CHAPITRE XVIIT

Définition des opérations de l'Arlthméti^ne.

Le but de ce chapitre est d'examiner si l'on peut trouver, pour chaque opération de l'Arithmétique, une définition précise qui satisfasse à toutes les conditions générales et particulières d'une bonne définition, et de formuler cette définition.

Nous nommerons opération d'arithmétique toute combinaison de nombres, dont l'existence aura été démontrée comme possible et unique, et nous entendrons par nombre l'expression du résultat de la comparaison, sous le rapport de la quantité, d'une grandeur avec l'unité de même espèce (chap. XIV).

Rappelons d'abord que l'apparition d'un nombre, d'après sa définition même, suppose déjà l'existence d'une grandeur mathématique soumise à «ne opération simple, qu'on nomme sa mesure. S'il n'y avait pas de grandeurs mathématiques, il n'y aurait pas de nombres, même pour le savant, tandis que les grandeurs mathématiques existent même pour celui qui n'a pas l'idée de nombre. L'emploi des nombres tire principalement sou utilité de ce que ceux-ci ne conservent pas la trace des

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grandeurs qui leur ont donné naissance ; d'où il résulte que les combinaisons qu'on peut en faire, et les conséquences qu'on tire de leurs combinaisons, ont un certain degré de généralité, qui permet de les appliquer à toutes les espèces de grandeurs et que ne sauraient avoir les opérations effectuées directement sur les grandeurs mêmes.

On est ainsi conduit à regarder une combinaison de nombres ou opération arithmétique comme l'image fidèle, mais incolore, d'une opération correspondante sur les grandeurs; et, par contre, puisque toute trace de l'espèce des grandeurs a disparu dans le nombre, il est permis de supposer que cette espèce est celle qu'on veut, et, en particulier, que ces grandeurs sont des lignes. D'où l'on tire cette double conclusion incontestable, savoir: 1° tous les nombres arithmétiques, incommensurables ou non, peuvent être censés représenter des longueurs portées sur une même droite, à partir du même point et dans la même direction ; 2° toute opération arithmétique est, si l'on peut s'exprimer ainsi, la photographie d'une construction géométrique, exécutée sur des lignes.

La déiinition d'une opération arithmétique a donc pour objet de faire conn^tre et de fixer par un mot le résultat d'une combinaison de nombres, c'est-à-dire d'une construction géométrique. On voit par là qu'il y a pour chaque opération deux modes de définition, qu'on distingue quelquefois et très-improprement par les épiihètes ^'abstrait et de concret, et qu'on devrait plutôt nommer arithmétique et géométrique.

Le mode abstrait ou arithmétique, est celui dans lequel on fait porter la définition sur les nombres, tels qu'ils se rencontrent dans la pratique do calcul, c'est-à-dire abs-

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106 DÉFiNiTiOKS géométriqi:es

traction faite de l'espèce de grandeurs qu'ils représentent et de la position relative de ces grandeurs ; cette manière de procéder est nécessairement particulière pt incomplète, car elle suppose que les nombres sont considérés uniquement sous le rapport de la quantité.

Au contraire, dans le mode géométrique ou concret, ia définition prend naissance sur des lignes, qui remplacent figurativement toute espèce de grandeurs ; rien n'empêche qu'on ne puisse tenir compte et de la quantité et de la position relative de ces lignes, non-seulement dans un sens, mais encore dans le sens opposé et même dans une multitude de directions intermédiaires; la définilion géométrique d'une opération, outre qu'elle est plus saisissante, plus naturelle et plus simple que l'autre, est donc la seule qui soit àprioïi susceptible de généralisation.

En suivant cet ordre d'idées, il est très-facile d'entendrt^ les termes de quantités algébriques et de quantités complexes, que quelques géomètres modernes ont introduit dans le calcul. Ces termes n'ont rien d'absolu; mais, de même qu'on rattache successivement au mot nombre , sous le rapport de la quantité, des idées de plus en plus générales, que rappellent les épithètes d'entier, de fractionnaire et d'incommensurable, de même il est permis de généraliser aussi l'expression de nombre, lorsqu'on le considère sous le rapport de la direction. Les nombres se présentent d'abord comme quantités arithmétiques, c'està-dire essentiellement positives, puis comme quantités algébriques , c'est-à-dire positives ou négatives, et enfin comme quantités dirigées ou inclinées dans tous les sens : c'est cette dernière manière d'être qu'on doit entendre par le terme de quantités complexes.

L'idée de direction attachée au mot nombre sert ainsi

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de ligne de démarcation entre l'anthmétique et l'algèbre : l'arithmétique se compose de faits relatifs aux nombres, car les nombres n'y sont jamais combinés autrement que sous le rapport de la quantité; l'algèbre, au contraire, envisageant les nombres sous le double rapport de la quantité et de la direction, exprime les lois générales de leurs combinaisons. Et l'on ne peut s'empêcher de croire que telle était la pensée de Newton, lorsqu'il choisissait pour titre de son traité d'algèbre, celui d'Arithmétique générale ou universelle.

L'opération fondamentale de l'arithmétique est l'addition : on peut dire qu'elle consiste à former un nombre renfermant toutes les unités et parties aliquotes d'unité, qu'on peut trouver dans plusieurs nombres donnés. Si les nombres donnés sont entiers ou fractionnaires, on ne saurait élever d'objection contre la possibilité de former un pareil nombre. Si l'un des nombres donnés est incommensurable, comme y" 2", ou si tous sont incommensurables, nous avons vu comment on doit considérer, dans la pratique, la composition du nombre -j/s" relativement à l'unité (chap. XV); d'après cela, il sera possible de former un nombre renfermant toutes les unités et parties aliquotes d'unité qu'on sait trouver successivement dans des nombres donnés, entiers, fractionnaires ou incommensurables. Que si nous voulons indiquer la limite exacte du résultat de l'addition des nombres 3 et y's, laquelle ne peut pas s'exprimer par un nombre commensurable, nous écrirons 3 -|- l/â"- Telle est la somme de ces nombres.

La soustraction se ramène à l'addition dont elle est l'inverse.

La multiplication par un nombre entier est un cas particulier de l'addition, celui où les nombres additionnés

108 DEFINITIONS GEOMETRIQL'ES

sout égaux entre eux. De la multiplication par uu nombre entier, on peut passer à la division par un nombre entier, en disant que, diviser un nombre par un autre, c'est partaffer le premier en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le second, ce qui est toujours possible, en vertu de la continuité des grandeurs que les nombres représentent. On définit ensuite la multiplication par un nombre fractionnaire ou incommensurable, à l'aide des deux définitions précédentes , savoir : multiplier un nombre quelconque par un autre, c'est en former un troisième qui soit composé avec le multiplicande absolument comme le multiplicateur test avec l'unité.

Dans le cas où le multiplicateur est fractionnaire, on reconnaît aisément la justesse de cette définition, qui comprend comme cas particulier, celle qu'on a déjà donnée spécialement pour les nombres entiers. Si le multiplicateur est incommensurable, comme y^, on sait comment il faut considérer, dans la pratique, la composition du nombre y% relativement à l'unité (chap. XV); on saura donc former un nombre renfermant autant de parties aliquotes du nombre 3, par exemple, que l'on peut trouver successivement de parties aliquotes de l'unité dans -j/â". Que si nous voulons indiquer la limite exacte du résultat de la multiplication des nombres 3 et 1/2, laquelle ne peut pas s'exprimer par un nombre commensurable, nous écrirons 3 X y'2 . Tel est le produit de ces nombres.

La définition générale du produit de deux nombres entraîne celle de la division, qui est l'inverse de la multiplication; d'ailleurs, l'élévation d'un nombre à ses puissances entières n'est qu'un cas particulier de la multiplication, et l'extraction des racines l'inverse de