TE

au vecteur issu de À. La connaissance du ds? de la surface suffit à déterminer les coordonnées de À’ par rapport à À, mais si l’on attache à 4 et à A’ des systèmes locaux de références, les seconds axes subissent une rotation par rapport aux premiers et il est possible de déterminer les angles de cette rotation de telle sorte que les conditions du parallélisme de deux vecteurs infiniment voisins soient constamment satisfaites. Comme dans le cas de la courbe plongée dans l’espace euclidien, les plans extérieurs tangents, les projections et les rotations qu’implique le parallélisme de LEvi-CiviTA n’ont de sens que par rapport à l’espace dans lequel la variété est plongée. M. CARTAN montre dans la suite de son article toute la différence qui sépare ce point de vue de celui de M. WEYL, qui a pu donner du parallélisme une définition purement intrinsèque ; dans le cas de deux dimensions, elle se présente sous la forme suivante : Deux directions issues de deux points voisins À et A’ sont parallèles si elles font le même angle avec la géodésique (ligne de longueur minimum) qui passe par À et À' (1). Cette définition ne fait appel à aucune opération dans l’espace extérieur et elle aboutit au même résultat que celle de M. LEvI- CIVITA.

Ce résultat est d'autant plus remarquable qu’il n’est pas du tout nécessaire que lorsque le point de vue intrinsèque et le point de vue extrinsèque sont l’un et l’autre possibles, ils aboutissent à conférer une même connexion à une même surface. M. CARTAX a en effet généralisé le point de vue qui est à l’origine des travaux de M. Levi-CiviraA en cherchant à attribuer à une variété plongée dans un autre espace que l’espace euclidien (l’espace affine, projectif ou conforme) une connexion qui rende le plus simplement compte des re. lations de cette variété avec l’espace ambiant (2). Soit par

(x) E. CARTAN, 0h. cit., p. 298.

(2) E. CARTAN, op. cit., p. 316.

CNRS

exemple une surface plongée dans l’espace conforme (où la notion de plan est remplacée par celle de sphère). Il est possible de considérer une « connexion conforme » induite sur cette surface par l’espace conforme ambiant de la façon suivante : Au lieu des plans tangents en deux points voisins, on envisage les sphères de courbure passant par ces deux points et on raccorde les deux sphères par une sorte de projection orthogonale de l’une sur l’autre. Cette connexion conforme extrinsèque diffère essentiellement de la connexion conforme purement intrinsèque puisque cette dernière identifie tout plan et toute surface à une sphère (1). La réduction de l’extrinsèque à l’intrinsèque se heurte ainsi à des faits qui montrent les limites que rencontre l’élimination de toute référence à un contenant universel, et confère un intérêt d'autant plus grand aux cas surprenants où cette élimination réussit.

Propriétés de structure et propriétés de situation en topologie algébrique.

La dualité du point de vue extrinsèque et du point de vue intrinsèque que nous avons observée à propos de certains problèmes de géométrie différentielle se retrouve en topologie algébrique et y occupe une place tellement importante que les auteurs des traités les plus récents de topologie, MM. SEIFERT et THRELFALL (2), comme MM. ALExaAN- DROFF et Horr (3) la mettent au centre de leurs considérations générales relatives à la topologie.

(1) E. CARTAN, 0. cit, p. 317.

(2) H. SEIFERT und W. THRELFALL, Lehrbuch der Topologie. Teubner,

(3) P. ALEXANDROFF und H. Hopr, Topologie. Erster Band. Springer 1935:

NA 0m

Les propriétés géométriques qu’étudie la topologie sont celles qui sont conservées par des transformations biunivoques et bicontinues. Deux figures sont dites à cet égard homéomorphes si l’on peut établir une pareille correspondance entre les points de l’une et ceux de l’autre. Il faut alors distinguer deux sortes d’homéomorphies : celles qui sont réalisables par une déformation des deux figures qui les amène à coïncider dans l’espace, et celles qui existent entre les points de deux figures qu'aucune déformation dans l’espace ne peut amener à coïncider. Considérons deux courbes fermées quelconques; elles sont homéomorphes en ce sens qu’il est possible d'établir une correspondance biunivoque et bicontinue entre les points de l’une et les points de l’autre. Si elles sont situées dans un même plan, on peut toujours réaliser cette correspondance en amenant par une série de positions intermédiaires l’une des deux courbes à coïncider avec l’autre. Si elles ne sont pas situées dans le même plan il se peut qu’il soit impossible de les amener sans déchirure à coïncider. Soient par exemple le cercle et le

Fi. 1 (d’après la figure 2 de la Topologie de SEIFERT et THRELFALL).

nœud en forme de trèfle. Ce sont deux courbes homéomorphes puisqu'on peut établir une correspondance ponctuelle de l’une à l’autre et pourtant il est impossible de les amener à coïncider par une déformation continue dans l'espace. Il existe ainsi pour des figures des propriétés internes

(Innere Eigenschaften de SEIFERT et THRELFALL) Où pro-

ALBERT LAUTMAN 4

priétés de structure (Gestaltliche Eigenschaften de ALEXAN- DRCFF et HopF) comme celle d’être une courbe fermée, et qui sont indépendantes de toute référence à l’espace ambiant, et des propriétés d’insertion ou de situation (Einbettungseigenschaften, Lageeigenschaften) qui sont conférées à une figure par les relations qu’elle soutient avec l’ensemble des autres figures de l’espace. Les résultats que nous allons exposer se rapportent tous à ce problème éminemment leibnizien : Est il possible de déterminer les propriétés de situation par la connaissance des propriétés de structure ? Le terme même d’Analvysis situs dû à LEIBNIZ exprime bien cet espoir de déterminer ce qui concerne la « situation » par une « analyse » des propriétés internes de la figure.

Il y a, tout au moins dans l’espace à trois dimensions, un cas classique de propriété de situation complètement réductible à une propriété de structure intrinsèque. Considérons ce qu on appelle l’anneau de MôBIus, c’est la figure obtenue

Fig. 2 (d’après la figure 12 de la Topologie de SEIFERT et THRELFALL).

en soudant les deux extrémités d’une bande tordue une fois sur elle-même. Si l’on trace une ligne sur cette surface en ne

s'arrêtant que lorsqu'on retrouve le point de départ et si ensuite on fend l’anneau pour le déplier dans sa longueur, on obtient une bande dont les deux côtés sont parcourus par la droite tracée. Si l’on voulait colorier l'anneau de proche en proche, on s’apercevrait en dépliant encore l’anneau dans l’espace que l’on a colorié les deux côtés de la bande obtenue. L’anneau de MôBIus n’a donc lui, qu’un seul côté, et c’est là une propriété essentiellement extrinsèque puisque pour s’en rendre compte il faut fendre l’anneau et le détordre, ce qui suppose une rotation autour d’un axe extérieur à la surface de l’anneau. Il est pourtant possible de caractériser cette « unilatéralité » par une propriété purement intrinsèque. Considérons en effet une flèche perpendiculaire à la ligne tracée sur l’anneau et déplaçons cette flèche le long de cette ligne, de telle sorte qu’elle reste constamment située sur la surface. En supposant la surface assez transparente on se rend compte que la flèche arrive en un point à couvrir sa position de départ avec une orientation inverse. La surtace est dite non-orientable et cette propriété pourrait être observée par un observateur lié à la surface, qui n’aurait pour cela n1 à fendre l'anneau, ni à le détordre. On démontre que dans espace orientable à n d#mensions, l’espace euclidien à trois dimensions par exemple, il y a pour une variété à n-1 dimensions, un anneau à deux dimensions par exemple, équivalence entre le fait d’être bilatère et le fait d’être orientable ; ou entre le fait d’être unilatère et celui d’être non-orientable. Cette rencontre du point de vue de la situation et du point de vue intrinsèque est, dans ce cas encore, d'autant plus intéressante qu’il n’est pas nécessaire qu'elle ait lieu dans tous les cas. L'orientabilité ou la non-orientabilité étant des propriétés intrinsèques ne peuvent être enlevées à une surface par une modification de ses rapports avec l’espace ambiant, mais il n’en est pas de même du fait d’être bilatère ou unilatère, propriétés qui dépendent de cet espace ambiant. C'est ainsi

qu’une surface orientable est bilatère dans l’espace euclidien mais pourrait cesser de l’être dans un autre espace à trois dimensions.

Cet exemple nous laisse pressentir l'intérêt philosophique de la topologie algébrique (ou encore topologie combinatoire) : Les propriétés géométriques de relation se laissent dans une très large mesure exprimer en propriétés algébriques intrinsèques et dans la mesure où cette intellectualisation des relations d’une figure et des figures environnantes réussit, on voit s’évanouir la distinction kantienne d’une esthétique et d’une analytique. Le succès le plus triomphal de la topologie est à cet égard la théorie de la dualité que nous allons maintenant exposer.

Les théorèmes de dualité.

S1 l’on envisage un polyèdre dans l’espace euclidien R" à n dimensions, les propriétés de situation que l’on est amené à lui attribuer concernent en premier lieu les répercussions qu'entraîne sur la structure globale de ] espace, la présence en lui de l’être géométrique considéré. La structure propre du polyedre est bien une propriété intrinsèque-du polyèdre, indépendante de toutes les situations possibles où il peut se trouver, mais son introduction (x) au sein d’un espace modifie la structure interne de cet espace, en soumet les éléments à de nouvelles connexions et établit ainsi entre l'espace et lui les relations qui caractérisent son mode d’insertion dans l’espace. Les théorèmes de dualité en topologie permettent de déterminer cette action du polyèdre sur l’es-

pace à partir de la seule connaissance structurale du po-

(x) Au lieu d'envisager l'insertion d’un polyèdre dans l’espace, les topologistes considèrent souvent que l’on retire de l’espace les points appartenant à ce polyèdre.

lyèdre ; le polyèdre jouit ainsi de certaines des propriétés de la monade leibnizienne et nous allons essayer de le montrer en ne nous appuyant que sur les définitions indispensables.

L'objet d'étude de la topologie est non pas le polyèdre, mais le complexe simplicial. Voici ce qu’il faut entendre par là : un point est un simplexe à o dimension, un segment 4 B un simplexe à 1 dimension déterminé par les 2 points À et B, un triangle est un simplexe à 2 dimensions ; plus généralement # + 1 sommets déterminent un simplexe à # dimensions. Ce simplexe possède des faces à 0,1, 2... n —1r dimensions obtenues en considérant successivement ses sommets, ses arêtes, ses côtés, etc... Soit maintenant une figure formée d’un ensemble de simplexes satisfaisant aux conditions suivantes : a) tout point de la figure appartient au moins à un simplexe ; &) tout point n'appartient qu’à un nombre fini de simplexes ; :) étant donné deux simplexes, ou bien ils sont sans point commun, ou bien l’un est face de l’autre, ou bien ils ont une face commune ; d) les voisinages d’un point dans les différents simplexes auxquels il appartient sont « réunis » en un voisinage unique. Cette figure constitue ce qu’on appelle un complexe simplicial, dont la dimension est celle du simplexe le plus élevé qui apparaît dans la « décomposition simpliciale » du complexe (x) (2). Naturellement on ne distingue pas entre un complexe et les figures qui lui sont topologiquement équivalentes. Ainsi par exemple la surface d’une sphère est un complexe à 2 dimensions dont on obtient une décomposition simpliciale en considérant le tétraèdre À BCD inscrit. Le tétraèdre est un simplexe à 3 dimensions ; les 4 triangles qui le limitent forment un complexe à 2 dimensions topologiquement équivalent à

(x) Voir pour ces définitions les livres déjà cités p. 48, ainsi que la Topology de S. LEFSCHETZ.

(2) Au lieu d’une décomposition en simplexes, on envisage parfois une décomposition en cellules, obtenue à partir de la décomposition simpliciale.

la surface de la sphère,'où interviennent 4 simplexes à 2 dimensions : les 4 triangles ABC, ABD, BCD, ACD, 6 simplexes à 1 dimension (les 6 arêtes) et 4 simplexes à o dimension (les sommets).

On démontre de même que la plupart des figures importantes de la topologie sont des complexes. Toute étude structurale d’un complexe repose sur la connaissance de certains nombres, dits nombres de BETTI, attachés à ce complexe et qui sont invariants par une transformation topologique. Malgré le caractère abstrait de cette théorie il nous faut absolument préciser la nature des êtres géométriques que ces nombres mesurent sur un complexe : on définit sur un complexe de dimension #, certaines combinaisons de simplexes de la dimension o, de la dimension 1, de la dimension #, qui forment ce qu’on appelle des cycles (x) relatifs à chaque dimension ; on définit ensuite ce qu’on entend par indépendance de plusieurs cycles de même dimension et les nombres de BETTI mesurent pour chaque dimension de o à n le nombre maximum de cycles indépendants de cette dimension. Il est possible de donner une représentation in-

(1) Etant donné un simplexe de dimension #, on appelle frontière de ce simple la somme algébrique de ses faces à n — 1 dimensions. On appelle k-chaîne, une somme algébrique de simplexes de la dimension k, chacun pouvant être éventuellement multiplié par un coefficient entier. On appelle cycle une chaîne fermée, c’est-à-dire une chaîne dont la frontière est nulle. Parmi ces cycles, certains se trouvent être en même temps frontières de chaînes à À + 1 dimensions. Ainsi, par exemple, une circonférence est non seulement une chaîne de la dimension 1, mais un cycle puisqu'elle est fermée et même un cycle frontière puisqu'elle est frontière d’un simplexe à 2 dimensions (la surface du cercle, topologiquement équivalente au triangle inscrit). Un cycle frontière est dit homologue à zéro : ces préliminaires étant posés, voici la définition de l'indépendance de cycles : m cycles à À dimensions u*, u*,… u, sont dits indépendants s’il n'existe pas de combinaison linéaire

out + uk. + mn uw

de ces » cycles qui soit homologue à zéro sans que tous les coefficients f; s’annulent. Si l'on peut trouver sur un complexe m cycles indépendants et

que l'on ne puisse en trouver m + 1, le nombre de BETTI de la dimension k est m.

tuitive du sens des nombres de BETTI de la dimension o et de la dimension 1. Le nombre de BETT:I de la dimension o mesure ce qu'on appelle les composantes du complexe, c'est-à-dire le nombre des parties isolées qui le constituent.

Ainsi par exemple l’espace euclidien dont on retire les points situés sur une couronne circulaire a son nombre de BETTI de la dimension o égal à 2, car un point de la partie hachurée extérieure et un point de la partie intérieure ne peuvent être reliés par un chemin continu ; ils appartiennent donc à 2 composantes distinctes.

Le nombre de BETTI de la dimension 1 mesure le nombre maximum de courbes fermées indépendantes qui ne sont pas réductibles à un point par déformation continue. Soit par exemple le plan euclidien percé de 2 trous. Les bords des trous sont des courbes irréductibles à un point, le nombre de BETTI de la dimension 1 est égal à 2.

Nous pouvons aborder maintenant l'exposé des théorèmes de dualité. Le premier théorème de dualité dû à Porn- CARÉ se réfère exclusivement à la structure intrinsèque d’un complexe : le théorème de dualité d'ALEXANDER est une conséquence directe du théorème de PoINCARÉ, et atteint immédiatement le but auquel nous nous proposions d’arri-

RTE

ver : il ramène à l’étude structurale d’un complexe l'étude structurale de l’espace qui reçoit ce complexe : c’est lui qui opère la réduction des propriétés de situation en propriétés intrinsèques et il nous faut montrer comment il est en germe dans le théorème «interne » de POINCARÉ.

Le théorème de PoINCARÉ démontre que pour une multiplicité fermée de dimension # (complexe satisfaisant à certaines conditions) les nombres de BETTI de la dimension * sont égaux aux nombres de BETTI de la dimension #-k. Cette symétrie interne entre les nombres de BETTI d’un même complexe Q vient de ce que les nombres de BETTI de

F1G. 4 (d’après la figure 13 de la Topology de S. LerscHETZ).

la dimension À sont nombres de BETTI de la dimension #-k pour un autre complexe que le premier, son complexe duel. Le complexe duel Q* d’un complexe Q résulte d’une autre décomposition en cellules des mêmes points que ceux qui figurent dans la première décomposition en cellules de Q (fig. 4). Chacune des cellules à n-k dimensions de Q* est en intersection avec les cellules à À dimensions du complexe Q. Cette notion du complexe duel est essentielle pour assurer le passage du cas interne au cas externe. Alors que nous

étions partis d’une conception où les nombres de BETTI d’une multiplicité étaient des caractéristiques propres à cette multiplicité, voici que l’être étudié se dédouble et que les nombres de BETTI du nouveau complexe peuvent être déterminés à partir de ceux de l’ancien. Cette dualité au sein d’un même être a donc déià le sens d’une relation entre deux êtres discernables quoiqu’encore indissolublement liés l’un à l’autre. Un simple changement de perspective les dissociera et transformera une symétrie interne en véritable correspondance de deux êtres distincts.

Considérons en effet un complexe Q à k ‘dimensions plongé dans l’espace euclidien À" à n dimensions. Soit R"—Q l’espace complémentaire du complexe Q, c’est-àdire l’espace dont on enlève les points appartenant à Q. Alors qu’il y avait tout à l’heure dualité entre les nombres de BETTI d’un même complexe, le théorème d’ALEXAN- DER démontre une nouvelle dualité entre les nombres de BETTI de Q et ceux de son espace complémentaire R"—0Q (1). Soit p’(Q) le nombre de BETTI de la dimension 7 du com- Dec 0 on (0 EE (At — 0). Le-nombre de BETT1 de la dimension 7 de Q est égal au nombre de Berri de la dimension #-r-1 de R" — Q sauf dans le cas où y = n-1 pour lequel on a p"-"(Q) = p° (R® — Q) — x. II nous faut insister sur le sens de ce résultat. Dans l’espace euclidien à » dimensions, tous les nombres de BETTI sont

(x) C’est la notion extrinsèque d’enlacement qui permet de rattacher le théorème d’ALEXANDER au théorème de Poincaré. On dit qu'il y a enlacement entre deux courbes fermées sans points communs s’il y à intersection entre le plan compris à l’intérieur d’une de ces courbes et l’autre courbe. Dans le cas qui nous occupe ici, il y a dans À# enlacement entre les cycles frontières de dimension 7 appartenant à O et les cycles frontières de dimension #--1 appartenant à R1-Q. Cela signifie qu'il y a intersection entre les cycles frontières de la dimension 7 de Q et certaines chaînes de dimension n-r de R1-Q. On peut alors considérer ces cycles de dimension 7 et ces chaînes de dimension #-7 comme appartenant à des complexes en dualité dans An et l’on voit ainsi comment s'opère le passage du cas «interne » au

cas « externe ».

nuls sauf celui de la dimension o qui est toujours égal à I dans les espaces composés d’une seule partie. Ce n'est que parce qu’on introduit dans R" un complexe Q qu'il en résulte pour l’espace R' — Q une structure plus compliquée que celle de l’espace primitif. Ainsi dans le cas de la figure,

Fic. 5 (d’après la figure 35 de la Topologie d'ALEXANDROFF et Hopr.

ce n’est que parce qu’on enlève de R" l’espace Q percé de deux trous C et D qu’il en résulte pour R" — Q l'existence de cycles C’ et D’, de la dimension 1, enlacés avec C et D, et non réductibles à un point par déformation continue. Les nombres de BETTI de À" — Q qui expriment la structure de cet espace expriment dont par là même la nature de l’action qu'exerce sur R" le complexe Q et le théorème d'ALEXANDER permet de prévoir à l’avance le résultatde cette action de Q sur À” par la connaissance de la structure propre de Q. On comprend alors comment MM. ALEXAN- DROFF et HOPF peuvent écrire (1) : « Le théorème de dualité d’ALEXANDER appartient sans aucun doute aux découvertes les plus importantes de la topologie dans ces dernières années. Tout ce que nous savons des propriétés de situation des polyèdres et des ensembles fermés dans les espaces à plusieurs dimensions se ramène à lui. Les propriétés de situation d’un ensemble F dans un espace R sont

(1) ALEXANDROFF und Hopr, Topologie, p. 449.

en premier lieu les propriétés de structure de l’espace complémentaire R-F et le théorème de dualité nous apprend à déterminer ces propriétés, dans le cas d’un polyèdre plongé dans l’espace euclidien, pour autant qu’elles se laissent exprimer par les nombres de BETT1 et les groupes de torsion (1). »

Voici le cas le plus simple où s’appliquent ces considérations : le théorème de JORDAN enseigne qu’une courbe fermée dans le plan divise le plan en deux régions séparées dont elle est la frontière commune. Le théorème caractérise manifestement l’action de la courbe sur l’espace. BROUWER et H. LEBESGUE ont montré, bien avant qu'ALEXAN- DER eût énoncé son théorème général, comment il était possible de rattacher cette action d’une multiplicité fermée à # dimensions sur un espace ambiant à # + 1 dimensions, aux propriétés intrinsèques de la multiplicité. Avec la formule d'ALEXANDER, le résultat de JORDAN est immédiat : une courbe fermée C est un complexe à 1 dimension, son nombre de BETTI de la dimension 1, p1, est égal à 1. Dans le plan où # — 2,on a donc, en appelant p° (R? —C) le nombre de composantes isolées de l’espace dont on enlève les points situés sur la courbe C :

p (R?—C) = BC) +1 —2:

L'action de la courbe sur l’espace est donc déterminable à partir de la connaissance des invariants de structure -de la courbe considérée intrinsèquement. Ce que ce résultat a éu d’extraordinaire lors de sa découverte est mis en lumière par M. PONTRJAGIN dans l'introduction d’un article très important sur les théorèmes de dualité. M. PONTRJAGIN écrit en effet : (2) « Dans son mémoire

(r) Les groupes de torsion sont des invariants de structure déterminés en même temps que les nombres de BETTI. .

(2) L. PONTRJAGIN, Über den algebraischen Inhalt topologischer Dualitätssätze. Math.Ann., t. 105 (1931), p. 165 sqq.

célèbre de 1805 sur l’ Analysis situs paru dans le Journal de l'Ecole polytechnique, POINCARÉ a démontré le théorème de dualité qui porte aujourd’hui son nom et qui établit l'identité du 7” et du #-r" nombre de BETTI d’une multiplicité orientable à # dimensions. À peu près à la même époque, JORDAN énonçait pour la première fois le théorème relatif aux courbes fermées. Personne ne se doutait alors que deux théorèmes aussi totalement différents appartenaient au même cercle d'idées. » Personne ne pouvait en effet se douter, avant le développement de la topologie algébrique, que les propriétés de structure interne découvertes par POINCARÉ expliqueraient un jour les propriétés extrinsèques de situation qu’exprimait le théorème de JORDAN.

Les limitations de la réduction.

Les théorèmes de dualité permettent avons-nous vu page 59 de déterminer les propriétés de structure de l’espace complémentaire d’un polyèdre plongé dans l’espace euclidien par la connaissance de la structure du polyèdre en question « pour autant que ces propriétés se laissent exprimer par les nombres de BETTI et les groupes de torsion ». Or des faits sont venus montrer que cette restriction était essentielle et que la réduction des propriétés de situation aux propriétés de structure ne pourrait jamais être achevée. TH semble qu'il en soit comme si la topologie ne pouvait se développer qu’en donnant raison à LEIBNIZ, mais que constamment elle rencontre des faits qui donnent raison à KaANT et l’obligent ainsi à chercher de nouvelles méthodes. La découverte en question est celle de L. ANTOINE (x). M. ANTOINE étudie le cas de deux courbes de JORDAN F et f

(1) L. ANTOINE, Sur l'homéomorphie de deux figures et de leurs voisinages. Journ. Math. pures et appliquées (1921), p. 221.

pire

situées chacune dans des espaces F, et f, et examine dans quelle mesure l’homéomorphie qui existe toujours entre deux courbes de JORDAN peut s'étendre à leur voisinage, Trois cas sont alors possibles : 1° celui où l’homéomorphie des courbes s'étend à tout l’espace ; 20 celui où l’homéomorphie s'étend à un voisinage qui dépasse les courbes sans embrasser tout l’espace ; 3° celui où l’homéomorphie de courbes ne peut être prolongée pour aucune région extérieure aux courbes. Dans le cas de courbes planes on est toujours dans le premier cas et la structure de la courbe détermine complètement la structure de l’espace qui la contient : par contre pour des courbes de l’espace euclidien à trois dimensions, les trois cas peuvent se présenter et M. ANTOINE construit effectivement un arc de JORDAN sur un tore dont la correspondance avec un segment de droite ne s'étend à aucun voisinage. Les deux courbes F et f étant homéomorphes, leurs invariants de structure déterminent, en vertu du théorème d’ALEXANDER, des invariants de structure identiques pour leurs espaces complémentaires respectifs F, — F et f, — f, mais l'identité de ces invariants n’est pas suffisante pour que les espaces F, — F et f, — f soient homéomorphes. Ils ne sont pas déterminés de façon univoque par leurs nombres de BETTI, donc par les courbes qui peuvent y être insérées et leurs différences de structure sont irréductibles. Si l’on remarque alors que les deux espaces euclidiens à trois dimensions F, et /, sont identiques et que c’est l’introduction des courbes homéomorphes F et f dans chacun d’eux qui les rend profondément dissemblables, on se rend compte de tout ce que les invariants de structure des courbes laissent échapper de relations entre la courbe et l’espace. Les propriétés de situation, réductibles aux propriétés de structure dans le cas de deux dimensions, cessent de l’être dans le cas de trois dimensions. À ce niveau de réalité, la distinction d’une esthétique et d’une analytique subsiste.