CHAPITRE IT

Propriétés intrinsèques et propriétés induites.

Lorsqu'on étudie les propriétés d’un être géométrique, on est amené à distinguer entre les propriétés qui résultent pour cet être de la considération de sa nature intrinsèque, et celles que lui confèrent ses relations avec le milieu qui l'entoure. Les propriétés intrinsèques d’un être sont indépendantes de la position de cet être dans l’espace, elles sont même indépendantes de l'existence d’autres êtres : elles appartiennent en propre à l’être que l’on envisage. Les propriétés de relation ne peuvent au contraire être attribuées à un être mathématique que si l’on se réfère à autre chose qu’à lui : c’est tantôt un système de références commun à plusieurs êtres, tantôt un espace ambiant dont les propriétés peuvent être définies indépendamment de tout contenu, tantôt encore un certain nombre d’autres êtres qui soutiennent avec le premier des relations de voisinage, d’incidence, d'orientation, etc... Les propriétés de relation traduisent en somme la solidarité d’un être et de l’univers au sein duquel 1l est plongé.

On sait qu’une des différences essentielles entre la philosophie mathématique de LEIBNIz et celle de KANT réside * dans l'opposition de leurs conceptions relatives aux propriétés extrinsèques des êtres géométriques. Nous voudrions rapidement résumer ici un débat qui, nous le verrons plus loin, retrouve aujourd’hui en géométrie différentielle et en topologie toute son actualité.

La conception leibnizienne de la monade, aussi bien en ce qui concerne la géométrie qu’en ce qui concerne l'existence des choses créées, repose sur la réduction des rapports que la monade soutient avec toutes les autres monades en propriétés internes, enveloppées dans l'essence de la monade individuelle. On peut distinguer deux moments importants dans cette réduction : celui où LEIBNIZ conçoit la sympathie universelle de toutes les substances et celui où il inscrit cette sympathie dans la loi du devenir interne de chaque monade considérée comme isolée de toutes les autres. Dans la lettre à ARNAULD de septembre 1687, il explique qu’une chose peut en exprimer une autre comme «une projection de perspective exprime son géométral » et plus loin il écrit : «Toutes les substances sympathisent avec toutes les autres, et reçoivent quelque changement proportionnel, répondant au moindre changement qui arrive dans tout l’Univers (1). » La notion de monade ne se précise pourtant que dans le Système nouveau de la Nature et de la communicahon des substances aussi bien que de l'union qu'il y à entre l’âme et le corps paru en 1695. « Chacune de ces substances », écrit-1il, « représentant exactement l'univers à sa manière, et suivant un certain point de vue, et les perceptions ou express'ons des choses externes arrivant à l’âme à point nommé, en vertu de ses propres lois, comme dans le monde à part et comme s’il n'existait rien que Dieu et elle. il y aura un parfait accord entre toutes les substances (2). »

Tous les commentateurs de KANT ont montré l’importance pour la formation de la théorie kantienne de l'espace, de deux textes de la période précritique, l’un de 1768 « Von dem ersten Grunde des Unterschiedes der Gegenden 1m Raume », l'autre de 1770, la dissertation « De mundi senstbilis atque intelligibilis forma et principiis », où s’ébauchent

(x) Leibniz à Aynauld. Ed. Gerhardt, t. DD Er (2) Système nouveau. Ed. Gerhardt, t. IV, p. 484.

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les idées de l’Esthétique transcendantale. Les positions respectives que les corps del’espace occupent les uns par rapport aux autres, ne se laissent pas décrire uniquement en termes de relations mutuelles entre ces corps, elles se réfèrent nécessairement à un système de références privilégié et universel, celui qu’établissent dans l’espace les distinctions fondamentales de la gauche et de la droite, du haut et du bas, de l'avant et de l'arrière du corps humain. La distinction de la main gauche et de la main droite est la plus importante. Elle impose à l’espace comme les lignes d’un clivage auquel sont soumis tous les corps de l’espace. Si l’on regarde en effet la manière dont les cheveux sont plantés sur la tête, dit KANT, dont se déroulent les spirales des coquilles du limaçon, dont le houblon monte à son tuteur (1), on observe partout dans la nature un mouvement privilégié de la gauche vers la droite et qu'aucun artifice ne peut effacer. Une des conséquences les plus célèbres de cette opposition de la gauche et de la droite, c’est l’incongruence des figures symétriques. La main gauche et la main droite possèdent, quand on les examine en elles-mêmes, exactement les mêmes parties, celles-ci sont dans chaque main disposées de la même façon, les deux mains sont donc identiques et semblables (gleich und ähnlich) mais si elles sont bien symétriques, elles ne sont pas superposables. Cette incongruence des figures symétriques qui se rattache à la structure de notre propre corps se retrouve en géométrie pure et KANT invoque en faveur de sa thèse le cas des triangles sphériques qui peuvent être parfaitement identiques et semblables, sans se recouvrir cependant. Il y a là des faits sensibles, dont aucune analyse rationnelle des propriétés internes des corps ne peut rendre compte et qui résultent de la différence des places que ces corps occupent dans l’es-

(1) KANT, Œuvres, éd. Ac. Berlin, t. II, p. 396.

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pace sensible. La dépendance des corps par rapport à l’espace ambiant est donc liée chez KANT de facon étroite au fait que la raison ne peut caractériser de façon abstraite que les propriétés intrinsèques des corps géométriques et que celles qui résultent de leur position dans l’espace ne peuvent être appréhendées que par l'intuition sensible qui se réfère à l'orientation de l’espace entier : «quæ jaceant in spatio dato unam plagam versus, quæ in oppositam vergant, discursive describi s. ad notas intellectuales revocari nulla mentis acie possunt ».. et plus loin : « patet hic non nisi quadam intuitione pura diversitatem nempe discongruentiam notari posse » (1). Nous reviendrons plus loin sur ces limitations éventuelles de la géométrie de l’intrinsèque.

Il est à peine besoin de rappeler comment la constitution par GAUSS et RIEMANN d’une géométrie différentielle qui étudie les propriétés intrinsèques d’une variété, indépendamment de tout espace dans lequel cette variété serait plongée, élimine toute référence à un contenant universel ou à un centre de coordonnées privilégié. Les « Disquisihones circa superficies curvas » de GAUSS envisagent une surface réelle à deux dimensions et définissent une métrique sur cette surface du point de vue d’un observateur lié à la surface et qui par conséquent ne pourrait la considérer d’une position de l’espace extérieure à elle. Le point de vue de RIEMANN, dont nous avons parlé au chapitre précédent, généralise dans le cas d’un ds? à n variables le point de vue « superficiel » de Gauss. Les notions de distance, de courbure, de géodésique y ont un sens intrinsèque, car elles sont définies de proche en proche, sans sortir de la variété ; la distinction de l’espace et de la variété s’efface, il ne subsiste plus que l’espace de cette variété. On sait comment la théorie de la relativité accentue encore cette identification du contenant et du contenu : la matière n’est plus considérée

(x) KanT, Œuvres, éd. Ac. Berlin, t. IL, p. 419.

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comme située dans l’espace, les propriétés de l’espace en chaque point étant déterminées par la densité de la matière en ce point. La géométrie et la physique se constituent solidairement, de sorte qu’il est impossible de séparer l’espace, la variété riemannienne et la matière.

Une pareille caractérisation intrinsèque des êtres géométriques n’est pas sans amener parfois des difficultés d’interprétation chez les philosophes. L'idée que cette variété riemannienne qu'est l’espace d'EINSTEIN serait fermée, évoque souvent l’image d’une surface fermée que l'intuition ne pourrait s'empêcher de situer dans un espace infini à trois dimensions, et pourtant en dehors de laquelle, par un paradoxe incompréhensible, il ne pourrait y avoir ni matière, ni même d’espace. Le paradoxe disparaît quand on se rend compte qu'une variété sur laquelle est défini un ds? à plus de deux dimensions n’est aucunement susceptible de comparaison intuitive avec une surface. Les notions de la géométrie différentielle intrinsèque sont purement intellectuelles, elles caractérisent un mode d’exploration mathématique d’une variété par cheminement sur cette variété pour l’opposer à la méthode extrinsèque qui considère cette variété comme plongée dans un espace euclidien à un nombre suffisant de dimensions. Il est en effet toujours possible de réaliser un ds? dans un espace euclidien, mais c’est un espace

euclidien à — dimensions dont la géométrie est aussi

abstraite que celle de la variété qu’il contient. Ce qui nous intéresse ici, c’est l’existence de deux points de vue aussi nettement distincts l’un de l’autre que le point de vue intrinsèque et le point de vue de l'insertion ; cette nouvelle dualité nous amène en effet au premier des problèmes que nous nous proposons d’étudier dans ce chapitre : est-il possible de ramener les propriétés induites sur une surface de RIEMANN par l’espace euclidien ambiant, à des propriétés purement intrinsèques de cette variété ?

Le parallélisme sur une variété de Riemann (1).

La question posée est authentiquement mathématique et on peut en voir l’aspect technique dans les exposés de M. CARTAN que nous avons cités plus haut ; elle n’en a pas moins un intérêt philosophique considérable, que M. CaR- TAN souligne lui-même avec une sobriété de termes qui conère à sa remarque toute la précision d’une affirmation de savant. Le point de vue des propriétés induites est, nous dit-il, « philosophiquement inférieur » au point de vue intrinsèque. Le moindre résultat dans le sens de la réduction de l’extrinsèque à l’intrinsèque tend en effet à inscrire dans la structure d’un être les relations qu'il soutient avec l’espace ambiant et à restaurer ainsi la vision de la monade leibnizienne. Là encore, il semble que les mathématiques offrent un domaine privilégié au mouvement d’une pensée qui tente de rapprocher deux notions logiques opposées.

Nous avons vu page 23 comment dans un espace de RIE- MANN défini par un certain ds?, deux observateurs voisins peuvent au moyen d’un trièdre trirectangle « repérer les points qui sont dans leur voisinage immédiat, mais ne peuvent sans convention nouvelle repérer l’un par rapport à l’autre leurs trièdres de référence » (2) ; nous avions indiqué également la nécessité où se trouvait la théorie de la relativité de douer les espaces de RIEMANN qu’elle considère, d’une certaine homogénéité pour que les lois de la physique puissent être indépendantes de toute attache à des points particuliers de l’espace. Cette connexion euclidienne des espaces de RIEMANN, c’est M. LEviI-CivirA qui l’a définie avec sa conception du parallélisme sur une variété quelconque.

(1) Voir pour tout ce paragraphe le premier article de E. CARTAN, cité p.22. (2) E. CARTAN, 0. cit., p. 297.

Le raccordement des voisinages des différents points n’est plus indéterminé, les morceaux d’espace sont orientés de proche en proche les uns par rapport aux autres, de telle sorte qu’il soit constamment possible de définir le parallélisme de deux vecteurs issus de deux points infiniment voisins. M. CARTAN explique comment ce parallélisme est, dans la théorie de M. LEvi-CivirA «induit» sur la variété par l’espace euclidien à 2) dimensions dans lequel elle est plongée. Pour se représenter de façon intuitive comment des propriétés peuvent être induites sur une variété par l’espace ambiant, M. CARTAN envisage tout d’abord une courbe de l’espace euclidien. Cette courbe ne diffère d’une droite que pour un observateur extérieur à elle ; la cinématique d’un mobile sur cette courbe est identique à la cinématique d’un mobile sur une droite. Cette correspondance entre axes de courbe et segments de droite vient de ce qu'il est possible de dérouler la courbe sur une droite qui serait in1tialement tangente à un point de la courbe. Or les opérations d’enroulement ou de déroulement d’une courbe sur une droite ne sont possibles que par une série de proiections successives de Ia courbe sur la droite, effectuées dans l’espace qui contient l’une et l’autre. Soit maintenant à définir le parallélisme de deux vecteurs tangents à une surface de RIEMANN PV, et issus de deux points infiniment voisins A et À’. M. CARTAN expose (1) le point de vue de M. LE vr- Civira en considérant le plan tangent à la surface en À. Ce plan contient le vecteur tangent à V, issu de À. On peut projeter orthogonalement sur ce plan le vecteur issu du plan infiniment voisin 4’, et les deux vecteurss isus de À et de À” seront dits parallèles si la projection du second sur le plan tangent en À est parallèle au sens ordinaire du mot,

(TI) EE ACARTAN, 0p. cit. D. 207: