CHAPITRE IV

Qualité» d'une définllioo géométrique

Bien que les définitions géométriques soient des définitions de noms, elles doivent satisfaire, pour être bonnes et 'acceptables, à certaines conditions générales qui conviennent à toutes les définitions de noms et qui sont assez évidentes pour que personne ait jamais songé à les contester.

Premièrement, il y a dans toutes les langues un certain nombre de mots dont la signification est parfaitement connue, et dont i! est permis de se servir comme représentant universellement des idées simples, c'est-àdire des idées susceptibles d'entrer sans aucune explication préalable dans une combinaison d'idées. C'est un appel au sentiment général de l'évidence.

Secondement, une définition ne doit renfermer que des termes parfaitement connus ou déjà définis, de telle sorte qu'elle deviendrait une proposition évidente pour l'esprit le moins clairvoyant du monde, si l'on remplaçait tous les termes qu'on y emploie par ce qu'ils signifient, c'està dire par leur définition.

Hosted by

28 DÉFINITIONS GÉmaÉTRIQUES

Troisikmement , U n'est pas permis de changer les définitions consacrées par l'usage , quand on n'y trouve rien à redire et que ce changement n'a d'autre motif que le bon plaisir.

Quatrièmement, quand on est obligé de créer une nouvelle définition, il faut faire en sorte que le terme qu'on y applique ait, autant que possible, une signification conforme à l'idée générale que tout le monde en a, c'est-à-dire à son étymologie.

Il est clair que si tout le monde connaissait la signification exacte des mots techniques usités dans une science, toutes les définitions de nom qu'elle contient deviendraient de simples définitions de mots, et, grâce aux dictionnaires, seraient inutiles à rapporter dans les ouvrages. Quant aux définitions de chose, elles seraient à supprimer aussi comme étant de véritables propositions, et le chapitre des définitions ne serait pas long. La nécessité des définitions provient donc uniquement de notre ignorance, et cette nécessité subsistera tant qu'il y aura des hommes à instruire.

Les définitions géométriques doivent aussi posséder deux qualités particulières, qui ne sont pas moins nécessaires que les qualités générales indiquées plus haut, mais qui sont peut-être moins évidentes, et que, pour cette raison, il est utile d'expliquer. Autrefois ces condixions particulières se trouvaient exprimées, dans l'école. par cette formule qu'une définition doit convenir au dé/ini et rien qu'au défini : c'est cette formule que nous allons préciser en la développant.

La première qualité particulière et essentielle d'une définition géométrique est que la figure, qui doit être définie, soit une figure possible. C'est ainsi qu'il ne serait

Hosted by

QUALITÉS d'une DEFINITION 29

pas permis d'appeler parallélogramme im poljgone de quatre côtés qui sont deux à deux paralièles, s'iî n'était d'ailleurs reconnu et démontré qu'une semblable figure est possible. C'est ainsi qu'avant de définir la perpendiculaire, on commencera par démontrer qu'onpeut mener par un point d'une droite une autre droite faisant avec la première deux angles adjacents égaux. Or, pour démontrer qu'une construction est possible, il suffit d'indiquer un moyen de l'exécuter, quelque soit d'ailleurs ce moyen ; par conséquent, il suffit d'imaginer qu'une seconde droite, d'abord couchée sur la première, s'en écarte en tournant autour d'un point commun aux deux droites, et en faisant, d'un côté, un angle qui va en augmentant, de l'autre côté, un angle qui va en diminuant. Si le mouvement de la droite qui tourne se prolonge suffisamment, il arrive que le plus grand des deux angles devient le plus petit et inversement; donc, il y a une position dé cette droite pour laquelle les deux angles adjacents sont égaux, ce qui caractérise précisément la perpendiculaire.

Ce que nous rencontrons ici se présente dans toutes les définitions de la géométrie. Il n'y en a pas une, si simple qu'elle paraisse, qui ne suppose déjà une proposition antérieurement démontrée ou évidente par ellemême. Dans les premières propositions on n'y prend pas garde, soit parce que les premières notions de la géométrie sont familières à tout le monde, soit parce que la possibilité de construire les figures définies est évidente; mais, lorsqu'on a fait quelques pas dans cette étude et surtout lorsqu'on aborde les propriétés des figures dans l'espace, il n'en est plus de même, et il devient indispensable de justifier chaque définition par une proposition

Hosted by

30 DÉFINITIONS eÉOMÉTSlQDES

immédiate, si elle ne l'est déjà par quelqu'une des propositions qui précèdent. Ainsi , pour u'eu citer qu'un exemple, si l'on définit deux triangles semblables, ceux qui, ayant leurs angles égaux chacun à chacun, ont en outre leurs côtés homologues proportionnels, il est indispensable de démontrer que deux figures pareilles peuvent exister, avant que d'en étudier les propriétés. C'est ce qui résulte de la proposition suivante : si l'on coupe un ti-iangle quelconque par une droite parallèle à l'un de ses cotés, on forme ainsi un autre trianqle qui est semblable au premier. Toute définition géométrique suppose donc, pour sa justification, une proposition antérieure.

Il faut distinguer soigneusement dans îa géométrie ces sortes de propositions fondamentales, qui n'ont pas précisément le même objet que les autres et qui servent de base aux définitions; il faut qu'elles soient placées immédiatement avant la définition qui en est la conséquence, ou qu'il soit bien entendu, si on les place après, que c'estpar une pure économie de langage. Aussi doit-on blâmer formellement l'usage, très-répandu du reste, de placer toutes les définitions d'un Livre ou d'un Chapitre, au commencement du livre ou du chapitre, et, en quelque sorte, en dehors de toute iustiûcation. Ces définitions ainsi posées d'avance, sont pour l'élève autant d'énigmes, et il n'y a rien que l'on puisse invoquer en faveur de cet usage, si ce n'est peut-être quelques considérations typographiques.

La seconde qualité particulière que doit avoir une définition géométrique, c'est que la figure définie soit wiique, c'est-à-dire que la définition donnée ne puisse pas conveniràplusieursfigures différentes. Mais s'il suffit, pour démontrer qu'une figure définie est possible, d'indiquer un moyen de l'exécuter, quel que soit d'ailleurs ce moyen,

Hosted by

QUALITÉS d'une DÉFINITION 31

il ne suffit pas, pour démontrer qu'une figure définie est unique, de faire voir que le moyen employé pour exécuter cette figure, n'en donne qu'une effectivement. Il faut, en outre, ou bien démontrer qu'il n'y a pas d'autre moyen à employer pour construire la figure, ou bien prouver que tous les autres, s'il y en a d'autres, reviennent à celui qu'on a employé. Ce n'est qu'à cette condition qu'on aura acquis la certitude que la définition ne peut pas convenir à plusieurs figures différentes, ou, en d'autres termes, que la figure définie est unique. Or, cette condition est évidemment remplie, si l'on parvient à établir, d'une manière indépendante du mode de construction qu'on a employé, qu'il n'y a qu'une seule figure à laquelle puisse s'appliquer la définition.

Ainsi, pour démontrer qu'on ne peut élever en un point d'une droite qu'une seule perpendiculaire à celte droite, il ne suffit pas de démontrer que, par le mode même de génération qu'on emploie, il n'y a qu'une position de la droite mobile pour laquelle les deux angles adjacents sont égaux: il faut abandonner l'idée de mouvement qui a servi à prouver l'existence d'une perpendiculaire, car il ne doit pas en rester de trace dans la démonstration de cette seconde partie de la proposition, et la question doit se poser ainsi : démontrer que par un point situé sur une droite on ne peut lui élever, quel que soit le moyen qu'on emploie, qu'une seule perpendiculaire. Ou bien, comme la considération du mouvement qui donne la perpendiculaire, dans le cas dont il s'agit, peut donner en même temps toutes les droites qui partent du même point, quelle que soit leur inclinaison, on pourra remarquer que tous les moyens propres à élever une perpendiculaire en un point d'une droite, reviennent au même, par la consi-

Hosted by

■.yi DEFINITTONS GEOMETRIQUES

dération du mouvement de rotation; et il suffira alors, mais seulement après cette remarque, de dire qu'il n'y a qu'une seule position de la droite en mouvement dans laquelle les deux angles adjacents soient égaux, pour qu'on soit en droit de conclure, que, par un point d'une droite, on ne peut élever qu'une perpendiculaire à cette droite. Mais il est plus facile, à coup sûr, de rendre la démonstration tout à fait indépendante du mouvement qui a servi à établir l'existence de la perpendiculaire.

Ce qui précède se trouve mis en lumière d'une manière remarquable, à l'occasion d'une proposition bien connue de la géométrie plane. On démontre en effet, dans la théorie des parallèles, que, par un point situé hors d'une droite, on peut mener une parallèle à cette droite . en construisant successivement deux perpendiculaires. Ce moyen de mener une parallèle à une droite, par un point situé hors de la droite, ne peut donner qu'une parallèle passant par ce point; il est aisé de s'en convaincre. Mais il ne s'ensuit pas qu'on ne puisse mener par le même point aucune autre parallèle à la même droite, si l'on vient à adopter une autre procédé pour la construction de cette parallèle. Il reste donc à démontrer, d'ieae manière indépendante du m,ode de construction qu'on a employé, que, par un point situé hors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite. C'est cette seconde partie de la proposition qui constitue le posTULATUM des programmes officiels.

Il existe, au contraire, une proposition analogue dans la GÉOMÉTRIE DE l'bspace, qu'on peut démontrer sans le secours d'aucun postulatum ; cette proposition est ainsi conçue -.par un point donné, on peut mener un plan parallèle à un autre plan, et l'on n'en peutmener qu'un. Il suffit

Hosted by

QUALITÉS d'une DÉFINITION 'SS

de remarquer que par le point donné on ne peut abaisser qu'une perpendiculaire au plan, et que, par le point donné, on ne peut élever qu'un seul plan perpendiculaire à la droite déjà menée. Comme il a été démontré d'ailleurs, que tout plan, parallèle au plan considéré et passant par le point donné, doit être perpendiculaire à la droite qu'on a menée, il en résulte qu'on peut conclure à l'impossibilité de mener, par le point donné et quel que soit le moyen qu'on emploie, plus d'un plan parallèle au plan

Dans toutes les branches des mathématiques, la remarque précédente est susceptible d'une application rigoureuse. On rencontre, au début de l'arithmétique, cette proposition : toute fraction dont les deux termes sont premiers entre etix est réduite à sa plus simple expression, c'est-à-dire est irréductible . Cette proposition est-elle évidente? Elle le serait, si l'on pouvait démontrer auparavant qu'il n'y a qu'un seul moyen de simplifier une fraction, savoir de diviser ses deux termes par un même nombre. Mais, il y a un autre moyen bien connu de simplifier une fraction, et qui consiste à retrancher de chaque terme un nombre convenablement choisi ; par conséquent, il est indispensable de démontrer ici, que toute fraction dont les deux termes sont premiers entre eux, est irréductible, quel que soit le moyen qu'on emploie, c'est-à-dire indépendamment de toute espèce de procédé de simplification. Cela ne fait de doute pour personne.

De même, pour démontrer qu'on peut convertir en décimale une fraction ordinaire, lorsque son dénomina teur satisfait à certaines conditions, il suffit de faire voir qu'en appliquant le procédé ordinaire de la division à ses

Hosted by

deux termes, l'opération réussit; mais, si l'on veut prouver qu'une fraction ordinaire irréductible ne peut pas être convertie en décimale, lorsque son dénominateur -ne satisfait pas aux mêmes conditions, il ne suffit pas de faire voir qu'en appliquant le procédé ordinaire de la division à ses deux termes, l'opération ne réussit pas. Il faut quelque chose de plus; il faut absolument démontrer de ces deux choses l'une : ou bien que tous les procédés possibles reviennent au procédé ordinaire de la division, ou bien que la chose est impossible, quel qiif soit le procédé qu'on emploie. C'est cette dernière proposition qui se trouve habituellement établie sous la formule suivante:

Pour que deux nombres soient divisibles l'un par l'autre, il faut et il suffit que chacun des facteurs premiers du diviseur se trouve dans le dividende avec un exposant au moins égal à celui qu'il a dans le diviseur.

Les deux qualités particulières qui doivent distinguer toutes les définitions géométriques, et qui sont développées ci-dessus, sont nécessaires, c'est-à-dire qu'une définition doit être rejetée, si elle ne remplit pas l'une et l'autre de ces conditions, absolument comme un théorème dont la démonstration n'est pas complète. Il faut ajouter que ces deux qualités particulières sont suffisantes, en ce sens qu'une définition qui les possède, si elle satisfait en outre aux conditions générales de toute définition de nom, est nécessairement bonne et acceptable.

On ne comprendrait pas, vu la nature même des définitions mathématiques, qu'on pût exiger, dans leur formation, d'autres conditions que celles qui ont été spécifiées plus haut comme particulières ou comme générales.

Hosted by

QUALITES D UNE DEPIfllTION .50

Sans doute, on voit bien que ]es définitions qui possèdent les deux qualités particulières, sans avoir toutes les qualités générales, peuvent être regardées comme rigoureuses, sinon comme parfaites; mais, il est manifeste aussi que la meilleure entre toutes sera évidemment celle qui, avec les deux qualités particulières, possédera les qualités générales en plus grand nombre et au plus Imut degré.

Rien ne serait plus facile même que de faire une classification complète des mauvaises définitions et de formuler, à leur suite, des règles correspondantes qui permissent de les éviter. Mais Condillac l'a dit ; « Les règles sont comme les garde-fous qu'on met sur les ponts; ce ne sont pas eux qui font marcher les voyageurs, seulement ils les empêchent de tomber. »

C'est pourquoi nous nous garderons de mettre le lecteur continuellement en présence du tableau des mauvaises définitions ; nous l'inviterons, au contraire, le plus souvent possible, à contempler dans son ensemble et dans ses détails l'image des qualités d'une bonne définition. Cette contemplation du vrai sera pour lui agréable en même temps qu'utile; elle lui donnera le moyen, non-seulement de se défendre contre Terreur, mais encore de la poursuivre et de la vaincre, dans toutes les sciences où la méthode géométrique est applicable.

Hosted by