DOUBLE ERREUR DES GÉOMÈTRES

démonstration. Mais, cette démonstration ne laisse pas que d'être nécessaire, et l'on doit regarder comme une erreur de croire que les définitions ne se démontrent pas. Il n'y a que celles qui sont évidentes par ellesmêmes qui puissent échapper à toute démonstration.

Une erreur semblable, mais dans un sens opposé, a conduit certains géomètres à ne vouloir admettre dans une définition aucune condition superflue. Ces géomètres prétendent appuyer leur opinion sur ce que (ow(e définition doit convenir au défini et rien qu'au défini. Partant de là, disent-ils, une définition doit être telle que la figure définie soit complètement déterminée et rien de plus; donc, toutes les conditions qui ne sont pas essentielles à sa complète détermination sont superflues et doivent être bannies de la définition. Cette prétention exagérée est une erreur, qui a sa source dans une mauvaise interprétation du principe que la définition doit convenir au défini et rien qu'au défini. Nous avons examiné plus haut (chap. IV) ce qu'on doit entendre par ce principe de logique, et nous avons reconnu que les seules qualités particulières que doit posséder une bonne définition géométrique, sont : 1° que la figure définie soit possible; 2° que cette figure soit unique. Le nombre des conditions qu'il est permis de faire entrer dans la définition d'une figure demeure donc absolument arbitraire ; rien ne s'oppose à ce que le nombre de ces conditions soit trèsgrand, et même aussi grand qu'on voudra. Citons un exemple, pour éviter de rester dans le vague des généralités.

Beaucoup d'auteurs définissent les triangles semblables, en disant que ce sont ceux qui ont les angles égaux chacun à chacun et leurs côtés homologues proportionnels. Quel-

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ques-uns faisant remarquer que, si deux triangles ont leurs angles égaux chacun à chacun, leurs côtés homologues sont nécessairement proportionnels, ont crû bien faire que de définir les triangles semblables ceux qui ont leurs angles égaux chacun à chacun. D'autres, se fondant sur la remarque inverse et écartant la considération des angles, définissent deux triangles semblables à ceux qui ont les trois côtés proportionnels. Les uns font ainsi entrer trok conditions dans la définition des triangles semblables, les autres deux seulement; et il j a ainsi, dans la première définition que nous avons citée, deux ou trois conditions superflues (1).

Mais, au point de vue de la rigueur, il suffit qu'un auteur justifie sa définition par une proposition fondamentale immédiate, si elle ne l'est déjà par une proposition antérieure, démontrée ou évidente, pour qu'il soit en droit de la choisir comme il lui plait. On peut donc adopter, en toute rigueur, l'une ou l'autre de ces trois définitions : seulement, la première et la dernière exigeront pour leur justification un théorème spécial; quant à la deuxième, elle n'en exigera pas, parce qu'on a déjà eu l'occasion de rencontrer des triangles ayant leurs angles égaux chacun à chacun ; mais, dans la théorie des triangles semblables qui découlera de cette définition, il n'y aura pas pour cela une proposition de moins à démontrer; le nombre des propositions reste le même, quelle que soit la définition qu'on adopte; l'énoncé et l'ordre des propositions seuls sont changés.

(1) Une condition n& tr&ànii ordinairement en géométrie par uiip égalité, et on eatime ie nombre des conditions, dans un énoncé, par celui des égalités qui y sont exprimées.

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