CHAPITRE XIV

OéfliiUion arithmétique du nombre.

Toutes les transformations ou opérations de l'arithmétique s'exécutant sur des nombres, il est clair que ces opérations ne peuvent avoir un sens précis et général qu'à la condition que le mot nombre j soit pris lui-même avec un sens précis et général. Mais, d'un côté, si la première idée que nous ayons du nombre nous vient de la plnralité d'objets de même espèce ou de la répétition du même phénomène, d'un autre côté, cette idée ne trouve son complet développement que dans la question de la mesure des grandeurs : un nombre est, dans toute la force du terme, l'expression du résultat de la comparaison d'une grandeur à une unité de même espèce. L'existence générale dos nombres est donc subordonnée à l'opération, matérielle ou Active, par laquelle se traduit cette comparaison d'une grandeur quelconque à l'unité de même

Examinons ce que peut donner, au point de vue élémentaire, cette comparaison, et bornons-nous à faire cet examen sotis le rapport de la quantité, en laissant de côté

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les rapports de position qui peuvent exister entre une grandeur et sou unité. L'expression du résultat ne sera autre chose que la définition arithmétique du nombre.

Sous le rapport de la quantité, il peut se présenter, dans la mesure d'une grandeur, trois circonstances distinctes et pas davantage.

Premièrement, la grandeur peut contenir une ou plusieurs fois exactement l'unité; le résultat s'exprime par un nombre, qu'on nomme entier.

Secondement, la grandeur peut contenir exactement une ou plusieurs fois une partie aliquote finie de l'unité, ce qui s'exprime par un nombre fraMionnaire.

Troisièmement, la grandeur ne contient pas exactement une ou plusieurs fois l'unité, ni aucune partie aliquote finie de l'unité; évidemment, cette circonstance ne peut pas se traduire par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire. On donne à l'expression de ce dernier résultat le nom de nombre incommensurable ou irrationnel. Il est d'ailleurs presque indifférent de savoir si ce mot est mal choisi et peut donner lieu à des équivoques; l'important, c'est qu'il soit bien établi que ces circonstances diverses peuvent se présenter toutes les trois, dans la mesure des grandeurs.

Or, il est de toute évidence qne les deux premiers ca;^, peuvent se rencontrer; quant au troisième, le raisonnement et l'expérience s'accordent à démontrer qu'il peut se rencontrer comme les deux premiers.

Le raisonnement le démontre; car, l'esprit n'éprouve aucune difficulté à admettre, vu la continuité des grandeurs mathématiques, que l'opération commencée, pour trouver la plus grande commune mesure de deux gran-

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