DÉFINITION EXACTE DE LA I,IGKK DROITE

reconnaître l'idée de longueur comme inséparable de la ligne droite, sans l'admettre aussi de la ligne courbe.

Ce que la ligne droite nous offre de particulier dans sa longueur, de distinctif et d'excellent pour une définition, c'est qu'entre deux de ses points sa longueur a une valeur minimum, différente de zéro, ce qui n'a pas lieu avec une courbe ; mais, soutenir que la ligne droite, parce qu'elle n'est pas courbe, peut avoir une qualité de longueur qui manquerait totalement à la ligne courbe, c'est se méprendre complètement sur les différences du genre et de l'espèce.

On peut rendre cette vérité palpable, par une comparaison. Si l'on regarde un fil tendu, on a le droit de dire que ce fil a une longueur, qui lui est propre ; et cela, qu'on sache ou non la mesurer, c'est-à-dire l'exprimer par un nombre. Duhamel l'admet volontiers. Mais, si l'on vient à plier ce fil sur lui-même, il n'en conserve pas moins sa longueur primitive, sans qu'on puisse alléguer aucun motif plausible pour prétendre que cette longueur a disparu, ni qu'elle a diminué, ni qu'elle a augmenté.

J'accorde qu'un fll est quelque chose de matériel, tandis que les lignes de la géométrie sont purement idéales ; mais, il s'en faut que cette différence constitue, pour elles, un désavantage. Les géomètres ne se gênent pas pour attribuer à leurs figures idéales une multitude de propriétés, qu'on ne rencontre pas ou qu'on rencontre en partie seulement, dans les corps matériels : l'espace est pour eux, comme je l'ai dit, un milieu continu et homogène ; leurs solides ne sont pas impénétrables ; leurs lignes sont, à volonté, rigides ou flexibles ; leurs points sont quelquefois pesants, quoique dépourvus de volume. En un mot, c'est toujours sur des figures parfaites, sauf

Hosted by

à en rabattre dans la pratique, que le géomètre établi ses théories. Ce qui est dit plus haut d'un fil, si grossie qu'il soit, peut donc sans crainte être appliqué à uni ligne inatliématique, et, lorsqu'elle deviendra droite, df courbe qu'elle était, ou vice versa, il n'est pas admisEihI( que sa qualité de longueur puisse se modifier, ni se perdre durant cette métamorphose.

Ces vérités ne seraient pas contestées par les géomètres, s'ils avaient un peu plus de réserve et un peu plus d'indépendance dans leurs jugements, Lacroix étaif obligé, en l'an VI, de défendre, devant la Société Phiîomatique, la brièveté de la ligne droite n comme étant plus près des notions premières que les autres définitions qu'on peut donner de cette ligne (1). nEn 1870, on a vu, à l'Académie des sciences, mettre en doute que la ligne droite ne fût pas perpétuellement sinueuse. Aujourd'hui, l'on va plus loin ; on lui conteste ses qualités de ligne mathématique, et il semble que toutes les considérations sont bonnes à lui opposer.

Voici, en effet, un traité récent de géométrie, dont l'auteur affirme que ii l'idée de grandeur ne se conçoit pas, sans un terme de comparaison. » Il est vrai qu'il lui faut que ce terme de comparaison soit matériellement fixe, pour que la grandeur mesurée le soit elle-même, et qu'on puisse y étayer quelque raisonnement. Or, « pour la ligne « droite, il ne se présente rien de pareil, dit-il ; il n'y a « pas d'unité fixe, qu'on puisse retrouver en tous temps, « en tous lieux, quelles que soient les catastrophes qui « bouleversent le monde ; par conséquent, une ligne « droite n'a pas invariablement une longueur qu'on

(1) Laci-ois. — Discours de riception à la Sodélé PhilomaHqtte.

Hosted by

DÉFINITION EXACTE DE LA LIGNE DROITl': 31

« puisse assigner. » Cette menace ne laisse pas que d'être assez embarrassante pour l'Iiumanité.

Son embarras s'augmente encore par les réflexions qui suivent. « Deux droites, ajoute l'auteur, qu'on a recon- « nues inégales en les comparant, si elles étaient consi- « dérées l'une après l'autre et isolément dans l'espace, « ne présenteraient aucune diS'érence à un observateur « réduit à occuper successivement le point milieu de « chacune d'elles ; et, dans certaines circonstances, la (( même droite, vue à des intervalles de temps éloignés, « ne paraît pas identique; car la distance de deux vîUa- « ges voisins, qui est immense pour un enfant, lui semble « petite quand il a grandi et qu'il a voyagé (1). »

Ajoutons que, si le voyageur revient aveugle dans son village, il pourra se tromper du tout au tout : la conclusion est ainsi beaucoup plus sûre, et n'est guère moins sérieuse. Mais aussi, pourquoi poser en l'air un principe, que rien ne justifie, comme celui-ci : « l'idée de grandeur ne se conçoit pas, sans un terme de comparaison, » ou comme celui-là : m le terme de comparaison doit être matériellement fixe? »

Pour réfuter ce paralogisme, il suffit heureusement d'en appeler de l'auteur, marchant avec confiance sur les brisées du maître, à l'auteur procédant de lui-même à l'établissement de ses premières définitions. Quinze pages auparavant, il a déjà défini une ligne « comme étant une étendue, » eft il a ajouté que « l'étendue est toujours considérée indépendamment des corps. » Mais, la ligne

[1) Eléments de Géométrie, par J. Ricart, professeur s RoUin, 1875,

Hosted by

32 DÉFINITIONS <iÉOMÉTRIQUKS

droite est une ligne ; donc, c'est une étendue considérée indépendamment des corps.

Il fait plus ; il explique et commente sa pensée en ces termes : « Le géomètre purement théoricien, n'examine « pas tel ou tel corps en particulier, ni sa surface indi- « viduelle ; il se représente les formes des volumes , II. des surfaces et des lignes, et ces figufes lui suffisent.» Le mot est souligné.

Si ces figures lui suffisent, le géomètre théoricien peut donc concevoir aussi une étendue qui lui serve de terme de comparaison. Ses conceptions n'ont rien à redouter des cataclysmes de l'univers ; elles dureront, malgré les changements de temps et de lieux, tant que durera sa raison. lUui importe fort peu q u'on mesure, dans l'atelier, les longueurs à l'aune ou au mètre, et les angles au degré ou au grade. Tous les raisonnements de la géométrie sur les lignes, comme sur les angles, sont indépendants du choix et de la fixité matérielle de l'unité de longueur; ils ne le sont pas moins de l'unité d'angle.

Le géomètre a-t-il à craindre que son terme de comparaison vienne à s'altérer ou à lui échapper? L'auteur sait parfaitement que non : il sait que la ligne droite est une ligne, qu'une ligne est une étendue, qu'une étendue se conçoit indépendamment des corps, et que ce qui se conçoit indépendamment des corps peut se retrouver en tout temps, en tous lieux, quelles que soient les catastrophes qui bouleversent le monde. Il sait même que « lorsqu'une quantité varie d'une manière continue, )> — toutes les grandeurs mathématiques sont dans ce cas, — « elle passe par une infinité de valeurs qui sont « exprimables en nombres, et par une infinité d'autres

Hosted by