CHAPITRE II

DéflnlttoDS diverses de la ligne droKe

Toutes les déânitions sérieusement discutables qu'on a données, depuis Platon, pour la ligne droite, peuvent se ramènera trois t ypes principaux, que j'indique ainsi : celle d'Euclide, celle de Legendre et celle des géomètres modernes.

Euclide, dans ses Éléments, définit la ligne en général comme une longueur, sans largeur. Il y ajoute, pour la ligne droite en particulier : « Eùe£r« ■ypaiiy.-h èiTiv, -^za IÇ Ï50U Toïç IfÉBuriiî TOftEforï nîîToJ)»; CG que Pejrard traduit mot à mot, en latin :

a Recla linea est, quœ ex œquo ipsit in eâ punctis ponilie}'» ; puis, en français :

« La ligne droite est celle gui est également placée aux points qui sont en elle (1). »

J'avoue que cette définition me paraît être d'un sens assez obscur, dans les trois langues, et qu'on peut y voir presque tout ce que l'on veut. Notons pourtant que le

(1) (Euvres d'Euclide, vol, 1", trad. par Ppyrard. aanic 1814.

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même Euelide démontre, après une vingtaine de propositions intermédiaires, cet autre théorème :

« Dans un triangle, un côté quelconque est plus petit (^ue la somme des deux autres. »

D'où l'on peut inférer, avec vraisemblance, que l'auteur ne regarde pas comme l'équivalent de sa déiinition cette idée « que la ligne droite soit la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités. »

La définition donnée par Legendre, dans le plus grand nombre de ses éditions, est beaucoup plus claire . « La ligne droite, dit-il, est le plus court chemin d'un point à un autre. » Comme on le voit, Legendre choisit pour caractériser une droite la propriété démontrée dans la 20° proposition d'Euclide. En cela, il suit l'exemple d'Arehimède qui admet, parmi ses principes, que la ligne droite est la plus courte de celles qui ont les mêmes extrémités (1).

Les géomètres modernes affirment généralement que l'idée de longueur suppose une opération préalable de mesure, et partant rejettent cette idée de longueur, comme une notion complexe qui ne peut être introduite de prime-saut dans les définitions géométriques. C'est donc, pour la plupart d'entre eux, par une sorte de considération pure et simple, non contestée d'ailleurs, que la ligne droite est la plus courte qu'on puisse mener entre deux points, et qu'il y en a qu'une. Quant à donner une définition proprement dite de la ligne droite, il n'en est pas question; ils s'en passent (2),

(1) Gâwwiïne de Legendre, édit. diverses. — CEui'fes d'Arehimède, trad. par Peyrard, 1807.

(2) Traités divers de giomélrie, par MM. Diiharael. Rouche et De Comtierousso, Ricart, Bourget et Housel, etc.

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DEFINITIONS DIVERSES DE LA LlUKE DROITE

Commençons par reconnaître qu'au point de vue de

l'enseignement pratique et de la rapidité des études, il suffit que ces premiers principes soient certains, et que pas n'est besoin de les avoir rigoureusement établis, pour apprendre aux élèves l'art de raisonner juste en cette matière, ce qui est le but principal de la géométrie. Cependant on ne peut s'empêcher de regretter, au nom de la logique, l'absence d'une parfaite rigueur dans les premières définitions. Il importe évidemment que la philosophie de la science n'ait rien à se reprocher ; et puis, qui ne pourrait pas craindre que la vue d'une telle imperfection, au début, n'exerçât une fâcheuse influence, dans la suite, sur l'esprit de l'élève comme sur celui du maître ?

« C'est une do mes grandes maximes, dit Leibniz, dans « ses Nouveaux essais sur l'entendement, qu'il est bon « de chercher les démonstrations des axiomes mêmes, et « je me souviens qu'à Paris, continue-t-il, lorsqu'on se « moquait de M. Roberval, déjà vieux, parce qu'il voulait « démontrer ceux d'Euclide, à l'exemple d'Apollonius et « de Proclus, je fis voir l'utilité de cette recherche (1). »

Bertrand, de Genève, est un de ceux dont les efforts à cet égard ont été les plus heureux. Il commence le second volume de son Développement nouveau de la partie élémentaire des mathématiques, par des réflexions trèslumineuses sur l'espace, le plan, et la ligne droite, dont il tire plusieurs propositions, qu'on a coutume de regarder comme des axiomes, ; entre autres celle-ci, que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre (2).

(1) Leibniï, Nouv. essais .

(2) Genève, in-4°, 1778.

r l'entend, hum. Préf.

Laplace, dans le Journal des séances de l'École normale, présente aussi une définition de la ligne droite, qui paraît avoir les mêmes avantages.

Il est permis de partager, avec ces deux illustres géomètres, l'opinion du philosophe Saxon, et de considérer comme une chose indispensabîa, de formuler de bonnes définitions, dès les premières figures qu'on étudie ; et, par bonnes définitions, on doit entendre celles qui, outre qu'elles sont naturelles, satisfont à toutes les conditions ordinaires, tant générales que particulières, des définitions géométriques.

Quelques auteurs modernes , particulièrement les italiens, ont donné la définition suivante de la ligne droite : « celle qui peut tourner sur elle-même, sans décrire de surface, ni eîigendrer de volume. » A dire vrai, cette définition est exacte, bien que l'idée de longueur en paraisse écartée ; car, on peut démontrer qu'il doit y avoir une figure semblable, et qu'elle est unique. Mais, cela ne nous apprend pas grand chose ; et, nous sommes à la fin très-peu édifiés sur la nature de la ligne droite, lorsqu'on nous a dit qu'elle ne peut produire, en tournant sur elle-même, ni surface, ni volume. L'auteur a le tort de nous mettre eu présence de deux propriétés essentiellement négatives : je pourrais dire trois ; car, d'après Euclide et d'après ces auteurs eux-mêmes, toute ligne est une longueur, sans largeur; ajoutons-y qu'elle tourne sans décrire de surface et sans engendrer de volume, et nous apercevons bien trois négations au fond de cette définition.

Il est vrai que, en récompense, la ligne courbe étant celle qui n'est pas droite, on se trouve alors en face de deux négations, qui valent une affirmation ; de telle sorte

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que, la ligne droite ayant été définie par une propriété négative, la ligne courbe le devient par une propriété positive : c'est juste le contraire qui est à désirer.

On peut admirer néanmoins cette définition à titre de peinture vraie, peinture moins saisissante, à coup sûr, que celle de Platon (1), mais analogue peut être à celle d'Euclide. Il semble, en effet, qu'on puisse soupçonner Euclide d'avoir voulu nous placer sous les yeux, dans sa définition, un bâton qui est étendu sur le sol et le touche également par tous ses points, de même que les géomètres italiens nous représentent une baguette ronde et tournant sur elle-même. Mais alors, cette définition n'est plus qu'une image ; et, s'il suffisait de faire une image pour avoir une bonne définition, il serait plus simple de dire qu'une ligne droite est un fil bien tendu, que de recourir à l'idée de repos ou de mouvement d'une tige rigide.

Une tentative non moins hardie a été faite, dans le même sens, par Duhamel, membre de l'Institut, en l'année 1866. Klle mérite d'être examinée, soit à cause de la force qu'elle peut tirer du grand nom de l'auteur, soit à cause des tendances qu'elle révèle, et qu'on retrouve fort exagérées et défigurées dans ses imitateurs. Le savant géomètre propose d'adopter, comme définition de la ligne droite, cette propriété « d'être une ligne indéfinie telle que, par deux points donnés, on n'en peut faire passer qu'une seule. » Une ligne courbe, pour lui, est toujours celle qui n'est pas droite, ni composée de lignes droites; en d'autres termes, une ligne courbe est telle

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20 DEFINITIONS GKOMETKIQÛES

que, par deux points donnés, on en peut faire passer plusieurs [1).

On se demandera d'abord si cette définition, aussi bien que la précédente, est naturelle et simple. Nous ne trouvons effectivement, ni dans les données de l'expérience, ni parmi les idées nécessaires, ni dans ies abstractions immédiates de l'esprit, rien qui nous fasse voir une droite comme une ligne « telle que, par deux points, on n'en puisse faire passer qu'une seule. » L'élève à qui vous présenterez une telle définition l'acceptera, sans doute, et probablement ne s'en plaindra pas, dans la suite de son COUPS de géométrie ; mais, quel souvenir, quelle vue ancienne ou nouvelle une pareille phrase peut-elle réveiller dans son intelligence ? Est-ce bien là une de ces propriétés positives qui correspond à un sentiment général et universel, qui vous saute aux yeux, vous saisit et pénètre dans votre esprit sans effort? Personne ne le pensera, et tout le monde sera tenté de ranger cette définition dans la catégorie des définitions arlificielles, lesquelles ne valent absolument rien pour commencer l'étude de la géométrie '2).

ïl faut encore, pour qu'une définition soit bonne et acceptable, qu'elle satisfasse à cette double condition particidière: que la figure définie soit démontrée comme possible et unûjue ; c'est ce qu'on nomme la justification d'ime définition. Ici, cette justification était nécessaire; nul ne croira, en effet, qu'on puisse regarder comme évident — je ne dis pas comme vrai — que, par deux

(1) Des Méthodes dans les sciences de raisonnement, ■ pai'ag- 9.

(2) Essai. 1" partie, cliap. vi,

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