CHAPITRE VI

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II y a tout une classe de définitions qui sont nées de l'erreur signalée dans le chapitre précédent, et que l'on peut, à justre titre, qualifier As dé finitions artificielles. Elles se distinguent toujours par l'absence de quelque condition naturelle, et par conséquent essentielle, ou par la présence de quelque condition qui n'est point du tout naturelle, et qui, par suite, doit être rejetée.

Les définitions artificielles ne peuvent engendrer que des simplifications apparentes et sont très-diffîciies à loger au fond de l'intelligence des élèves; au contraire, une définition bien faite, outre qu'elle se retient et se retrouve aisément, conduit toujours l'esprit qui raisonne, par les voies les plus simples, à la découverte de la vérité ; car, ce n'est qu'en ayant sans cesse devant les yeux l'ordre logique des idées qu'on parvient à formuler une définition vraiment naturelle.

Qui n'a pas eu entre les mains ce manuel du baccalauréat dont l'auteur, désireux d'abréger la théorie des parallèles, définit deux droites parallèles celles qui enren-

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contrent une troisième en faisant avec elle des angles correspondants égaux? Sans doute, il lui est aisé de tirer comme conséquence de sa définition l'égalité des angles alternes internes, alternes externes, etc. Mais, il oublie qu'il est tenu par la logique de justifier sa définition, et cette justification exige la démonstration préalable d'uathéorème équivalent à celui qu'il veut éviter, savoir ; si deux droites font avec une troisième des angles correspondants égaux, les angles correspondants qu'elles forment avec toute autre droite sont aussi égaux. La difficulté, que l'auteur du manuel a voulu tourner, reste donc entière ; elle est seulement cachée aux yeux du lecteur inattentif ou trop peu clairvoyant, et la simplification qui en résulte n'est qu'apparente.

On ne saurait trop tenir son esprit en garde contre le désir de pareilles simplifications, qui ne sont qu'illusoires; ce sont de véritables erreurs, dont il est plus difficile de se garantir qu'on se l'imagine. Les programmes officiels ont introduit dans l'enseignement , il y a 15 ou 16 ans, un nouvel énoncé du théorème des parallèles rencontrées par une sécante; cet énoncé a été presque universellement adopté parce qu'il semblait plus simple que l'énoncé classique de Legendre, composé de cinq parties. Le voici tel qu'il figure encore dans les programmes d'admission à l'école Polytechnique : lorsque deux droites parallèles sont rencontrées par une sécatite, les quatre angles aigus (fui en résultent sont égaux entre eux, ainsi que les quatre angles obtus (I). Ce théorème est vrai; mais la réciproque en est fausse, à moins qu'on ne dissèque cette réciproque en cinq morceaux. Cependant, on trouve dans un

;i) Voy. Plan d'études des Lycées. Classe de mathém. spéciales.

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