distribuer, par rapport à une droite donnée, en droites qui la coupent et en droites qui ne la coupent pas. — La droite qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à la droite donnée. Il y aura deux parallèles à la droite, symétriques par rapport à la perpendiculaire abaissée du point. »

Il est clair que les conclusions de la géométrie nouvelle sont distinctes des conclusions euclidiennes. Elles se réduisent à celles-ci quand on donne à un certain élément dont elles sont affectées une valeur particulière, celle qui correspond au cas où le faisceau de droites, ne rencontrant pas la droite donnée, se réduit à une droite unique. Ainsi la somme des angles d'un triangle n'est plus égale à deux droits, elle est plus petite que deux droits; mais elle reprend cette valeur quand on restreint les définitions nouvelles à ce qu'elles sont dans la géométrie ordinaire.

b. — La géométrie de Lobatchewsky a reçu un surcroît d'intérêt d'une étude de Beltrami qui en donnait, dans le langage mathématique ordinaire, une interprétation curieuse.

Beltrami considère une surface définie analytiquement par cette propriété que la courbure en chaque point, c'est-à-dire l'inverse du produit des rayons de courbure principaux, a une valeur constante négative. De ce que la courbure est constante, il résulte qu'une

portion de la surface peut être appliquée exactement sur une autre sans déchirure ni duplicature; la valeur négative de cette constante a ensuite pour conséquence que les lignes géodésiques, c'est-à-dire celles qui représentent le plus court chemin entre deux points, peuvent être prolongées indéfiniment, et que, par deux points donnés sur la surface, il n'en passe jamais qu'une seule, absolument comme pour les droites tracées clans le plan. Beltrami démontre que par un point de la surface passent deux lignes géodésiques, rencontrant à l'infini une géodésique donnée et séparant deux faisceaux, l'un formé de lignes qui la coupent, l'autre de lignes qui ne la coupent pas. C'est le postulat de Lobatchewsky réalisé, et la série des propositions de la géométrie non euclidienne va s'appliquer exactement à cette surface que Beltrami appelle yseudosphère.

c. — De son côté, Riemann, dans sa célèbre dissertation sur les hypothèses fondamentales de la géométrie, part de l'expression qu'on peut attribuer à la différentielle de la distance de deux points, lorsque, d'une manière générale, un point se trouve dépendre de n valeurs algébriques, ou. comme on dit, est compris clans un espace à n dimensions. Puis, supposant constante et positive une certaine expression analytique qui représentera la courbure en chaque point, Riemann est amené à construire une géométrie qui, pour n — 3 et n — 2, se distingue, comme celle de Lobatchewsky, mais dans un sens opposé, peut-on dire, de la géométrie euclidienne. En se bornant au cas de deux dimensions, on voit, par exemple, qu'étant donnés une ligne droite et un point, il ne passe par le point aucune droite ne rencontrant pas la première. Étant donnés deux points, ils ne déterminent pas toujours une droite unique. La somme des angles d'un triangle surpasse deux droits, etc.

Si la géométrie de Lobatchewsky avait trouvé son interprétation sur la surface pseudosphérique de Beltrami, à courbure négative, celle de Riemann s'identifie, pour le cas de deux dimensions, avec la géométrie de la surface de la sphère, Tare de grand cercle jouant le rôle de droite.

d. — Ce ne sont pas là d'ailleurs les seules interprétations que les mathématiciens aient fait correspondre aux géométries non euclidiennes. MM. Klein, Poincaré, Lie, ont construit des développements analytiques où des hypothèses faites sur les données initiales fournissaient la suite des théorèmes des diverses géométries. 11 est inutile, pour le moment du moins, d'insister sur ces travaux; il suffit de signaler la correspondance qui a pu s'établir, grâce à la confection d'un vocabulaire spécial, entre les énoncés des géométries non euclidiennes et ceux de certains développements d'analyse ne sortant en rien du cadre habituel des recherches mathématiques.

Ces quelques points rappelés, reconnaissons d'abord à ces travaux un grand intérêt mathématique. En particulier, déclarons franchement que, du point de vue du géomètre, et dans le sens spécial où il entend la démonstration, ils impliquent véritablement la preuve que le postulat d'Euclide ne peut se démontrer. En d'autres termes, ils montrent que ce postulat ne peut se déduire des seules relations quantitatives, posées au début de la géométrie euclidienne, pour traduire, à la façon du géomètre, le donné du plan et de la droite. Les mômes relations étant en effet supposées sur la pseudosphère de Beltrami, par exemple, avec en outre, — cela va sans dire — des circonstances complémentaires, le mathématicien aboutit ici à l'énoncé de Lobatcbewsky. Les équations qui l'expriment peuvent donc se déduire d'un ensemble d'autres parmi lesquelles se

trouvent les axiomes fondamentaux de la géométrie ordinaire (par deux points ne passe qu'une géodésique, elle peut se prolonger indéfiniment, elle est le plus court chemin entre deux points; les figures peuvent se transporter sur la pseudosphère en restant invariables de grandeur). 11 y a là en somme la démonstration de ce fait que les relations quantitatives traduisant de quelque façon le postulat d'Euclide ne résultent pas de celles qui traduisent les autres : puisque le postulat de Lobatchewsky se trouve faire partie d'un système d'équations qui comprend aussi les premiers axiomes de la géométrie euclidienne, il n'est pas contradictoire avec ceux-là, et l'axiome des parallèles, qui le contredit, ne pouvait donc se déduire logiquement de ces premiers axiomes. Or, c'est bien ce qu'entendra le géomètre quand il déclarera que le postulat d'Euclide n'est pas démontrable. Et ce que nous disons de l'interprétation de Beltrami pourrait se répéter de toutes les autres qui reposent sur un système initial de relations communes à la géométrie euclidienne et à telle autre géométrie (1).

Il y a là un fait qui ne sort pas du domaine mathématique, et que nous pouvons bien reconnaître sans contredire à notre thèse générale. Dans la première édition de ce travail, nous avions eu tort, nous semblet-il aujourd'hui, d'être effrayé par cette affirmation des néogéomètres que le postulat d'Euclide est décidément reconnu par eux indémontrable. Une pareille conclusion est permise au même titre que tel énoncé de théorème nouveau; elle ne nous fait pas sortir du domaine où le mathématicien, arrêtant lui-même avec précision les contours de ses concepts, réussit à construire sur eux des démonstrations dont la rigueur le satisfait. S'il

i) Voir YÉ tude sur l'Espace et le Temps de M. Lechalas (p. 47), qui a contribué pour sa part à éclairer nos idées sur ce point.

îi À CERTItUDE LOGÏQUÊ

pose d'abord que, quelque soit le mystérieux du donné de l'intuition géométrique correspondant au plan et à la droite, ce sont les relations A, B, G qui le traduisent; s'il admet que ce sont les seules qui interviennent dans les raisonnements mathématiques vraiment rigoureux, il se trouve bien aboutir à la preuve mathématique que le postulat d'Euclide n'est pas démontrable. Quand nous insistions autrefois sur ce qu'il pouvait y avoir quelque illusion dans cette manière de voir les choses (1), nous avions le tort d'apporter des préoccupations étrangères, par leur objectivité trop absolue, aux conceptions habituelles du géomètre. Nous prenions une attitude trop réaliste. Nous avions le tort de vouloir voir en dehors du champ où s'exerce naturellement l'activité du géomètre. A le pousser ainsi au delà de la

(1) Le lecteur saisira mieux notre pensée si nous rappelons ici les réflexions que nous opposions alors à l'affirmation des néogéomètres : « Les objets qu'étudie la géométrie, disious-nous, quelque degré d'abstraction qu'on leur accorde, et malgré les efforts de notre esprit pour les transformer en des êtres purement intelligibles, pour leur affecter une existence et une signification exclusivement logiques, ne peuvent jamais cesser de garder un fond d'objectivité qui échappe à toute définition. Qui pourrait se flatter en particulier de définir complètement ces êtres fondamentaux qui s'appellent la ligne droite et le plan ? Le géomètre raisonne sur ces éléments, il les fait sans cesse entrer dans des démonstrations nouvelles, mais ces démonstrations ne sont pas, à l'exemple des déductions de l'analyse, des suites d'idées où chaque pas nouveau se fait sous la garantie de quelque .définition adéquate à son objet, qui s'inquiète peu de n'être que formelle et symbolique. Dans les raisonnements de la géométrie ordinaire, l'intuition ne perd jamais ses droits. Non seulement elle ajoute aux déductions un substratum qui aide et soutient l'esprit, mais il est de plus impossible de dire exactement jusqu'où va son rôle dans les déductions elles-mêmes; il est impossible de séparer ce substratum du raisonnement logique, et d'y substituer des notions dont l'ensemble lui soit exactement adéquat.

Les premières propositions sur la droite et le plan, qui peuvent sembler donner des définitions claires, ne doivent pas faire illusion à cet égard. Loin d'exprimer clairement les propriétés nécessaires et suffisantes, elles ne peuvent échapper à de véritables cercles vicieux, en ce sens que, d'un côté, dans les ligures planes formées de droites, il est difficile de dire jusqu'à quel point la nature du plan ne communique pas une

signification de ses termes, c'est à la géométrie tout entière, à la géométrie démonstrative telle que l'ont faite les Grecs, que nous aurions fait le procès, et non pas seulement aux travaux de néogéométrie, dans la partie où ils mettent en évidence ce point tout mathématique de l'indépendance réciproque de certaines relations quantitatives.

Au surplus, c'est une proposition toute négative qui se trouve établie : le postulat des parallèles n'est pas une conséquence logique des autres axiomes explicitement énoncés au début de la géométrie. Cela n'aprend rien de positif relativement au postulat deLobatchewsky. On ne voit pas à priori pourquoi on ne pourrait pas, par un choix convenable de relations quantitatives jointes aux premiers axiomes de la géométrie ordinaire,

part de leurs propriétés aux droites, et que, d'un autre coté, le plan participe nécessairement de la nature propre de la droite. En outre, il est question, dès le début de la géométrie, d'égalité géométrique. On connaît la définition adoptée depuis Euclide : Sont égales deux ligures dont Tune peut être amenée cà coïncider avec l'autre. Cette définition contribue évidemment à déterminer le plan, en énonçant pour lui cette propriété, que les figures peuvent s'y déplacer en restant les mêmes. Or, que signifie-t-elle? En disant qu'une figure reste invariable, veut-on entendre que les longueurs restent égales à elles-mêmes, les angles égaux à eux-mêmes, etc. ? Il faudrait alors recourir, pour s'expliquer, à cette égalité même qu'il s'agit de définir! On n'évite le cercle vicieux qu'en invoquant une notion que nous possédons tous, celle du déplacement d'un solide invariable de grandeur et de forme. Il faut bien reconnaître ce qu'il y aurait de chimérique à vouloir indiquer la liste des notions auxquelles équivaut cette donnée, en fonction des propriétés des ligures, c'est-à-dire en première ligne, en fonction des propriétés de la droite et du plan. Si ces difficultés n'empêchent pas la géométrié de se dérouler sous la forme que nous lui connaissons, n'est-ce pas que le géomètre raisonne toujours sur des figures, et qu'il ne lui est pas indispensable, par conséquent, d'avoir dressé la liste complète des définitions adéquates aux données de l'intuition? Mais alors sent-on toute

l'illusion de quiconque croirait énoncer, par une liste déterminée de propriétés, traduisibles en langage analytique, les définitions de la droite et du plan? Sent-on combien peu on est fondé à déclarer adéquates à ces êtres de l'intuition géométrique des notions d'algèbre construites avec telles propriétés quantitatives déterminées ? »

déduire telle autre formule, si extravagante qu elle parût.

N'est-on pas frappé plus qu'il ne convient de ce que les géométries non euclidiennes peuvent se poursuivre indéfiniment, et n'y voit-on pas en quelque mesure la justification des principes initiaux? Il serait naïf d'insister sur ce que les propositions les plus étranges peuvent servir de point de départ à des chaînes illimitées de conséquences logiques, ne présentant d'ailleurs jamais à notre esprit rien de plus inacceptable que les premières. Le déroulement à l'infini des géométries non euclidiennes aboutit en somme à nous placer devant des conceptions curieuses, témoignant de l'ingéniosité sans limite de notre esprit, — mais est-il capable d'apporter un seul argument nouveau pour établir, contre Kant, l'origine expérimentale de notre connaissance géométrique, — ou pour justifier un idéalisme plus large encore que celui de Kant, — telles sont les questions qu'il nous faut aborder sans retard.

Et d'abord comment l'empirisme a-t-il pu tirer partie des travaux de géométrie non euclidienne? Le postulat d'Euclide, disent les néogéomètres, n'est pas démontrable, donc c'est l'expérience qui l'a suggéré. — Mais pourquoi cette attitude spéciale à l'égard de l'axiome des parallèles? Il n'en manque pas d'autres qui ne sont pas non plus démontrables, que même jamais personne n'a cherché à démontrer, et à propos desquels cependant la question de leur origine est restée toujours ouverte.

Est-ce que le postulat d'Euclide présenterait un caractère synthétique si accentué qu'on en fût effrayé, et qu'on n'osât pas y voir une notion à priori ? Mais on

oublierait donc la position que prenait Kant à l'égard de tous ces axiomes? Se préoccupait-il de savoir, pour les déclarer aprioriques, s'ils étaient démontrables, s'il était possible de les déduire d'une analyse rigoureuse des termes, s'ils étaient analytiques? et se prenait-il à hésiter en présence de ceux dont le caractère synthétique semble plus évident? On sait bien le contraire. Tous les axiomes de la géométrie sont pour Kant en même temps synthétiques et à priori, sans exception, pas môme quand il s'agit de cette proposition, que la droite est le plus court chemin d'un pointa un autre; et on imaginerait difficilement une affirmation plus synthétique que celle-là. Eh bien! donc, comment soutenir que l'axiome des parallèles, en cessant d'être une conséquence logique de propositions antérieurement posées, doit apparaître aussitôt comme ayant une origine empirique?

L'erreur que nous signalons a évidemment sa cause dans les acceptions diverses qu'on attribue au mot nécessaire. Le postulat des parallèles n'est pas démontrable, donc, ajoute-t-on, il n'est pas nécessaire. C'est donc de nécessité logique qu'il est question, de celle qui résulterait d'une démonstration rigoureuse : soit î Mais, lorsque ensuite on conclut au' caractère non apriorique de l'axiome, on raisonne mal, car on substitue à la nécessité logique celle qui s'impose à tout esprit, en tout temps, en tout lieu, et surtout en dehors de toute expérience. C'est ce dernier sens, celui de Kant, qui exclurait évidemment l'origine empirique : or, on sent la distance qui le sépare du premier.

Si les néogéomètres n'avaient pas d'autre argument pour affirmer l'origine expérimentale de l'axiome d'Euclide que le sentiment d'avoir établi qu'il n'est pas démontrable, il nous semble qu'il serait vraiment inutile d'en dire plus long. Mais au fond, ce n'est peut-être pas

là le point essentiel. Nous avons eu surtout en vue jusqu'ici la géométrie cle Lobatchewsky. Les travaux tels que ceux de Ricmann ou de Helmholtz ou de M. Lie, qui ont pour objet une reconstitution des principes fondamentaux de la géométrie, nous offrent dans la question que nous examinons maintenant un intérêt spécial. Arrêtons-nous un instant sur ces travaux.

Voilà Riemann, par exemple, qui, partant de la notion de quantité [qu'il restreint d'abord à celle des quantités continues, mesurables entre elles], conçoit la multiplicité à n dimensions, c'est-à-dire celle où un point dépendrait de n de ces quantités, — puis se donne pour la différentielle d'une ligne une expression telle que la courbure en un point (une certaine fonction analytique des différentielles des coordonnées) reste constante. Il est alors en possession d'un concept général d'espace qu'il faut restreindre, pour l'amener à coïncider avec l'espace euclidien, d'abord en réduisant à trois le nombre des dimensions, et enfin en attribuant une valeur nulle à la courbure.

Helmholtz passe de môme de la multiplicité à n dimensionsà l'espace euclidien. Les fonctions analytiques que Riemann choisit pour point de départ sont déduites par Helmholtz de quelques hypothèses sur le mouvement des corps. L'illustre savant est amené à considérer, parmi les multiplicités à n dimensions, celles où se trouvent des systèmes indéformables et mobiles. Il suppose en outre le mouvement d'un solide entièrement libre, et enfin il restreint encore le concept de sa multiplicité spatiale par cette condition, que, si n — 1 points d'un système sont fixés, il repassera par la position initiale. Pour distinguer parmi les espaces ainsi définis l'espace euclidien, il ne lui reste plus alors qu'à supposer le nombre des dimensions égal à 3, et à admettre que les dimensions d'un point peuvent grandir indéfiniment.

Enfin, citons encore les travaux de MM. Lie et Poincaré qui s'inspirent, comme Helmholtz, du déplacement des systèmes invariables. Donnant deux dimensions au plan, et acceptant que la position d'une figure plane dépende de 3 paramètres, M. Poincaré (1) est conduit par la théorie analytique des groupes du géomètre norvégien à un certain nombre de géométries planes, parmi lesquelles il ne retrouve la géométrie euclidienne qu'en ajoutant les deux hypothèses suivantes : Si une figure plane ne quitte pas son plan et que deux de ses points restent immobiles, la figure entière reste immobile, et ensuite : la somme des angles d'un triangle est constante.

Ces travaux ne semblent-ils pas, en énonçant les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de notre géométrie, en aboutissant par conséquent à une sorte de définition du concept d'espace qui en est la base, ne semblent-ils pas, dis-je, ruiner la thèse de l'idéalisme kantien ? Ne donnent-ils pas pour ce concept un assemblage d'éléments où rien n'apparaît comme nécessaire, ni les éléments eux-mêmes, ni leur mode d'association ? « L'analyse de Riemann et les études postérieures, dit M. P. Tannery, ont montré d'une façon nette et précise que le concept d'espace est formé par une association de diverses notions parfaitement distinctes les unes des autres, celles de grandeur, de continuité, de dimension, de triplicité, de mesure, d'identité de l'unité de mesure suivant les diverses dimensions, de distance, de loi analytique relative à la distance de deux points. Il est également prouvé qu'il n'y a subjectivement rien de nécessaire dans l'association de ces notions, ni dans la forme spéciale que revêt la dernière. Que les lois de notre entendement

(1) Bulletin de la Société mathématique, t. XV, p. 203*

jouent leur rôle dans la constitution de ces notions, cela n'est pas douteux, et la discussion peut seulement porter sur le plus ou moins d'importance de ce rôle. Mais, quant à leur association, ces lois ne paraissent nullement y contribuer; on peut, en effet, la bouleverser de toutes les façons possibles, on peut y introduire certaines autres notions différentes, tout en maintenant au concept son caractère logique, qui lui permet d'être l'objet d'une science. Rien ne reste donc du concept qui soit subjectivement nécessaire... Toute proposition sur l'espace est donc subjectivement contingente et ne diffère pas à cet égard des autres propositions qui peuvent être formulées comme lois de phénomènes extérieurs. Ces diverses conclusions peuvent-elles être mises d'accord avec la véritable pensée de Kant ?... Cela, à la ngueur, est possible.. . Montrer qu'elles n'ébranlent pas un point fondamental du système serait une tâojie que je ne puis que décliner... (1) »

Le maître, dont nous donnons ici la pensée, ne s'estil pas fait illusion sur les difficultés de la tache qu'il décline? Où aboutissent en somme les travaux qui nous intéressent ? Ils cherchent à donner une définition de l'espace à l'usage de la science, à construire un concept de l'espace qui puisse servir de point de départ à la géométrie. La question consiste à dresser une liste de propositions qui, une fois posées, aient comme conséquence le développement que possède actuellement la géométrie. On sent d'avance l'indétermination du problème. Aucune restriction, aucune condition ne sont imposées ni au choix des propositions, ni au choix des éléments sur lesquels on bâtira les fondements de l'édifice qui doit se confondre, après un certain nombre d'assises, avec notre géométrie. Les solutions de Rie-

(1) Bev. Philos., 3, p. 57 \.

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nninn, do Helmholtz, de M. Poincaré satisfont à la question : tout se passe en géométrie comme si on eût pris la série des postulats qu'elles nous offrent pour point de départ. Un mode de groupement curieux d'éléments empruntés à la perception, et de notions empruntées à l'analyse mathématique, se trouve réaliser un échafaudage qui, logiquement, pourra se substituer à l'idée d'espace, au début des déductions géométriques.

Le procédé commun à toutes ces solutions est assez facile à saisir : il consiste à faire rentrer la notion d'espace dans des genres de plus en plus généraux. On redescend ensuite du plus général, auquel on a jugé à propos de s'élever, jusqu'au concept qui sert de base à notre géométrie, par une série de restrictions successives. Cela est fort intéressant, mais enfin croit-on vraiment qu'il nous fallait voir réalisée cette double marche ascendante et descendante dans les travaux cit^s pour penser qu'elle était possible ? Riemann choisit, pour la différentielle de la distance de deux points, une expression plus générale que celle qui convient à notre géométrie euclidienne: elle ne se réduit à celle-ci que dans un cas particulier. Riemann, Helmholtz, et tous les néogéomètres d'ailleurs, substituent d'abord n dimensions aux 3 de notre espace. Mais, en vérité, qui a pensé jamais qu'il y eût là quelque chose d'impossible ? Se trouve-t-on plus édifié par les travaux eux-mêmes, fondés sur de telles généralisations, que par la fantaisie qui eût pu en suggérer l'idée à quelque esprit spéculatif ? Supposez qu'on eût dit à Kant, avant la publication d'aucun des travaux dont il s'agit : « Introduisons n variables, au lieu de 3, dans les équations de la géométrie analytique, les résultats de celle-ci ne se présenteront plus que comme cas particuliers, correspondant à la valeur 3 donnée à n. » N'y eût-il pas eu dans cette simple idée, ainsi exprimée, tout ce qu'on nous donne comme

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capable d'ébranler la croyance au caractère nécessaire de nos 3 dimensions ? Or croit-on sérieusement que la pensée de Kant en eût été troublée et qu'il se fût aussitôt écrié : Si je peux considérer les relations géométriques habituelles comme cas particuliers de relations plus générales dépendant de n dimensions, c'est donc que mon esprit n'est pas obligé de ne donner que 3 dimensions à l'espace ? Supposez encore qu'on eût attiré son attention sur ce fait que la notion d'espace n'est pas étrangère à celle de quantité, puisque la géométrie analytique, depuis Descartes, ne fait pas autre chose que de substituer de plus en plus la quantité pure à l'intuition géométrique : n'y eût-il pas eu dans cette remarque, que les connaissances mathématiques de Kant rendaient inutile, de quoi lui suggérer, bien avant Riemann et Helmholtz, 1 idée des rapports logiques par lesquels on peut relier les concepts de quantité et d'espace ? Kant savait bien la possibilité pour la science de ramener l'idée d'espace à celles de nombre et de quantité, et il ne semble pas qu'en lui l'analyste pût infirmer les conclusions du métaphysicien. Du reste, sans faire appel aux connaissances mathématiques du philosophe de Kœnigsberg, rappelons seulement un des axiomes qu'il donnait comme nécessaires et à priori : la droite est le plus court chemin d'un point à un autre. N'entret-ilpas dans cette simple proposition, qui contribuait pour lui à définir le concept d'espace, les idées de quantité [le plus court chemin), et de mouvement {chemin, parcouru par un mobile qui se déplacerait d'un point vers l'autre) ? Dira-t-on que cela avait pu échapper à Kant ? Mais, bien au contraire, c'est parce qu'il sentait que dans un pareil postulat s'associaient des notions aussi diverses qu'il le disait synthétique*

Ainsi les généralisations logiques, qui, clans les travaux récents, font rentrer le concept de notre espace,

et plus généralement le concept d'espace, dans des genres de plus en plus larges, ces sortes de classifications curieuses n'avaient pas besoin des travaux mathématiques eux-mêmes pour être envisagées comme possibles, et le langage de Kant n'est pas incompatible avec elles.

Soit, dira-t-on peut-être, mais ce que les travaux récents ont appris, c'est qu'on peut diversement effectuer ces classifications logiques, c'est qu'ils présentent sous différents aspects, dont aucun ne s'impose de préférence aux autres, le mode de dépendance du concept d'espace à l'égard des notions auxquelles on le rattache. La réponse d'un idéaliste kantien est toute prête : Ces groupements ont la même importance logique, en ce sens que l'on fait abstraction de Ja signification concrète des termes et qu'on ne se préoccupe que de l'enchaînement formel des propositions. Ils peuvent bien se substituer les uns aux autres, et aussi aux axiomes fondamentaux de la géométrie, sans rompre le lien logique qui rattache la chaîne des déductions géométriques à ses premiers anneaux, mais ce sont des jeux d'esprit, ils sont artificiels, arbitraires : Un seul système est nécessaire, c'est celui qui se réduit purement et simplement à l'énonciation des axiomes de notre géométrie.

Si l'on conteste la légitimité de cette réponse, au nom de la géométrie non euclidienne, je crains que ce ne soit encore parce qu'on ne s'entend pas sur le sens des termes. Les néogéomètres objecteront qu'ils ne se placent qu'au seul point de vue de la nécessité subjective et qu'il leur suffit que l'esprit puisse édifier diverses constructions logiques aboutissant au concept d'espace, pour avoir le droit de déclarer ce concept subjectivement contingent et, par conséquent, pour rejeter son caractère à priori. C'est ici précisément qu'ils s'écartent

du sens et du langage de l'idéalisme kantien. La nécessité qu'accorderait un disciple de Kant aux axiomes de la géométrie euclidienne, à l'exclusion de tous les autres systèmes de propositions qu'on veut y substituer, c'est bien aussi une nécessité subjective, c'est une nécessité qui résulte de la nature de notre esprit. Mais c'est une autre signification que les néogéomètres donneront à ce mot subjectif \ et il n'est pas besoin d'aller très loin pour la trouver, c'est celle que nous avons précisément adoptée au cours de notre étude, quand nous avons voulu caractériser par ce terme ce qui est construit par l'esprit sans lui être imposé, ce qui est, en quelque mesure au moins, arbitraire, artificiel, fictif, en ce sens que l'esprit, en construisant, a conscience qu'il pourrait procéder autrement. Il est bien évident que dans ce sens la diversité des constructions est la marque môme de leur subjectivité, et que les termes nécessaire et subjectif sont contradictoires. Mais c'est affaire de définitions, et Kant n'adopte pas les mêmes. Déclarer nécessaires et subjectivement nécessaires les axiomes de la géométrie, c'est à ses yeux affirmer que, étant donné notre esprit tel qu'il est nous ne pouvons pas nous écarter clans l'intuition des relations exprimées par ces axiomes. Et, ainsi comprise, la position de l'idéalisme kantien ne nous paraît pas être ébranlée par ce simple fait que des constructions logiques en nombre quelconque, où l'on ne se préoccupe même pas de faire appel à l'intuition, peuvent indifféremment servir de point de départ aux déductions géométriques.

Mais, sur ce terrain véritable, le criticisme de Kant n'est pas sans avoir subi de rudes assauts de la part des néogéomètres. C'est surtout Helmholtz qui nous semble avoir fait les efforts les plus sérieux pour le combattre, non pas tant par les travaux auxquels nous

avons déjà fait allusion, que par les commentaires que lui ont suggérés les études de Beltrami. Rappelons d'abord que Helmboltz accepte bien la formule kantienne « L'espace est la forme à priori du sens extérieur », mais il ne l'entend pas comme lui. À ses yeux, la notion qui est à priori n'implique pas de préférence tels ou tels rapports spatiaux, elle est en particulier indépendante des relations affirmées par les axiomes de la géométrie. Ceux-ci ne sont que la matière de fidée d'espace. Et c'est l'expérience seule qui pourra les justifier, tandis que pour Kant, au contraire, la notion d'espace trouve son expression naturelle dans les axiomes, c'est d'eux que lui vient son caractère apriorique, et ce qui conduit Kant à les dire nécessaires et à priori, c'est, nous le rappelions tout à l'heure, l'impossibilité de s'écarter dans l'intuition des vérités qu'ils expriment. Helmholtz, pour combattre directement cette thèse, s'efforce de créer idéalement l'intuition d'un espace où les axiomes ordinaires ne seraient plus vrais.

11 lui faut avant tout expliquer ce qu'il entendra par la représentation intuitive d'une chose qui sort absolument du champ de notre intuition commune. Helmholtz admet qu'un objet inconnu est représentable en intuition quand sont représentables toutes les impressions sensibles qu'il suscite en nous, suivant les lois connues de nos organes, et sous toutes les conditions possibles d'observation. Puis, fort de cette définition, il cherche, entre autres exemples, à énumérer la série des impressions sensibles que produiraient sur naus les phénomènes de l'espace pseudosphérique. Il ne s'agit pas là seulement de la surface de Beltrami. En introduisant dans ses calculs une variable de plus, le géomètre italien a étendu ses conclusions à ce qu'il a appelé l'espace pseudosphérique. C'est cet espace où Helmholtz nous fait pénétrer.

Pour comprendre son langage, il faut connaître le procédé par lequel Beltrami a obtenu aisément tous ses résultats. Définissant un point de la pseudosphère à l'aide de deux coordonnées u, v, il considère, on même temps qu'un point de cette surface, le point du plan dont u et v seraient les coordonnées cartésiennes. Grâce au choix des coordonnées u et il arrive alors que les droites du plan correspondent aux lignes géodésiques delà pseudosphère, et les points d'une circonférence de rayon fini correspondent aux points h l'infini de la surface, de sorte que celle-ci a, dans un certain sens, sa représentation complète à l'intérieur d'un cercle. A deux lignes géodésiques se coupant à l'infini correspondent deux cordes du cercle ayant une extrémité commune ; à deux lignes se rencontrant ou ne se rencontrant pas correspondent deux cordes se coupant à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle. — C'est de la môme manière que l'espace pseudosphérique, où chaque point sera défini par trois coordonnées, trouve une ingénieuse représentation dans l'intérieur d'une sphère.

Cela posé, voici comment d'après Helmholtz « les phénomènes d'un monde pseudosphérique apparaîtront à un observateur dont l'œil et l'appréciation se seraient formés dans un espace analogue à notre espace plan. A son entrée dans la pseudosphère, cet observateur continuerait à regarder les rayons lumineux ou les lignes de vision comme des lignes droites, tout aussi bien que dans l'espace plan, et comme elles le sont en réalité dans la représentation sphérique de l'espace pseudosphérique. L'image visuelle des objets dans la pseudosphère lui ferait donc la même impression que s'il se trouvait au centre de la sphère représentative de Beltrami. Les objets les plus éloignés lui sembleraient l'entourer à une distance finie, de 100 pieds par exemple.

ais, s'il se transportait jusqu'à eux, il les verrait 'étendre devant lui et plus en profondeur qu'en surface; derrière lui, au contraire, ils se contracteraient. Il reconnaîtrait l'erreur d'appréciation commise par ses yeux. S'il avait vu deux lignes droites qui lui parussent parallèles jusqu'à cette distance de 100 pieds, où le monde s'arrête pour lui, il reconnaîtrait en s'approchant que, par cette extension des objets avoisinants, elles s'écartent d'autant plus qu'il s'avance davantage ; derrière lui au contraire, leur distance semblerait diminuer de façon qu'elles paraîtraient de plus en plus divergentes et éloignées l'une de l'autre. Deux lignes droites, qui, de la première position, lui auraient paru se couper en un seul et même point, derrière lui, à une distance de 100 pieds, en feraient toujours autant, et il aurait beau s'approcher, il n'atteindrait jamais le point d'intersection (1). »

N'éprouve-t-on pas une sensation de surprise, en passant brusquement de la correspondance analytique, établie par Beltrami entre deux systèmes de coordonnées, à la correspondance effective de deux séries d'impressions? Est-ce que Helmholtz ne donne pas à son tour une interprétation physique et physiologique de celle de Beltrami?

Son explication n'a de sens que par une hypothèse qu'elle admet implicitement, à savoir que les images représentatives, construites par Beltrami à l'intérieur d'une sphère, doivent devenir des images réelles pour l'observateur qui aura pénétré clans le monde pseudosphérique. Mais alors, si, pour nous donner un exemple dïine série d'impressions différentes des nôtres, Helmholtz nous eût simplement demandé de supposer possibles celles dont il fait l'énumération, on comprend

(1) Revue scientifique, juin 1877. Les axiomes géométriques, origine et signification.

difficilement ce qu'eussent gagné ses arguments au travail mathématique de Beltrami. Qu'importe au philosophe allemand que rénumération de ces impressions d'un nouveau genre évoque, par un rapport purement extérieur, quelques propriétés analytiques curieuses ? Tout au plus laissons à ce monde étrange où nous conduit Helmholtz le nom de pseudosphérique, c'est affaire de mot, mais distinguons bien entre l'espace pseudosphérique du mathématicien et celui du physicien et du physiologue. Quand c'est à des instruments d'optique qu'a recours Helmholtz pour nous rendre représentables des impressions visuelles non ordinaires, le secours de ces instruments, en réalisant les impressions dans des cas particuliers, éclaire d'un grand jour et appuie solidement la pensée du savant; mais il n'y a aucun rapprochement à faire entre ce rôle des miroirs ou des lentilles et celui du travail de Beltrami.

De quelque façon qu'on juge la thèse philosophique de Helmholtz, il ne semble donc pas que, pour l'approuver ou la combattre, on puisse manquer d'un seul élément nécessaire à la discussion, si on laisse complètement de côté la géométrie non euclidienne.

La même remarque s'appliquera d'ailleurs à tous les exemples d'intuition spatiale différente de la nôtre, qu'il a pu plaire à tel ou tel esprit ingénieux d'imaginer. Que les discussions provoquées par les travaux de métagéométrie aient été l'occasion de ces hypothèses plus ou moins étranges, cela est certain. Mais, en tout cas, ces travaux eux-mêmes n'apportent pas un seul argument en faveur de leur légitimité, pas une seule explication pour les rendre plus compréhensibles, Dites, par exemple : Notre intuition est inséparable de trois dimensions, mais qui sait si nous n'aurions pas pu, dans d'autres circonstances, en connaître quatre, qui sait s'il n'est pas des êtres et un monde pour lesquels

la quatrième dimension existe, qui sait enfin si cet espace où nous vivons n'a pas quatre dimensions ou môme plus, sans que nous puissions croire à plus de trois ? Dites cela, et cette simple énonciation de questions plus ou moins compréhensibles contiendra tout ce que notre esprit est capable de trouver ou de créer pour élucider ces questions: les géométries non euclidiennes, sous prétexte de manier les mêmes mots dans leur langage, ne sauraient rien y ajouter.

Il nous reste à voir si les travaux des néogéomètres qui n'ont pu, à nos yeux, apporter quelque argument nouveau en faveur de l'empirisme, peuvent être invoqués, au contraire, comme quelques-uns l'ont prétendu, à l'appui delà thèse idéaliste.

En deux mots, voici ce qui est allégué. A l'exemple de Lobatchewsky, de Riemann et des néogéomètres dont nous avons parlé jusqu'ici, mais d'une façon différente, M. Calinon (1) a élaboré les définitions essentielles qui peuvent servir de base à une géométrie des espaces à trois dimensions, géométrie générale dont celle d'Euclide ne serait qu'un cas tout particulier. Les espaces à courbure constante eux-mêmes ne sont que des cas particuliers, et il faut que ceux-ci deviennent identiques (possibilité du transfert sans déformation), et enfin que l'axiome des parallèles y soit vrai, pour qu'on puisse reconnaître l'espace euclidien. Dans le cas le plus général, la série des théorèmes se poursuit aussi loin que l'on veut avec la même rigueur que dans

(1) Voir V Introduction à la géométrie des espaces à trois dimensions,^ M. Calinon, ainsi que les articles de MM. Calinon et Lécha las publiés dans la Revue philosophique, la Critique philosophique, les Annales de philosophie chrétienne en 1889, 1890, 1891.

la géométrie ordinaire. Une géométrie générale se trouve ainsi créée, dépendant d'an paramètre dont il n'appartient pas â l'esprit mais à l'expérience de fixer la valeur. Nous retrouvons ici, à l'égard de la géométrie ordinaire ou euclidienne, qui correspond à une valeur particulière du paramètre en question, les conclusions empiristes que nous avons déjà discutées. Mais la thèse nouvelle présente ceci d'original, qu'elle s'élève au-dessus des géoiné tries particulières pour voir, dans la géométrie générale, une construction purement rationnelle, sans postulats, fondée sur des définitions à priori, qui se trouvent d'ailleurs légitimées par le seul fait de donner naissance à un développement logique indéfini . Cette science, la véritable géométrie rationnelle, est ainsi tout entière, et à priori, une création de l'esprit, rexpérience n'intervenant ensuite que pour guider pratiquement dans le choix de la géométrie particulière qui nous convient en réalité.

On voit comment, loin de sacrifier l'idéalisme à la géométrie non euclidienne, on ne fait que modifier celui de Kant, en changeant sa matière. C'est un peu déjà ce que faisait Helmholtz, diminuant la partie formelle de la notion d'espace de tout le contenu des axiomes géométriques. Mais, pour Helmholtz, la part de l'esprit se réduisait alors à une notion vague, dépouillée de toute relation spatiale particulière, ce qui nous éloignait sensiblement de l'idéalisme kantien et nous donnait bien le droit de ranger Helmholtz parmi les empiristes. Ici, c'est différent : pour ôter leur caractère apriorique aux postulats spéciaux de la géométrie euclidienne, on ne laisse pas seulement à l'esprit le pouvoir de se former une notion d'espace sans contenu, pour ainsi dire ; on le reconnaît créateur, et à priori, de toute une géométrie au développement illi-

mité, de tout un corps de science, formé d'une suite indéfinie de propositions. A. ce prix vraiment on ne risque plus d'être disqualifié d'idéaliste, pour ne fêtre pas à la manière de Kant.

Pour dégager la géométrie non euclidienne de conséquences aussi graves, nous ferons porter la discussion sur trois points essentiels:

1° La géométrie générale est-elle sans postulats, et peut-elle se former sans emprunt à l'expérience?

2° Que faut-il penser de la légitimité des notions premières fondées sur le développement logique qui s'en déduit ?

3° Cette géométrie générale seprésente-t-elle comme unique, déterminée ?

Dans ces sortes de travaux où la géométrie ordinaire est présentée comme cas particulier d'une science plus générale, on peut supposer, si Ton n'y réfléchit pas, que les éléments fondamentaux de notre géométrie : droites, points, distance, etc., vont sortir tout naturellement, par une série de restrictions, de notions rationnelles posées par nous tout d'abord : il suffit de regarder de près les travaux eux-mêmes, comme celui de M. Câlin on, par exemple (si intéressant d'ailleurs et si original au point de vue mathématique) pour constater, comme on pouvait s'y attendre, que ce sont, au contraire, les notions générales, prétendues rationnelles, qui sortent des éléments habituels de notre intuition. Les espaces à trois dimensions sont présentés comme une généralisation des surfaces de la géométrie ordinaire, et toutes les définitions, sans exception, sont tirées, par généralisation ou simplement par analogie, des propriétés du plan, des droites et des surfaces. Certes, si on avait pu faire disparaître de la définition

tout ce qui en rappelle l'origine, nous n'aurions pas le droit d'arguer de celle-ci pour contester le caractère rationnel de la notion qu'on nous offre. Mais non ; les matériaux concrets, qui ont guidé l'esprit dans la construction delà définition, sont toujours présents. Celleci s'exprime à l'aide des éléments complexes, inexpliqués, que nous avons déjà signalés au début de la géométrie ordinaire. Citons au hasard : « Il y a des surfaces, dit M. Galinon, comme le plan et la sphère, où les figures peuvent se mouvoir sans se déformer; nous appellerons ces surfaces identiques à elles-mêmes : de même nous donnerons le nom d'espaces identiques à eux-mêmes... à ceux où les figures peuvent se déplacer sans déformation comme dans l'espace euclidien. » Il serait aisé d'insister sur l'incompréhensibilité de cette notion du déplacement sans déformation (1) : comment un ensemble de définitions impliquant de pareils éléments pourrait-il constituer une science purement rationnelle?

M. Lechalas, l'éloquent défenseur de la géométrie générale, — voulant répondre à ce grief, formulé de divers côtés (2), qu'elle ne peut pas échapper à une foule de postulats dans les toutes premières propositions de la géométrie, — a donné, dans les Annales de Mathématiques, la démonstration d'une série de théorèmes concernant le plan et la droite (plus généralement les surfaces identiques et leurs géodésiques). L'auteur établit, par exemple, qu'une demi-droite, tournant autour de son origine, engendre le plan d'un mouvement continu, sans retour sur les parties engendrées ; qu'une droite partage le plan en deux régions ; qu'une

(1) Voir la note de la page 138.

(2) Voir les articles consacrés à ce sujet par M\l. Renouvier (Critique philosophique), et l'abbé Bhoûlie (Annales de philosophie chrétienne).

deuxième droite, joignant deux points respectivement situés dans les deux régions, rencontre la première, etc. ; c'est là un travail fort ingénieux, où les emprunts faits nécessairement à l'intuition ou à l'expérience reçoivent un arrangement curieux, mais nous ne voyons pas qu'ils disparaissent.

Les premières propositions s'appellent, il est vrai, des définitions, mais ce n'est là qu'un mot, ce que nous disions tantôt de celles de M. Calinon subsiste complètement pour celles-ci. M. Lechalas reproduit la définition des surfaces identiques, déjà citée, puis celle des géodésiques : Une géodésique d'une surface identique est une ligne située sur elle, et telle que par deux points de celle-ci il n'en passe qu'une en général. Mais, nous dit-on ce qu'est une surface, une ligne, un point, une figure, un déplacement, etc. ? Voilà autant de notions absolument inexpliquées qu'on nous fait accepter en bloc, et qu'on va introduire dans cette chaîne de déductions prétendues logiques. Je ne sais rien de ces notions, je ne sais pas ce qu'elles sont, et je ne puis donc même pas dire si elles peuvent être, c'est-à-dire si elles ont droit à l'existence logique, au moins comme simples objets dépensée. Je sais encore moins ce que signifieront les groupements de ces éléments qu'on me soumet sous le titre de définitions. Comment pourrais-je dire s'ils sont légitimes ? En raisonnant comme si toutes ces notions avaient une signification logique, et comme si le mode d'association auquel on les soumet était légitime, est-ce qu'on ne sous-entend pas une série de postulats ? On répondra que tout ne se peut définir et que les premières définitions doivent nécessairement poser les éléments sur lesquels elles portent, sans essayer de les analyser ; soit ! Nous pensons absolument de même mais nous exprimons précisément cette idée en déclarant que les postulats sont nécessaires et que l'esprit

ne peut pas créer ainsi la géométrie sans emprunter à l'expérience ou à l'intuition des éléments irréductibles, en d'autres termes : que la géométrie ne pourra, dans aucun cas, se poser comme une construction logique sans postulats.

Tout ce qu'on peut demander aux définitions, diront les partisans de la géométrie générale, c'est de ne pas impliquer de contradiction. Or, pour les premières, le travail analytique qui seul saurait garantir à priori l'absence de contradiction, est impossible, nous le reconnaissons, les premières notions associées ne pouvant se ramènera des éléments antérieurement acquis. Mais un autre moyen nous reste de légitimer le point de départ d'une science telle que la géométrie : c'est la possibilité d'en déduire une suite indéfinie de propositions sans se heurter jamais à rien de contradictoire. M. Calinon nous semble bien avoir adopté, dans ce choix d'une condition de légitimité, une définition pure et simple, et, sur ce terrain, il est alors inattaquable. Si Von convient de dire : sera légitime toute proposition initiale d'où nous pourrons faire découler un développement illimité de théorèmes et de corollaires, toutes les définitions de la géométrie générale se trouvent légitimes. C'est une pure question de mots. Mais quelles conséquences sérieuses tirerait-on ensuite de cette constatation? Lorsqu'on présente la géométrie générale comme capable, par sa seule existence, de légitimer les propositions premières, et que l'on conclut au caractère logique de la construction totale, pour y voir une création de l'esprit qui peut passer pour la vraie science géométrique rationnelle, la légitimité dont on se prévaut prend une signification capitale. Nous exigions tout à Tlieure des postulats pour grouper des notions échappant à toute définition, et pour reconnaître à ces notions

au moins l'existence d'objets de pensée : c'est la réponse à cette objection qu'au fond on apporte ici, quand on allègue le développement logique construit sur ces notions et se poursuivant indéfiniment sans jamais rencontrer d'écueii.

Eh bien, qu'on y regarde de près cependant. Si d'une proposition, où entrentdes termes inexpliqués, et qui ne s'impose pas d'elle-même comme exempte de contradiction, on déduit un nombre aussi grand qu'on voudra de propositions nouvelles, comment affirmera-t-on pour la millième, mieux que pour la première, qu'elle n'est pas contradictoire ? Certes, il n'est pas toujours nécessaire de comprendre le sens de tous les termes pour reconnaître la contradiction : Quelle que soit la signification de la droite et du point, après avoir dit, par exemple, que par deux points ne passe qu'une droite, on ne pourra plus dire sans contradiction qu'il en passe deux. Mais, quand on ne se heurte pas à une association de termes manifestement absurde, comment imagine-t-on que l'on pourrait jamais être conduit à une contradiction en raisonnant sur des éléments qui échappent à toute analyse ? Car ils n'ont pas disparu, ces éléments inconnus que l'on s'est trouvé impuissant à définir, que l'on a posés sans les expliquer, et qui empêchaient d'apprécier la légitimité des premières propositions ! S'imaginerait-on que ce bloc de matière complexe, apporté par celles-ci de toutes pièces, va, en se répandant dans des suites infinies de raisonnements, se réduire en traces impalpables, et se dissiper peu à peu ? Voilà vraiment ce qu'il serait difficile de concevoir. Aussi longtemps qu'on parlera de droites, de plans, défigures, toutes les mystérieuses propriétés, qui pour ces êtres géométriques se cachaient sous des mots inexpliqués, seront toujours là, servant indéfiniment de support véritable aux démonstrations. Et comment pourrions-nous

déclarer la compatibilité ou l'incompatibilité logique de notions, que nous ne savons pas analyser, que notre esprit ne peut pas reconstruire pour lui, quand môme un long exercice, une longue chaîne de raisonnements nous eût familiarisés avec elles, au point de nous donner l'illusion de les comprendre ? Certes, lorsqu'on se soumet au contrôle d'une certaine réalité expérimentale ou intuitive, on peut clairement parler de contradiction, même en dehors des associations absurdes de mots, si on veut entendre par là un désaccord avec telle ou telle impression connue, tel ou tel fait, phénomène extérieur ou image de l'intuition. Mais dans la question qui nous intéresse, il est plus qu'évident que ce genre de contradiction ne saurait exister. On se place au-dessus et en dehors de l'expérience et de l'intuition ordinaire (sans quoi le seul abandon de l'axiome d'Ëuclide serait un obstacle suffisant à l'existence de la géométrie générale). Il s'agit donc vraiment et uniquement de contradiction logique, de celle qui résulte de l'incompatibilité de notions définies, et on ne nous semble pas pouvoir échapper à ce reproche de déclarer non contradictoires, sans raison suffisante, sans plus de raison qu'au début, une suite innombrable de propositions.

Enfin, pour pouvoir dire que l'idéalisme profite des travaux de géométrie générale, il faudrait établir qu'il y a là une création bien déterminée de l'esprit, que, par sa nature, par sa définition, cette science, qui s'élève au-dessus des manifestations contingentes de l'expérience, est bien véritablement une. Nous ne comprendrons pas qu'elle soit indéterminée, qu'elle puisse se présenter sous une diversité infinie d'aspects, prenant son point de départ en telles notions plutôt qu'en telles autres. M. Calinon l'a bien compris, et il s'est efforcé de

montrer que, par ses caractères propres, la géométrie générale, telle qu'il l a définie, se trouve bien déterminée et présente le maximum de généralisation qui soit permis à l'esprit, sans sortir'complètement du domaine de l'intuition. Écoutons-le plutôt : « Toute équation à laquelle nous pouvons ajouter une forme, pour nous concevable, nous ramène à la géométrie ; or, nous ne concevons nettement que les formes très voisines de celles que nous avons sous les yeux, et toutes ces formes sont au plus à trois dimensions. On a voulu, il est vrai, faire correspondre, en généralisant la géométrie cartésienne, aux équations à plus de trois variables des figures à plus de trois dimensions ; cette extension est en somme légitime et peut, dans certains cas, rendre des services ; nws ce serait une illusion de croire que Ton crée ainsi uu* véritable géométrie plus générale que la géométrie à troi^* dimensions ; au bout d'une pareille généralisation, on pressent en effet une géométrie aussi générale que l'analyse elle-même : Mais comme nous n'avons aucune idée d'une figure à plus de trois dimensions, il y a non seulement correspondance, mais identité absolue entre cette figure et l'équation qui la représente ; les figures à plus de trois dimensions ne sont donc que des noms nouveaux donnés aux équations sans aucune addition d'idée nouvelle.

« C'est là l'illusion que nous voulons signaler. Au premier abord, l'objection que nous venons de faire à l'égard des espaces à quatre dimensions et plus paraît s'appliquer également aux divers espaces à trois dimensions de la géométrie générale ; mais d'abord nous concevons très bien les figures de tous ceux de ces espaces qui diffèrent très peu de l'espace euclidien, 'et par conséquent de notre espace expérimental; quant aux autres espaces qui s'écartent sensiblement du nôtre, ils peuvent toujours, comme nous l avons vu, être décompo-

sés en éléments infiniment petits qui diffèrent très peu d'éléments euclidiens, de sorte que, si nous ne concevons pas, dans son ensemble, un espace de ce genre, nous en concevons très bien chacun des éléments. L'objection formulée plus haut contre un espace à quatre dimensions et plus perd donc ici toute sa valeur (1). »

En d'autres termes, aux yeux de M. Calinon, les espaces à trois dimensions, en dehors de l'espace euclidien, ne nous éloignent pas sensiblement de notre intuition habituelle, tandis que les espaces à plus de trois dimensions nous en font sortir complètement : Seule, la géométrie des premiers gardera donc le véritable caractère de géométrie, qui se distingue, par des notions de forme, de l'analyse pure, et parla une limite est nécessairement imposée aux généralisations.

Nous ne pouvons accepter cette manière de voir. Deux attitudes seules nous semblent raisonnables à l'égard de l'intuition, celle qui consiste à accepter l'intuition ordinaire avec ses exigences, ou celle qui s'en passe. M. Calinon consent à abandonner l'intuition euclidienne, et croit pouvoir se contenter d'une autre. Laquelle? C'est ici qu'il nous faut regarder de près. On se rappelle Helmholtz essayant de créer idéalement une intuition factice, différente de la nôtre, à l'aide d'un ensemble d'impressions tirées du fonctionnement normal de nos organes et de notre esprit. M. Calinon fait en somme une tentative analogue en cherchant à composer l'intuition nouvelle d'éléments empruntés à l'espace euclidien. Mais nous ne pouvons voir là autre chose qu'une construction artificielle, que nous nous refusons absolument à identifier avec l'intuition véritable, celle qui s'impose à nous, et il ne nous semble

(1) Revue philosophique. Les espaces géométriques, t. XXXII, p. 375.

pas possible de dire que la géométrie générale, qui s'en contente, conserve le véritable caractère géométrique, celui que deux mille ans ont consacré.

On contestera peut-être que la construction de M. Galinon soit artificielle. A considérer une portion d'espace non euclidien comme composée d'éléments euclidiens infiniment petits, il y a quelque chose de comparable à ce que fait le géomètre qui couramment assimile un arc de courbe à une ligne brisée d'un nombre infini de côtés, ou une portion de surface à un ensemble d'éléments plans infiniment petits. Certes oui, le procédé de M. Calinon est conforme à l'esprit mathématique, mais une différence capitale distingue le cas habituel de celui qui nous occupe. L'arc de courbe, la surface, sont des êtres géométriques qui se posent au géomètre comme objets d'étude, et ce n'est que pour les examiner sous certains rapports, rapports de quantité et de mesure, qu'on introduit la considération des éléments plans ou rectilignes. Celle-ci vient donc simplement apporter un procédé spécial pour étudier des figures dont la définition était antérieure à l'application du procédé. Bien loin de là, au contraire, nous chercherions en vain dans le travail de M. Calinon une définition quelconque d'un espace ou d'une portion d'espace non euclidien ; il ne s'y trouve rien à cet égard qu'un recours à l'analogie avec les surfaces, ce qui ne suffit évidemment pas à constituer d'abord l'objet qui sera analogue. — Comment clone, va-t-on demander, est-il possible de montrer qu'une portion d'espace non euclidien se compose d'éléments euclidiens infiniment petits ? C'est bien simple. On convient d'appeler distances, angles, aire, volume, des éléments tels que cette condition soit remplie ; autant vaut dire : on convient quelle est remplie. Et cette remarque peut s'étendre à toutes les autres définitions. Les espaces généraux à trois dimensions sont dès le

début, supposés avoir des points, des lignes, des surfaces, tout comme l'espace euclidien, etc. On ne saurait mieux dire qu'on va, à l'occasion de ces mois : espaces à trois dimensions, par un choix convenable de définitions, manier un langage qui rappellera sans cesse l'espace euclidien, et créera l'illusion d'une inlnition nouvelle analogue à l'ancienne ! N'avons-nous pas raison de voir une construction purement artificielle dans cette prétendue intuition ?

Ensuite pourquoi nous refuserait-on le droit de nous arrêter en si beau chemin? Serait-il donc bien difficile de parler de formes à propos des espaces à n dimensions? Aux figures de l'espace euclidien à 3 dimensions on sait faire correspondre de mille manières certaines figures du plan (projection, perspective, etc.) Eh bien, qu'est-ce qui empêcherait de faire correspondre certains éléments géométriques convenablement choisis aux équations qui dépendent de n variables? Si n est égal à 4, par exemple, il suffirait de considérer les surfaces représentées par les équations, quand trois des variables deviendraient les coordonnées d'un point, la quatrième prenant toutes les valeurs de — c/d à + 00 ; ou, si on préférait, on pourrait faire correspondre aux équations certaines surfaces, enveloppes de celles-là, de sorte que chaque équation représenterait une surface. Ou encore, une équation pourrait représenter un complexe de droites, c'est-à-dire l'ensemble des droites euclidiennes satisfaisant à une condition (une droite dépendant, dans l'espace, de 4 paramètres) ; delà même manière l'espace à 6 dimensions pourrait fournir les complexes de cercles, etc. Ces correspondances d'équations à des formes n'ont peut-être rien d'intéressant en elles-mêmes, mais qu'importe? Nous ne nous écartons pas, en les posant, du procédé fondamental en géométrie, qui consiste à établir un lien entre des êtres

géométriques et des relations, c'est-à-dire non pas à Représenter les formes par des équations, à mettre la forme dans les calculs, ce qui n'a aucun sens, mais à rajouter aux symboles par une convention. Qu'importe le caractère de la convention ? Qu'importe qu'elle cesse d'être la même, quand on passe aux espaces à plus de trois dimensions? Que la notion déforme puisse s'y ajouter encore, cela suffit pour ôter le droit de dire que la géométrie se fond avec l'analyse. Et enfin on reconnaîtra que nous nous éloignerons moins ainsi de la géométrie ordinaire, que la géométrie générale s'écartait de l'intuition euclidienne, c'est-à-dire de notre intuition.

Ainsi il nous paraît impossible de délimiter, par aucune exigence relative à la forme, le degré de généralisation où on s'élèvera, dès qu'on aura accepté de dépasser les bornes de la géométrie ordinaire. Et dès lors, si notre esprit ne peut rencontrer, dans ses constructions, un cadre déterminé, où il puisse faire rentrer nos impressions habituelles de formes comme cas particuliers, à quoi nous servira d'appeler ces formes contingentes, de dire qu'elles pourraient être différentes si certaines circonstances eussent été changées ? Que devient la seule base solide du rationalisme, dont parle M. Lechalas, si la science qui devait jouer ce rôle, pour ne plus pouvoir se délimiter dans sa forme, échappe elle-même à toute définition, à toute règle de détermination ?

Concluons donc : l'idéalisme pas plus que l'empirisme ne doivent se flatter de trouver, dans les travaux mathématiques de géométrie non euclidienne quelque argument décisif qui leur soit favorable. Tout au plus, à la base de ces travaux, se trouvent des notions qui peuvent fournir le prétexte ou l'occasion à des disputes

sur la théorie de la connaissance. Mais les arguments qui profiteraient à ces disputes sont à priori dans l'opinion préalable de chacun, dans ses habitudes d'esprit, dans la solution qu'il apporte d'avance aux questions débattues, et nullement dans l'existence ou dans les résultats des géométries non euclidiennes.