DEFINITIONS ARTIFICIELLES
traité récent et très à la mode, renoncé textuel de cette réciproque avec une démonstration au bout; l'auteur du changement d'énoncé n'avait certes pas l'intention d'imposer une erreur aux adeptes des programmes officiels. Un exemple très-remarquable de définition artificielle, c'est la définition des polyèdres semblables donnée par Legendre dans sa XV° édition. Legendre définit d'abord les tétraèdres semblables ceux quiont dettx faces semblables chacune à chacune, semblablement placées et également inclinées entre elles; il dit ensuite, comme définition, que deux polyèdres sont semblables, lorsqu'ayant des bases semblables, les sommets des angles solides hors de ces bases sont détenninés par des tétraèdres semblables chacun à chacun (1).
De cette double définition, il tire relativement aux polyèdres les deux théorèmes suivants :
1" Deux polyèdres semblables ont les faces homologues semblables et les angles solides homologues égaux ;
2" Deux polyèdres semblables peuvent se partager en un même nombre de pyramides triangulaires semblables chacune à chacune et semblablement placées.
On ne peut rien objecter à cette théorie sous le rapport de la rigueur, La définition des tétraèdes semblables n'a pas besoin de justification nouvelle ; puisqu'on a appris, dans la géométrie plane, à construire sur une droite donnée un triangle semblable à un triangle donné, on pourra évidemment en construire deux dans des plans différents et ayant entre eux une inclinaison donnée. Celle des polyèdres semblables n'en a pas besoin non plus, car on peut toujours sur un triangle semblable à un triangle
(1) Voy. Legendi-e, Eléments de Géométrie, liv, VI, définit, et suit.
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44 DÉFramONS GÉOMBTEIQDES
donné construire un, deux, trois tétraèdres respectivement semblables à des tétraèdes donnés.
Mais, au point de vue de la logique, on ne saurait approuver ni l'une ni l'autre de ces définitions ; premièrement, l'idée générale que tout le monde se fait de la similitude de deux tétraèdres n'est point celle qui est réveillée dans l'esprit par la définition précédente, etl'onne saurait regarder comme naturel de faire entrer, dans la définition de deux solides semblables, des conditions portant exclusivement sur un angle et deux de leurs faces, plutôt que sur les autres angles et les autres faces. Quant à la définition des polyèdres semblables, elle est entachée du même défaut et au même degré. Ces deux définitions sont donc purement artificielles, et doivent être remplacées par celles qu'on trouve dans les programmes officiels, et qui ne sont que l'extension des définitions analogues données dans la théorie des triangles et polygones semblables (1).
D'ailleurs, ces définitions choisies par Legendre; et auxquelles quelques personnes tiennent beaucoup, ne simplifient rien. L'auteur est obligé de démontrer, sous forme de proposition, que deux polyèdres semblables ont leurs faces semblables chacune à chacune et leurs angles solides homologues égaux ; et la démonstration de cette proposition, dans lathéorie de Legendre, n'est ni plus courte, ni plus élégante que celle des propositions qui résultent de la définition des programmes ; l'ordre seul des théorèmes est interverti.
Mais, l'inconvénient principal qui s'attache au choix de
(1) VoT. Plan d'Etudes des Lycées. — Classe de mathématiques &\ ciales. — Passim.
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