CHAPITRE Xlll

Déflultlou d'uD maximum et d'nn minlmnm.

Oji dit, d'une manière générale, qu'une quantité variable a une valeur maximum ou minimum, si cette valeur est plus grande ou plus petite que celles qui la précèdent et qui la suivent immédiatement, et l'image la plus saisissante qu'on puisse donner de cette définition est celle d'une ligne courbe dont les points ae rapprochent d'une droite fixe pour s'en éloigner ensuite, ou inversement. .Cette définition, qui est naturelle, n'a pas besoin de plus ample justification, car on rencontre au début du livre II de la géométrie des exemples nombreux de grandeurs variables, pouvant satisfaire à la double condition qui sertà définir un maximum ou un minimum.

Pour déterminer la valeur maximum ou minimum d'une quantité variable, il y a, au point de vue élémentaire, deux marches différentes à suivre: la synthèse et l'analyse.

La synthèse ou méthode fféomélrtque consiste à trouver, comme on le peut, et d'après les conditions mêmes expo-

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sées dans renoncé du problème, la valeur maximum ou minimum demandée, et à démontrer ensuite, en vertu des propriétés géométriques de la figure , que cette valeur est effectivement plus grande ou plus petite que celles qui la précèdent et qui la suivent immédiatement.

L'analyse ou méthode algébrique peut se résumer dans la règle suivante : choisissez une inconnue dont la quantité qui doit être, s'il j a lieu, maximum ou minimum, soit une fonction, et déterminez la valeur de l'inconnue pour laquelle cette fonction est égale à une grandeur arbitraire qu'on suppose donnée; la discussion de la solution du problème ainsi résolu fera savoir si la grandeur arbitraire, qu'on suppose donnée, est assujétie à être choisie entre certaines limites, lesquelles se réduiront au plus à deux : ce sont ces deux limites, s'il j en a, qui sont le maximum et le minimum demandés.

On peut faire à cette méthode algébrique une objection, c'est que le maximum et le minimum qu'elle fournit ne sont pas exactement ce qu'ils ont été définis d'une manière générale; on ne voit pas clairement, en effet, comment on peut, de l'existence d'une limite aux valeurs de la fonction qui correspondent à toutes les valeurs réelles possibles de la variable indépendante, conclure à l'existence d'une valeur de cette fonction, plus grande ou plus petite que toutes celles qui la précèdent et qui la suivent immédiatement. Il semble que la rencontre du maximum et du minimum, dans la discussion du problème qu'on a résolu, soit toute fortuite et artificielle, ou, si l'on veut, qu'il y ait une espèce de lacune entre la définition générale et le résulat particulier donné par la méthode algébrique.

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IHAXIMUM ET MINIMUM 79

CettÈ lacune peut être comblée, dans chaque cas, par un raisonnement qui consiste à s'assurer à posteriori que les limites trouvées pour la fonction, dans la discussion du problème, satisfont à la double condition qui sert à définir un maximum ou un minimum (I).

Supposons, par exemple, qu'on soit conduit à chercher la valeur de x qui rend maximum ou minimum une fonction de la forme suivante :

ax^ -\- bx -^ c

On posera et on résoudra, d'après la règle, 1 équation :

ax^ -^ bx -\- c

aV + f^ + e-

puis, on discutera la solution du problème qui se traduit par cette équation. Dans cette discussion, trois cas principaux peuvent se présenter, savoir : 6'^ — 4 «V est nul; A" — 4 «>' est positif; à'~ — 4 a'c' est négatif.

Dajis le premier cas, on trouve pour x des valeurs réelles, si le terme bb' — 2 (ac' -j- ca') est positif, toutes les fois qu'on prend pour m une valeur plus petite qu'une valeur déterminée que nous appellerons m' ; cette valeur déterminée m' étant la plus grande qu'on puisse choisir pour m sans que la racine de l'équation cesse d'être réelle, on dit alors que m' est pour la fonction considérée une valeur maximum, correspondant à une valeur x' de la variable qu'on calcule par la formule de résolution.

{1) Voyez Le Conseiller de l'Enseignement fuhlic, du l&octobre 1859. Voyez Joseph Bertrand, Traife d'Aigéfii-e, 3' édition, 1863, p. 353.

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80 DÉFINITIONS GÉOMÉTEIQUES

Il est aisé de s'assurer que cette valeur m" satisfait à Ja définition générale d'un maximum. En effet, si l'on suppose que x ait une valeur peu différente de 3;'.et plus petite, la fonction considérée prendra, en vertu de sa continuité, une valeur peu différente de nC , mais plus petite, car elle ne peut pas en prendre une plus grande sans que la valeur correspondante de x soit imaginaire ; si l'on suppose, au contraire, que x ait une valeur peu différente de x' et plus grande, la fonction prendra une valeur peu différente de m, mais plus petite, puisqu'elle ne peut pas en prendre une plus grande sans que la valeur correspondante de x soit imaginaire. I! en résulte que la fonction prend, pour cette valeur x" de la variable, une valeur m' plus grande que celles qui la précèdent et qui la suivent immédiatement.

On trouvera de même que si le terme bb' — ■ 2 [ac' -|- ca') est négatif, la fonction prendra, pour une certaine valeur de X, une valeur plus petite que celles qui la précèdent et qui la suivent immédiatement.

Chacune de ces deux valeurs de la fonction satisfait donc à la définition générale d'un maximum ou d'un minimum .

Dans le second cas, la méthode algébrique ne donne pas de maximum ni de minimum, si les racines de l'équation, qu'on obtient en égalant à zéro le trinôme placé sous le radical, sont imaginaires ou égaies; attendu qu'on trouve pour x des valeurs réelles, quelle que soit la valeur qu'on choisisse pour m. Mais, si les racines du trinôme sont réelles et inégales, on trouve pour x des valeurs réelles toutes les fois qu'on prend pour m une valeur non comprise entre les deux racines m' et m" du trinôme; on dit alors que la plus petite m' des deux racines

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>]AXIMUM ET MINIMUM M

est, pour la fonction considérée, une valeur maximum et la plus grande m" une valeur minùnjun, correspondant à une valeur de la variable qu'on calcule par la formule de résolution. Or, il est aisé de s'assurer que ces deux valeurs tn' et m" satisfont à la définition générale, l'une d'un maximum et l'autre d'un minimum ; car, on peut répéter textuellement, en s'appuyant sur la continuité de la fonction, le raisonnement qu'on a fait dans le premier

Dans le troisième cas, la méthode algébrique ne donne pas de maximum ni de minimum, si les racines du trinôme placé soiis le radical sont égales ou imaginaires, attendu qu'on trouve pour x des valeurs imaginaires, quelle que soit la valeur qu'on choisisse pour m. Mais, si les racines du trinéme sont réelles et inégales, on trouve pour x des valeurs réelles toutes les fois qu'on prend pour m. une valeur comprise entre les deux racines m et m'' du trinôme; on dit alors que la plus petite m" des deux racines est, pour la fonction considérée*, une valeur minimum et la plus grande m" une valeur maximum, correspondant à une valeur de la variable qu'on calcule par la formule de résolution. Or, il est aisé de s'assurer que ces deux valeurs m' et m" satisfont à la définition générale, l'une d'un minimum et l'autre d'un maximum; car, on peut répéter encore textuellement, en s'appuyant sur la continuité de la fonction, le raisonnement qu'on a fait dans le premier cas.

En résumé, pour justifier ia définition d'un maximum ou d'uîi minimum, telle qu'on la prend accidentellement dans ia théorie algébrique, il est indispensable de démontrer, comme on vient de l'indiquer, que dan^ tous les

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cas OÙ la métliode élémentaire accuse l'existence d'un maximum ou d'un minimum , les valeurs obtenues par cette méthode satisfont à la définition générale, qui seule est vraiment naturelle.

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