CHAPITRE XVI

Choix de la déflnltlon des nombres incommeiisiiralilcs.

Nous avons vu, dans le chapitre précédent, que la racine d'un nombre qui n'est pas carré parfait peut être définie, comme limite de nombres fractionnaires satisfaisant à certaines conditions, ou comme jouissant de cette propriété que son carré doit reproduire le nombre considéré.

Si l'on se reporte aux conditions générales et particulières d'une bonne définition géométrique (chap. IV), on reconnaîtra sanspeine qu'il est permis, en toute rigueur, de choisir celle qu'on -veut de ces deux définitions, pourvu qu'on l'ait auparavant justifiée par une démonstration. En adoptant la première, il sera nécessaire de s'y tenir attaché exclusivement, dans la suite des calculs, ce qui entraine des longueurs de raisonnement, à moins qu'on ne démontre une fois pour toutes que cette hmite possède la propriété qui sert de seconde définition. En choisissant la seconde, on évitera l'inconvénient des longueurs ; mais on sera forcé, dans les applications numé-

Hosted by

riques, de remplacer finalement une racine quelconque par le résultat de sa décomposition en unités décimales de différents ordres. Sous le rapport de l'économie des propositions, il n'y a donc aucun avantage à préférer l'une à l'autre ; on pourrait même, sans pêcher contre la rigueur, comprendre sous une seule définition les deux qualités distinctes que nous avons étudiées séparément.

Mais, sous le rapport de l'enseignement, on ne saurait, après avoir défini la racine de 9 comme étant le nombre dont le carré est égal à 9, trouver naturel de définir celle de 2 comme la limite vers laquelle tendent les nombres fractionnaires dont le carré a pour limite 2. Cette vue est exacte, arithmétiquement parlant, on ne saurait le contester, mais trop peu simple et trop peu naturelle pour servir de définition; et, puisqu'elle est d'ailleurs indispensable aux développements du calcul numérique, ce sera sous forme de considération, sous forme de théorème, que cette manière de voir trouvera la place qui lui convient, à la suite de la théorie de l'extraction des racines.

C'est ainsi qu'on- procède (chap. IX) dans l'étude de la circonférence et du cercle, et, en général, dans l'étude des lignes courbes, avec cette différence que, la théorie des racines se présentant tout d'une pièce dans les programmes d'enseignement, il peut y avoir des inconvénients moindres à en intervertir les définitions et les propositions, en même temps que les auteurs éprouvent une plus forte tentation de le faire.

C'est ainsi qu'on procède également, en définitive, dans l'étude des nombres fractionnaires. Il ne vient à l'esprit de personne, à moins d'être exclusivement tourné vers des idées d'utilité pratique, de faire passer la définition

Hosted by

et l'étude des fractions décimales, avec le cortège de leurs périodes, ayant celle des fractions ordinaires. Toutes ces analogies entre les différentes parties du cours de mathématiques doivent, autant que possible, être maintenues.

Le développement d'une racine en fraction décimale, fait ainsi après coup, pourra donner lieu à des rapprochements curieux.

On sait que tout nombre comraensurable peut s'écrire sous la forme de fraction décimale, à la manière des nombres incommensurables. Ainsi, par exemple, le nombre 1 peut s'écrire : 0,999...,; le nombre ' peuts'écrire: 0,75 ou 0,74999:...., et cette représentation décimale n'est qu'un cas particulier de la représentation plus générale d'un nombre fractionnaire quelconque sous la forme de progression géométrique décroissante.

Mais, d'une part, l'expression décimale d'un nombre entier ou fractionnaire diffère essentiellement de celle d'un nombre incommensurable, en ce que la première n'a qu'un nombre limité de chiffres, ou que, si elle en a un nombre illimité, cette expression est caractérisée par une certaine périodicité dans les chiffres, qui manque absolument dans la seconde; d'autre part, cette analogie de forme, dans le calcul numérique, démontre à posteriori l'existence théorique des trois sortes de nombres que nous avons constatées (chap. XV), et la nature toute accidentelle et particulière de ceux qui appartiennent aux deux premières catégories, c'est-à-dire des nombres commensurables.

Cette analogie de forme se poursuit encore au point de vue général de l'algèbre. Tout nombre commensurable a, pour les besoins du calcul algébrique, une repré-

Hosted by

DU NOMBRE INCOMMENSURABLE 9i

5eiitation brève^ résumée par un chiffre ou par un petit aoinbre de chiffres, avec un signe; cette forme simple, qui se prête beaucoup mieux aux transformations du salcul que la torme décimale, se montre à l'origine même Je chaque nombre commensurable, et n'est autre chose que la sténographie de sa définition ; elle équivaut, d'ailleurs, à la décomposition, décimale ou non, du nombre en une infinité de chiffres.

Il en est exactement de même des nombres incommensurables, si on les introduit dans le calcul à l'aide de la seconde définition : la racine de 2, par exemple, peut être représentée numériquement par une suite indéfinie de chiffres décimaux; mais cette racine aura aussi sa forme brève, résumée par un chiffre et un signe , laquelle apparaît en même temps que le nombre, équivaut à la première et se prête infiniment mieux qu'elle aux translormations algébriques. On lui donne un corps en écrivant Yï, et, en disant que c'est le nombre dont le carré est égal à 2, on énonce à la fois sa qualité générale de nombre incommensurable et sa qualité particulière, qui sulïit aux transformations algébriques, d'avoir pour carré le nombre 2.

Sans doute, cette définition n'a pas l'avantage de rappeler la série des opérations successives qu'il faut faire sur l'unité, pour composer la racine du nombre; mais, pourvu qu'il ait été établi que cette composition est possible, quels que soient le nombre, la nature et l'ordre des opérations nécessaires, il est permis de prendre le résultat de ces opérations, fussent-elles purement idéales, pour objet d'une définition.

Au surplus, l'objection peut être faite à la première définition avec autant de force qu'à la seconde; si loin

Hosted by

98 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

qu'on considère les termes de la série : 1 1,4 1,41 1,414.... il faudra absolument s'arrêter à un terme. dans cette énumération, et ce n'est que par une simple vue de l'esprit qu'on pourra atteindre la limite vers laquelle ils tendent. En dernière analyse, prendre cette limite pour définition, après avoir prouvé qu'elle existe, c'est encore accepter, quoi qu'on dise, le résultat d'une opération de l'esprit comme existant à priori.

Ce qu'il n'est pas permis de faire, c'est de fixer sa pensée, soit sur un terme, soit sur un autre de la série, et de considérer ce terme, quel qu'il soit, comme étant le dernier : évidemment, aucun de ces termes n'exprime la mesure de la grandeur qui doit être représentée par leur limite ; aucun d'eux ne jouit de la propriété que son carré soit égal à 2; aucun d'eux ne saurait être assimilé à y^~. Croire que la définition d'une racine, comme limite, repose sur des données expérimentales, plus positives et plus certaines que celles de l'esprit, est donc une erreur complète.

Il ne faut pas se dissimuler, d'ailleurs, le peu de ressource qu'offre l'expérience dans une pareille question. L'expérience ne donne ni un point, ni une ligne, ni une surface, ni aucune figfire géométrique; elle ne nous présente que des corps. Comme ces corps sont nécessairement terminés, sans quoi ils ne seraient pas distincts de l'espace indéfini, nous concluons que leurs limites existent, et nous appelons ces limites surfaces: mais c'est en vertu d'une opération de l'esprit, c'est-àdire d'une abstraction, que nous affirmons leur existence mathématique. Ces surfaces elles-mêmes ont des limites, que nous concevons et que nous nommons lignes; enfin, ces lignes elles-mêmes ont des limites, que nous appelons

Hosted by

points. Mais, l'œil de l'homme n'a jamais vu un point, ni une ligne, ni une surface géométrique, pas plus que la limite vers laquelle tendent les nombres fractionnaires dont les carrés ont eux-mêmes pour limite le nombre 2.

L'existence de cette limite et de ces figures, toute incontestable qu'elle est, nous est donc uniquement démontrée comme résultat d'une opération de l'esprit, et nullement comme donnée expérimentale. L'application du calcul ou d'un instrument à la mesure de ces grandeurs, et à la recherche de cette limite, est un moyen d'en matérialiser les propriétés, de les faire passer sous les sens, de les rendre en quelque sorte tangibles. Mais, tandis que, par la pensée, nous concevons facilement et pleinement l'existence de ces grandeurs et de leurs propriétés mathématiques, nous ne pouvons espérer de les représenter, par te calcul ou àl'aide d'un instrument, que d'une manière ordinairement imparfaite, et d'une manière exacte seulement dans des cas particuliers.

C'est donc tout à fait à tort que quelques géomètres estiment qu'il faille absolument prendre, comme point de départ d'une définition, le résultat d'un calcul ou d'une opération matérielle. Cette manière de procéder ne laisse pas que d'être rigoureuse, sans doute; mais les résultats auxquels une opération de l'esprit nous conduit, en partant de l'expérience, sont aussi vrais, aussi certains, aussi indiscutables que les résultats de l'expérience même, et en outre, ils ont un caractère de simplicité et de généralité, qui manque forcément aux autres, et dont la disparition engendre des difficultés incessantes et sans nombre dans l'enseignement des mathématiques.

Hosted by