METHODE EUCLIDIENNE

La logique nous conduit, sans contredit, à placer la théorie des lignes avant celle des surfaces, et celle des surfaces ayant celle des volumes ; et l'on ne saurait approuver l'idée qui consisterait à déduire les propriétés des surfaces de celles des volumes, et celles des lignes de celles des surfaces. « La théorie des lignes proportionnelles, dit S.-F. Lacroix, déduite de la comparaison des aires des triangles, comme dans les Éléments d'Euclide et dans quelques ouvrages modernes (1), constitue une espèce de désordre dont beaucoup de bons esprits ont le droit d'être choqués, n

Mais, s'il s'agit de mesurer l'étendue de certaines figures, il en est tout autrement. Comme cette mesure se traduit nécessairement par des opérations graphiques ou arithmétiques , en d'autres termes, par une opération pratique, les lois de cette mesure seront d'autant plus difficiles à établir, que la figure mesurée auraune existence plus abstraite. H est certain d'ailleurs, qu'à l'idée de ligne géométrique, se rattache une abstraction de plus qu'à celle de surface, et deux de plus qu'à celle de volume (chapitre VII). Donc, on devra considérer, d'unemanière générale, les principes relatifs à la mesure des lignes comme plus difficiles que ceux qui se rapportent aux aires, et ces derniers comme plus diffi.ciles que ceux qui ont trait à la mesure des volumes ; et il pourra même arriver que, dans quelques-unes de ces questions pratiques, la meilleure solution soit en contradiction apparente avec l'ordre logique des idées. C'est ainsi qu'on peut s'expHquer pourquoi la méthode élémentaire, choisie par Legendre comme la plus simple pour le calcul du

;i) Voï. AI. A. Blaiichet, Eléments de Géomirie. ■'3" édition. IfKffi

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74 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

nombre t, est la méthode des aires (1), et pourquoi presque toutes les méthodes élémentaires ne valent rien dans les questions de calcul un peu difficiles. On voit aussi par ià, comment la difficulté inhérente aux propositions, à l'aide desquelles la mesure de la circonférence se ramène à celle des polj-gones inscrits ou circonscrits, n'est pas levée, mais seulement déplacée, par le choix d'une nouvelle définition ; cette difficulté en est totalement indépendante, puisqu'elle tire son origine de la position même qui est assignée à la question dans les Eléments de géométrie.

Si la difficulté de la mesure des lignes et surfaces courbes peut être diminuée, ce ne sera qu'en procédant comme le faisait Euclide, c'est-à-dire en mettant en jeu, dans les lemmes relatifs à la mesure de la circonférence, la considération directe de la surface du cercle aussi bien que celle de sa circonférence, et, dans les lemmes de la mesure des corps ronds, la considération directe du volume de ces corps aussi bien que celle de leur surface. On ne saurait sans doute approuver Euclide de s'être engagé trop avant dans cette voie, et d'avoir usé du même procédé dans des questions purement théoriques ; mais, sa remarquable sagacité est un exemple à suivre dans toutes les questions de géométrie pratique.

Voici comment devront procéder, en toute rigueur, ceux qui admettent, avec Euclide, que la longueur d'un arc et l'aire d'un cercle sont suffisamment définies par la définition même de l'arc et par celle du cercle, pour démontrer, sans préliminaires d'aucune sorte, que la sur-

(1) Voy. Legendre, E/émen(s de (jèrymétne, 15' édition, Liv. IV, Prop. XlVetsuiv.

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METHODE Bnqi.IDIENNE 75

face d'un cercle est la limite vers laquelle tend celle d'un polygone régulier, inscrit ou circonscrit au cercle, et dont le nombre des côtés augmente indéfiniment

Supposons qu'on ait inscrit à un cercle un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés, et qu'on lui ait circonscrit un polygone régulier semblable. La différence des aires de ces deux polygones peut devenir aussi petite qu'on voudra, si l'on double indéfiniment ie nombre de leurs côtés ; en effet, on a démontré antérieurement, que les aires de deux polygones réguliers du même nombre de côtés, sont proportionnelles aux carrés de leurs apothèmes, et l'on déduit facilement de cette proportion, que la différence des aires devient, comme celle des carrés des apothèmes, aussi petite que l'on veut, si l'on double indéfiniment le nombre des côtés de chaque polygone. Or, la surface du cercle (mesurée ou non) est évidemment comprise entre les aires des polygones réguliers, inscrit et circonscrit, du même nombre de côtés, et quel que soit le nombre de ces cotés. Donc, si le nombre des côtés des deux polygones réguliers augmente indéfiniment, les aires des deux polygones s'approchent indéfiniment l'une de l'autre, et, à plus forte raison de la surface du cercle, sans pouvoir jamaisl'atteindre; en d'autres termes, l'aire de chacun des polygones réguliers a pour limite la surface du cercle auquel il est inscrit ou circonscrit.

On en déduira comme corollaire que la circonférence d'un cercle, est la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone régulier, inscrit ou circonscrit au cercle, et dont le nombre des côtés augmente indéfiniment; autrement, la surface du cercle ne serait pas la limite de l'aire de ce polygone.

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76 DÉFINITIONS eÉOMBTRIQÙBS

Un lemme analogue peut se démontrer ainsi , sans aucune difficulté, pour le volume des corps ronds (1), avec un corollaire semblable pour la surface des mêmes corps.

(1) Voj., au sQi'plua, nos Etèntciits de (ièoitièlHe. 3^ éd., pages 28'.', 304, 341.

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