DÉFINITIONS ARTIFICIELLES

ces définitions, c'est qu'il détruit absolument l'a qui doit exister entre la théorie de la dmilitude des figures planes et celle des figures soli-des ; or, cette analogie doit être complète, non-seulement dans les définitions et dans l'ordre des propositions, mais encore dans les démonstrations mêmes des théorèmes.

« La conservation de l'analogie entre les parties d'un même traité, dit S.-F. Lacroix, est de la plus haute importance, puisqu'en même temps qu'elle aide la mémoire du lecteur, elle l'accoutume à généraliser ses idées. En effet, depuis qu'on a cultivé la stéréotomie, on a remarqué que la plupart des propriétés des lignes et des figures, tracées sur un même plan, n'étaient que des cas particuliers de celles des lignes, des plans et des corps, considérés dans l'espace ; et il devenu indispensable de traiter, autant qu'il est possible, dans le même ordre et par des moyens semblables, la partie de la géométrie où l'on n'a égard qu'à deux des dimensions de l'espace et celte où l'on embrasse les trois à la fois (1). »

Cette observation de Lacroix est encore plus importante aujourd'hui qu'il j a soixante ans, la géométrie analytique à trois dimensions étant entrée depuis cette époque dans l'enseignement classique.

Il est vrai que la définition des programmes officiels renferme, en grand nombre, des conditions que nous avons nommées superflues [chap. V), et qu'on pourrait se contenter de faire entrer, dans la définition des polyèdres semblables, l'idée de faces semblables et celle de dièdres égaux chacun à chacun, à la place de celle d'angles so-

(1) Voy. S.-F. Lacroix. — Discours lu à ta Sodété PhilomaHque.

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Kdes égaux; mais, encore une fois, il n'y aurait aucun avantage à adopter même cette minime restriction : nous avons reconnu que l'introduction des conditions superflues, dans une définition, est permise, et qu'elle devient une obligation, s'il s'agit de rendre une définition naturelle ; et l'on ne saurait nier que la définition des polyèdres semblables, qu'on trouve dans les programmes officiels, ne satisfasse complètement à toutes les conditions d'une bonne définition .

Une remarque analogue à celle qui précède, peut trouver sa place dans la théorie des grandeurs proportionnelles, telle qu'elle est proposée par quelques auteurs modernes.

Le point essentiel de cette théorie est de présenter à rélève la question sous une forme rigoureuse, et ■ assez simple pour qu'il puisse aisément en retrouver la trace et le développement, dans toutes les circonstances semblables. Sous ce rapport, il est regrettable que quelques auteurs, s'écartant de l'idée naturelle des grandeurs proportionnelles, aient cherché à adopter et à préconiser une définition toute de fantaisie, dont la seule qualité consiste à changer l'espèce et le nombre des conditions qui se rattachent ordinairement au mot proportionnel.

L'idée générale que tout le monde possède des grandeurs proportionnelles , est exprimée par la définition suivante, qui se trouve dans presque tous les traités d'arithmétique :

« On dit que deux grandeurs sont proportionnelles l'une à l'autre, lorsque deux valeurs quelconques de la première ont le même rapport que les valeurs correspondantes de la seconde. La géométrie; la mécanique, la physique, font connaître des grandeurs proportionnelles

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les unes aux autres. En arithmétique, on n'a, dans aucun cas, pour objet de démontrer cette proportionnalité : on l'admet comme un fait qui sert à la solution des questions relatives à ces grandeurs (1). »

Le mot simultané, que quelques auteurs se plaisent à introduire dans cette définition, doit en être exclu; car, si ce mot fait image dans la définition, i) n'y ajoute rien, et il peut donner à croire que la condition de simultanéité dans les valeurs correspondantes est essentielle, pour que les deux grandeurs dont il s'agit soient proportionnelles, tandis que cela n'est pas : le temps n'entre pour rien dans la proportionnalité de deux grandeurs. En vérité, il n'existe pas un seul exemple en géométrie, ni en mécanique, ni en physique, de deux grandeurs proportionnelles qui le soient simultanément ; cette condition de simultanéité doit donc être supprimée de la définition, non-seulement comme superflue, mais encore comme contraire à la nature des choses, c'est-à-dire comme étant purement artificielle.

La définition de deux grandeurs proportionnelles, telle qu'elle a été donnée plus haut, ne laisse rien à désirer, car elle comprend toutes les conditions naturelles auxquelles doivent satisfaire deux grandeurs pour être proportionnelles; elle suppose d'ailleurs connue la signification du mot rapport, quelle que soit la signification qu'on attache à ce mot. Mais, pour faciliter les applications numériques qu'on peut faire des propriétés de deux grandeurs proportionnelles, on démontre, en arithmétique, le principe ou théorème suivant :

(1) Vor. J. Bertrand, Traite d'Arithmétique, chap. XII.

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Lorsque deux grandeurs sont telles que, si l'une devient deux, trois, quatre fois plus grande ou plus petite, tautre devient aussi deux, trois, quatre fois plus grande ou plus petite, ces deux grandeurs sont pi-oportionnelles.

On en conclut qu'il suiRt de reconnaître que deux grandeurs satisfont à la condition exprimée par ce théorème, pour être en droit d'affirmer qu'elles sont proportionnelles. Cependant , quelques auteurs ont proposé récemment de remplacer ce théorème par celui-ci, qui présente à un haut degré le caractère des définitions artificielles :

Deux grandeurs (de nature différente), sojil proportionnelles tune à l'autre, si à deux valeurs (quelconques, mais) égales (entre elles) de la première, répondent deux valeurs égales de la seconde, et si, de plus, à la somme de deux valeurs quelconques de la première, répond une valeur qui soit la somme des deux valeurs correspondantes de la seconde.

Avec un peu d'attention, on reconnaît sans peine que l'énoncé de ce nouveau principe, même débarrassé des termes inutiles qui l'encombrent, n'est pas plus simple que le précédent ; que la rigueur ne gagne absolument rien à ce que la somme de deux valeurs quelconques remplace un multiple d'une valeur quelconque, attendu que ia multiplication est un cas particulier de l'addition ; que l'idée de somme ne s'associe pas aussi naturellement que celle de multiple, à l'idée générale de rapport ou de grandeurs proportionnelles; enfin, que la démonstration du principe ainsi énoncé, si elle est complète, n'est pas plus facile ni plus courte que la démonstration vulgaire. II est donc difficile de s'expliquer logiquement, que ce

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s ecoud priuoiije soit [iréfëré au premier , pour un autre motif que le bon phiisîr de son atiteui'.

Quant à l'usage que l'on peut faire, soit de l'un, soit de l'autre, dans les Éléments de géométrie, en vue d'abréger les raisonnements propres à chaque question relative aux grandeurs proportionnelles, il est à souhaiter que cet usage puisse se répandre et s'implancer dans l'enseignement élémentaire ; car, ce qu'il y a de général, dans les démonstrations relatives aux grandeurs proportionnelles, étant mis à part, il est certain qu'on distingue mieux ensuite ce qui est particulier à chacune d'elles. Cependant, on ne saurait méconnaître que Tesprit d'analogie manque à la jeunesse, même la plus studieuse, et que lapplication d'un principe général est une chose toujours difficile pour un élève : cette difficulté augmente encore, si Se principe général, qu'il lui faut appliquer et qui est, en définitive, la partie abstraite de la démonstration, n'a pas une forme simple, naturelle et brève, qui se prête aisément aux transformations. A ce point de vue, essentiellement pratique, on ne voit pas non plus que! avantage onpeutretirer, même avec la meilleure volonté du monde, de l'introduction de ce nouveau principe dans l'enseignemeni de la théorie des grandeurs proportionnelles.

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