CHAPITRE XV

Définition particulière du nombre incommensurable

La seule qualité générale des nombres incommensurables est d'exprimer la mesure d'une grandeur incommensurable avec l'unité, c'est-à-dire d'une grandeur qui n'est pas un multiple de l'unité, ni d'anotine partie aliquote finie de l'unité. Est-ce à dire que cette qualité, qui correspond à une propriété des grandeurs, en quelque sorte négative, puisse suffire complètement aux besoins du calcul? En aucune façon. Cette qualité est satisfaisante au point de vue théorique de la définition générale des nombres incommensurables, eu ce sens , que le mot incommensurahle, appliqué aux nombres, signifie un résultat possible et précis au même degré que les deux autres ; absolument comme ii suffit, en géométrie, de définir d'abord et d'une manière générale, une ligne courbe, en disant qu'elle n'est ni droite, ni brisée.

On peut même déduire de cette définition générale, certaines propriétés des nombres, incommensurables ou non, qui en dépendent exclusivement. Ainsi, par exempte.

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90 DÉFINITIONS GEOMETRIQUES

si deux lignes égales sont incommensurables avec la même unité, les deux nombres qui exprimeront leur longueur sont égaux ; de même, si l'une est plus grande que l'autre, l'un desdeusnombresest plus grand que l'autre; si l'une est un multipleou une partie aJiquote de l'autre, il en est de même des deux nombres. Rien ne s'oppose même à ce qu'on puisse, dans la pratique, renverser les termes d'une semblable proposition et affirmer que, si deux nombres exprimant la mesure de deux grandeurs faite avec la même unité sont reconnus égaux, les deux grandeurs dont il s'agit sont égales, sous le rapport de la quantité. Mais, cetie dernière conclusion n'est vraie que comme un fait essentiellement pratique, et ce serait prendre la question à rebours, que de vouloir tirer de ce fait, comme l'ont tenté quelques géomètres, la définition de l'équivalence des grandeurs mathématiques. La théorie de l'équivalence de deux grandeurs est, en principe, totalement indépendante de l'évaluation numérique de ces grandeurs.

Pour faire entrer dans le calcul arithmétique un nombre incommensurable, c'est-à-dire pour en formuler la définition particulière, il faut et il' suffit qu'on ait démontré que ce nombre possède une qualité positive et caractéristique, qui permette d'envisager à chaque instant sa composition, par rapport à l'unité, et d'en distinguer tous les autres nombres, sans être obligé de remonter à la comparaison des grandeurs dont la mesure les a engendrés. Cette propriété se trouvera mise en évidence, comme pour les nombres commensurables, par l'analyse des circonstances spéciales qui, dans la mesure des grandeurs, accompagnent la naissance de chaque nombre incommensurable ; le résultat de cette analyse devra être

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fixé de telle sorte qu'il ne reste, dans le calcul, aucune trace des grandeurs que les nombres représentent, ni du procédé qui a servi à déterminer leur manière d'être relativement à l'unité.

Analysons ces circonstances, et, pour préciser la démonstration, choisissons comme exemple la racine carrée du nombre 2 : nous serons amenés à formuler pour ce nombre deux sortes de définition.

PsEMiiiRE DÉFINITION. — On fait voir, en arithmétique, qu'il n'j a pas de nombre entier, ni fractionnaire, qui élevé au carré donne 2. Mais, si l'on partage l'intervalle de 1 à 2 en dixièmes, et si l'on fait successivement le carré des nombres : 1; 1,1; 1,2; 1,3; etc.; on en trouve deux consécutifs dont les carrés comprennent entre eux le nombre 2, savoir : 1,4 et 1,5. De même, si l'on partage l'intepvalle de 1,4 à 1,5 en centièmes, et si l'on fait successivement le carré des nombres : 1,4: 1,41; 1,42; 1,43; etc.; on en trouve deux consécutifs dont les carrés comprennent entre eux le nombre 2. savoir: 1,41 et 1,42; et ainsi de suite. De telle sorte que le nombre 2 reste compris entre les carrés des nombres correspondants, dans les deux séries :

■l) 2 1,5 1,42 1,-115, etc.

et (2; 1 1,4 1,41 1,414, etc.

Or, ces deux séries de nombres, satisfont aux trois conditions suivantes :

1° Les premiers vont tous en diminuant; les seconds vont tous en augmentant.

2" Tout nombre de la première série est plus grand que son correspondant dans la seconde.

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3° La difféi'euce entre deux nombres correspondants peut devenir aussi petite que l'on veut.

Et l'on sait que deux pareilles séries de nombres, dès l'instant que les trois conditions énoncées sont remplies, tendent vers une limite commune: il suffit, pour s'en convaincre de remonter du nombre considéré sous la forme abstraite, à la plus simple des grandeurs concrètes que le nombre peut représenter (chap. XI).

11 en est de même des deux séries ;

Ci) r- 1,5" 1,1:;- 1,415% etc.

et (4) \' 1,4' L41- 1,414-, eta.

Ces deux séries de nombres satisfont évidemment aux deux premières conditions énoncées ; elles satisfont aussi à la troisième. En effet, la différence des carrés de deux nombres est égale à la somme de ces nombres multipliée par leur différence; or, la somme de deux nombres correspondants est toujours inférieure à 4, et leur différence peut devenir aussi petite que l'on veut, comme on le voit dans les premières séries (1) et (2); donc, les séries (3) et (4) tendent vers une limite commune. D'ailleurs, le nombre 2 reste compris entre deux termes correspondants de ces mêmes séries ; le nombre 2 est donc la limite vers laquelle tendent les termes de ces deux séries.

On peut conclure de ce qui précède, qu'il existe une limite vers laquelle tendent les nombres décimaux, dont les carrés ont eux-mêmes pour limite le nombre 2: puisque cette limite existe, et qu'elle est d'ailleurs indépendante de ]a forme décimale que nous avons adoptée pour les termes des séries considérées, on pourra nommer

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DU NOMBRE INC0MMENS(JR4BI.E 9.i

cette limite racine du iwmbre 2, l'écrire j/g et introduira cette expression y'â'dans les calculs, en !a regardant toujours comme définie , par cette propriété d'être la limite vers laquelle tendent les nombres fractionnaires dont les carrés ont pour limite le nombre 2.

Deuxième définition. — Il est naturel de se demander pourquoi, la racine de 9 étant le nombre qui élevé au carré donne 9, la racine de 2 n'est pas définie de la même manière? Pour qu'on fût en droit de garder pour le second cas la même définition que pour le premier, il suffirait de démontrer qu'il existe un nombre qui, élevé an carré, donnerait le nombre 2, comme il j en a un qui élevé au carré donne 9. Or. si l'on se rappelle qu'un nombre quelconque exprime la mesure d'une grandeur, d'une ligne par exemple, et si l'on sait ce qu'il faut entendre par l'existence d'un nombre, il est certain qu'il y a une longueur, quelle que soit l'unité choisie, dont le carré est plus petit que 2, et une autre dont le carré est plus grand ; par conséquent, si l'on suppose que la longueur d'une ligne aille en croissant continuellement, depuis la plus petite des deux jusqu'à la plus grande, il y aura, en vertu de cette continuité même, une longueur intermédiaire dont le carré sera précisément égal à 2. C'est le nombre exprimant la mesure de cette longueur, lequel existe (Chap. XIV), qu'on appellera racine de i, qu'on écrira -(/a et qu'on introduira dans les calculs , en le regardant toujours comme défini par cette propriété d'être lenumbre qidéleciiau carré domieraifl.

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