CHAPITRE III

UéfinitioD exacte de la ligne droite

Nous avons vu que Legendre définit la ligne droite, en disant que c'est le plus court chemin d'un point à t,n autre. Cette définition, telle quelle, est l'expression d'une qualité positive de la ligne droite, prise parmi celles qui puisent leur évidence dans l'expérience de chaque jour et de chaque individu. Tout le monde sait et accepte qu'étant donnés deux points, il y a plusieurs manières de se transporter de l'un à l'autre : on peut dire que c'est là un fait, une donnée naturelle. Personne ne contestera non plus que les chemins, qui conduisent d'un endroit à un autre, n'ont pas tous la même longueur; et l'appréciation de cette différence présuppose-t-elle une comparaison mathématique ? Pas le moins du monde. L'idée de t-smps et de vitesse nous est assez familière pour que nous soyons assurés qu'entre deux points, placés en regard dans l'espace, il y a plusieurs lignes allant de l'une à l'autre, et que, parmi ces lignes, — que nous sachions ou non les mesurer, c'est-à-dire les comparer matériellement à l'unité, — les unes possèdent la même

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nEFINITIOM EXACTE DE LA LIGNE DROITE 23

longueur, ïes autres sont plus longues et les autres plus courtes; enfin que, si courtes que puissent devenir ces dernières, comme elles ne peuvent pas se réduire à zéro, il y en a une d'entre elles qui est plus courte que toutes les autres, et qtd n'est pas nulle. Nier de teîles assertions, c'est vouloir se mettre eu révolte contre les données de l'expérience universelle et contre les spéculations de la raison, c'est-à-dire contre ce qu'on appelle le sentiment généra! de l'évidence.

Mais il y a plus : si l'on veut bien consentir à se représenter l'espace, comme il l'est toujours en géométrie, c'est-à-dire comme un milieu complètement libre, homogène et continu, cette conception nous obligea soutenir que, s'il y a deux chemins d'égale longueur pour aller d'un point à un autre, il faut qu'il y en ait une infinité d'autres, de même longueur, distribués symétriquement dans l'espace par rapport à ces deux points. Le cas du plus court chemin devra seul être excepté, sans quoi ce ne serait pas !e plus court; d'où l'on conclut que, s'il existe une ligne plus courte que toutes les autres entre les deux points, cette ligne est unique. Comme on le voit, la définition de Legendre satisfait aux deux conditions particulières de toute bonne définition, et il est remarquable que c'est l'expérience jointe à une abstraction de l'esprit, mais non pas l'expérience seule, ni une abstraction seule, qui nous conduit à ce résultat.

Rien n'empêche maintenant d'imaginer que les deux points dont il s'agit sont aussi éloignés qu'on voudra, et, par suite, de se représenter par la pensée une droite de plus en plus longue, et même de la concevoir indéfinie, bien que l'observation ne nous en fournisse aucun exemple. Deux droites ini^éfinies étant données, sera-

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t-il permis d'affirmer qu'elles coïncident dans toute leur étendue, dès qu'elles ont deux points communs ? Oui. Car, si on les place, comme l'indique le professeur Vincent, de manière à ce que deux points de l'une tombent sur l'autre, d'un côté, les deux droites devront coïncider dans la partie intermédiaire, puisque chacune d'elles est l'unique plus court chemin entre ces deux mêmes points ; d'un autre côté, elles devront aussi coïncider dans la partie non intermédiaire, puisque les deux points peuvent être pris à volonté, sur la première droite ; donc, les deux droites coïncident dans toute leur étendue (1).

C'est cet ensemble de conditions, en nombre infini et toutes possibles, que quelques géomètres ont voulu exprimer d'un seul mot, en définissant la ligne droite comme M le plus court chemin entre deux quelconques de ses points. » Cette formule est exacte, mais trop concise ; elle a besoin, plus encore que la formule de Legendre, d'être expliquée et justifiée, et la justification manque absolument, soit dans les éditions de Legendre, soit dans les autres ouvrages classiques du même genre. Une semblable lacune est regrettable, et nul doute qu'elle ait servi de prétexte à la plupart des contestations qui se sont élevées sur cette question, et aux erreurs qui en sont la conséquence.

(1) A.-J.-H. Vincent, memb. de Tlnstitut, Cours de Geom. 1834.

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Conséquences de lu défînlflon exacte de la ligne dpolfe

Duhamel et beaucoup d'autres, après lui, regardent ia définition de Legendre comme entièrement défectueuse, parce que, dit-îl, « elle ramène une notion à d'autres que l'on n'a pas, et qui sont moins simples que la première (1), » Ces notions que l'on n'a pas, et qui sont moins simples que celles de la ligne droite, sont celles de longueur. En admettant que Duhamel n'ait pas ici confondu l'essence d'une définition de chose avec celle d'une définition de nom, qui ne sait cependant dans quel ordre se présentent les définitions générales de la géométrie? C'est par une série d'abstractions que l'esprit humain arrive successivement à l'idée de volume, de surface et de ligne géométrique. Ces abstractions consistent à enlever, par la pensée, une ou plusieurs dimensions au volume d'un corps solide, pour obtenir une surface,

[l) Des Méthodes, Z' panie, p. 9.

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*6 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

une ligne et un point ; en particulier, !a ligne géométrique doit être regardée comme une figure, qui a l'étendue en longueur, mais sans largeur, ni épaisseur.

La longueur d'une ligue est donc une propriété inhérente à cette ligue, et il est aussi impossible de se représenter une ligne sans longueur, que d'imaginer un solide sans volume. Deseartes l'exprime formellement à diverses reprises, dans sa géométrie; et, cette vue n'a rien d'arbitraire, car il ne dépend pas de vous, ni de moi, que cela soit ou ne soit pas.

On peut, sans aucun doute, ne pas faire entrer le mot longueur dans les termes mêmes de la définition d'une ligne ; on peut dire, avec Lacroix, qu'elle est l'intersection de deux surfaces ; avec Duhamel, qu'elle est la limite ou l'extrémité d'une surface ; avec d'autres, qu'elle est le lieu décrit par un point, qui se déplace d'une façon quelconque dans l'espace ; mais, quelle que soit l'expression qu'on emploie, on ne saurait considérer une ligne autrement que comme le résultat de cette abstraction, que je viens de rappeler, et qui consiste à se représenter, par la pensée, deux surfaces se rencontrant l'une l'autre ; puis, à enlever, toujours par la pensée, les parties de ces surfaces qui ne sont pas à la fois Pur l'une et sur l'autre. En deux mots, une ligne est «ne longueur, sans largeur, ni épaisseur ; personne ne peut sortir de là.

Il est vrai que la longueur d'une ligne n'est pas toujours susceptible d'être exactement exprimée par un nombre. Mais, les qualités d'une figure géométrique ne dépendent pas du tout de ia possibilité de pouvoir être traduites par le calcul numérique ; ces qualités existent, du moment que la figure est définie, même pour celui qui n'a pas l'idée de nombre.

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Le calcul est un moyen pratique de rendre saisissables ces propriétés ; mais d'abord, ce n'est qu'un moyen, et ce moyen reste toujours imparfait, comme le sont tous les instruments ; ensuite, il devient souvent impuissant à représenter exactement une grandeur, dont la pensée atteint sans peine les dernières limites. Osera-t-on dire que là où la plume et le compas ne peuvent rien, la raison perd ses droits ? que si, par exemple, un calcul ne peut aboutir qu'à une série d'opérations qui n'en finissent plus, son objet final ne peut pas exister autrement; de telle sorte que la longueur d'une droite qui, pour être mesurée, exigera du calculateur une infinité d'opérations graphiques ou arithmétiques, n'a ni plus ni moins de réalité que le Dieu de certains positivistes qui est en train de se faire une existence, laquelle ne sera consommée qu'à la fin des siècles ? Mais, quoi qu'en puissent dire ces géomètres, qui l'oublient ou veulent l'oublier, une ligne n'est pour eux, comme pour nous, pas autre chose qu'une longueur ; et elle acquiert cette qualité d'être longue en même temps qu'elle est définie comme ligne, c'est-à-dire en même temps qu'elle vient au monde !

Aussi, n'est ce pas un spectacle des moins étranges que de voir des esprits sérieux essayer de soutenir cette thèse, que l'idée de longueur, laquelle qualifie essentiellement — ils vous l'accordent — tout le genre, qu'on nomme Ugties, n'est pas assez simple pour entrer dans la définition particulière de l'espèce, qui s'appelle droite. Il y a là un oubli manifeste des règles de la logique la plus élàmentaire.

D'autres géomètres, moins absolus dans leur premier jugement, consentent à considérer la notion de longueur comme inséparable des mots ligne droite, mais sans

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28 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

admettre pour cela qu'elle doive, à priori, accompagner ceux de ligne courbe. Une telle distinction a quelque chose de subtil et de spécieux, qui peut séduire un esprit iuattentif, et qu'il est bon de réfuter.

Ce qui différentie le genre d'avec l'espèce, c'est que les qualités du genre se retrouvent dans l'espèce ; à un degré moindre ou à un degré plus élevé, elles s'y retrouvent, et cette forme particulière, qu'elles y affectent, est ordinairement ce qui caractérise l'espèce. C'est ainsi qu'en géométrie on passe du genre à l'espèce, dans toutes les figures possibles, soit à deux, soit à trois dimensions ; c'est ainsi que les premières définitions spéciales se tirent des générales. Que si une qualité du genre vient à disparaître totalement, dans un cas, cette disparition même ne constitue pas une espèce proprement dite, mais un nouveau genre, qu'ont peut appeler, au point de vue de la qualité qui a disparu, l'opposé du premier.

Qu'est ce qui disparaît dans une ligne courbe, lorsqu'elle devient droite ? Ce ne peut être la longueur ; sans quoi, elle ne serait pas une ligne, d'après les termes mêmes de la définition générale, soit avant, soit après sa transformation. Evidemment, ce qui disparaît, c'est ce qui fait, non pas qu'elle est ligne, mais qu'elle est courbe ; c'est cette qualité qu'on connaît et qu'on étudie, dans l'école, sous le nom de courbure : comme on le dit, la courbure n'existe pas dans une ligne droite. La ligne droite n'est donc pas du même genre que la ligne courbe, sous le rapport de la courbure ; mais, elle en est une espèce, sous le rapport de la longueur ; et, si elle possède cet attribut d'être longue, il faut qu'elle l'ait en partage avec tout le genre ligne ; d'où il résulte, qu'on ne saurait

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