DU NOMBRE
deurs, puisse se poursuivre indéfiniment (1). Sans doute, l'imperfection des instruments et d'autres obstacles matériels imposeront des bornes à cette recherche; mais un effort d'esprit des plus simples nous permet d'étendre la vue au delà de ces bornes, et d'affirmer la possibilité de continuer l'opération, si loin qu'on la suppose pralongée. Or, si l'opération de la mesure d'une grandeur peut être, par la pensée, indéfiniment prolongée, l'expression fidèle du résultat de cette mesure ne saurait être un nombre entier, ni un nombre fractionnaire ; autrement: la plus grande commune mesure entre cette grandeur et l'unité se trouverait déterminée après un nombre limité d'opérations; donc, le troisième cas que nous avons signalé, dans !a mesuredes grandeurs, peutse rencontrer aussi bien que les deux premiers.
L'expérience le dém'ontre aussi; il suffit de citer, à l'appui de cette assertion, le résultat auquel on est conduit, quand on mesure la diagonale d'un carré avec le coté de ce carré pour unité, ou la diagonale d'un cube avec l'arête de ce cube pour unité, ou la circonférence d'un cercle avec le rayon du cercle pour unité. Mais, îa première preuve, quoique résultant d'une simple conception de l'esprit, est suffisante. I! y a donc bien trois sortes distinctes de nombres, sous le rapport de la quantité ; car, il y a trois sortes possibles de résultats à exprimer, dans la mesure des grandeurs.
D'un autre coté, il est hors de doute que, si l'on réserve la qualification de nombre pour le cas où la comparaison d'une grandeur avec l'unité de même espèce aboutit aux deux premiers résultats, le troisième résultat ne mérite
(1) Voy. Ch. Simon. Precis d'Arithmétique, page 117.
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plus le nom de nombre, puisqu'il est absolument distinct des deux premiers, et l'on est en droit d'énoncer ce paradoxe : un nombre incommensurable n'est pas un ï'ombre. De même, si l'on convient de dire qu'un nombre n'existe pas à moins qu'il ne soit composé d'unités ou de parties aliquotes finies de l'unité, on pourra soutenir avec raison que les 7iombres incomm-ensurables n'existent pas. Cette formule est encore, comme la précédente, purement paradoxale. On pourrait aisément aller plus loin, dans cette voie, et dire 3.xissi(\ii' un nombre fractionnaire n'est pas un nombre.
Mais, s'il est tout à fait contraire à l'esprit des mathématiques de restreindre la signification du mot nombre au premier sens de nombre entier, il ne l'est pas moins dépenser qu'unnombre n'a d'existence réelle qu'à la condition d'être une agrégation de parties aliquotes finies de l'unité. Un nombre est essentiellement, nous l'avons dit, l'expression du résultat de la mesure d'une grandeur; d'ailleurs, les trois circonstances que nous avons rencontrées et rapportées plus haut, peuvent se produire indifféremment, dans la mesure d'une grandeur, et ces trois circonstances sont distinctes les unes des autres. Il est donc nécessaire qu'il y ait, sous le rapport de la quantité, trois sortes correspondantes de nombres et pas davantage : 1° les nombres entiers; 2° les nombres fractionnaires; 3° les nombres incommensurables; ces derniers n'ayant d'autre qualité générale que celle d'exprimer la mesure d'une grandeur qui n'est pas un multiple de l'unité, ni d'une partie aliquote finie de l'unité, c'est-à-dire d'une grandeur incommensurable avec l'unité.
Remarquons que, dans la mesure des grandeurs, le cas qui se présente le plus généralement, toutes choses
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égales d'ailleurs , est précisément le dernier , tandis que les deux autres n'en sont que des accidents. L'existence des nombres incommensurables se trouve liée, en effet, à une propriété caractéristique des grandeurs mathématiques, savoir: la continuité; tandis que les nombre., commensurables, résultant tous de cette hypothèse particulière que l'opération entreprise pour la mesure d'une orandeur réussit après quelques essais, ces nombres sont indépendants de cette propriété. D'où l'on conclut que, s'il y a quelque raison d'enlever le nom de nombre à l'un des trois résultats, auxquels peut aboutir la mesure d'une grandeur, c'est plutôt aux deux premiers qu'au troisième qu'on devrait le faire.
Toutefois, on ne saurait oublier que la continuité d'une grandeur est une propriété purement idéale, en ce sens qu'il n'y a pas, dans la nature, de grandeur qui soit matériellement continue. Cette continuité n'existe que dans l'imagination du géomètre, qui attribue, par la pensée, aux corps du monde extérieur des qualités parfaites, que ces corps n'ont pas ou qu'ils ont seulement à un trèsfaible degré, mais qui lui permettent de simplifier ses recherches et d'en généraliser les résultats. C'est pourquoi, si l'on veut rester dans le véritable esprit de la genèse mathématique , il sera bon de tenir compte de cette observation dans la pratique de l'enseignement, et de graduer, comme on le fait dans beaucoup de théories géométriques, les difficultés de l'étude des nombres.
On commencera l'arithmétique par l'examen des circonstances les plus simples et qui se trouvent dans la nature. La nature nous offre des collections d'objets de même espèce et la répétition du même phénomène : telle sera l'origine de la première définition du nombre.
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88 DEFINITIONS GEOMETRIQUES
La définition du nombre, tirée ainsi de l'idée de pluralité et indépendamment de toute idée de mesure, sera maintenue jusqu'à ce que la question de la mesure des grandeurs nous oblige à formuler la définition d'une fraction. Les fractions seront encore appelées des nombres, car l'opération qui leur donne naissance comprend aussi, comme cas particulier, les nombres déjà étudiés auparavant; on les distinguera, d'ailleurs, les uns des autres par les épitliètes d'entiers ou de fractionnaires.
Enfin, si l'on envisage la question de la mesure des grandeurs d'une manière plus générale, on est obligé d'admettre que les nombres entiers et les fractions ne sont que des résultats accidentels dans cette opération, car il j a des grandeurs incommensurables avec l'unité. Or, le résultat de la mesure de ces grandeurs doit pouvoir s'exprimer par un nombre, si l'on veut que l'idée de nombre soit générale. Delà, l'origine de toute une nouvelle classe de nombres, (^w.' onnomme incommensurables , et qui représentent de la manière !a plus complète l'expression de la comparaison d'une grandeur quelconque avec l'unité de même espèce , sous te rapport de la quantité.
Tel est aussi, à peu près, l'ordre méthodique qui ressort de la disposition adoptée dans les programmes officiels, pour l'enseignement classique des lycées de France (1;.
(1) Voyez Plan d'étudvs. e use ig ne ment secondaire classique ,
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