GENE ER

La montée vers l'absolu.

Il y a dans la métaphysique cartésienne une démarche dialectique essentielle : le passage de l’idée d’imperfection à l’idée de perfection et à Dieu qui est cause de la présence en nous de l’idée de parfait. Nous nous intéresserons surtout à deux étapes de ce passage, telles que nous les trouvons dans la quatrième partie du Discours de la Méthode. La première est celle où DESCARTES affirme l’antériorité logique de l’idée de parfait par rapport à l’idée d’imparfait. L’être imparfait ne se comprend que par référence à l'être parfait dont l'existence est ainsi enveloppée dans la sienne propre : « En suite de quoi, nous dit-il, faisant réflexion sur ce que je doutais et que par conséquent mon être n’était pas tout parfait, car je voyais clairement que c'était une plus grande perfection de connaître que de douter, je m'’avisai de chercher d’où j'avais appris à penser à quelque chose de plus parfait que je n'étais ; et je connus nécessairement que ce devait être de quelque nature qui fût en effet plus parfaite (1). » M. GILSON rapproche de ce texte un passage de l’entretien avec BURMAN où se trouve énoncée cette règle : « omnis autem defectus et negatio præsupponit eam rem a qua deficit et quam negat (2).»Non seulement l’imper-

(1) Edition Ad. Tannery, t. VI, p. 33.

(2) Ed. Ad. Tann., t. V, p. 153. Cité et commenté par E. GiLsoN, Discours de la Méthode. Texte et Commentaire, p. 315.

ho

fection présuppose la perfection mais, et c’est l’autre point sur lequel nous voulons insister, l’imperfection n'étant qu'une privation, il est possible, par la seule considération de l'être imparfait, de déterminer les attributs de l’être parfait. C'est ce que montre le texte du Discours : « Car suivant les raisonnements que je viens de faire, pour connaître la nature de Dieu autant que la mienne en était capable, je n’avais qu’à considérer de toutes les choses dont je trouvais en moi quelque idée si c'était perfection ou non de les posséder et j'étais assuré qu'aucune de celles qui marquaient quelque imperfection n’était en lui, mais que toutes les autres y étaient (1). » La distance qui sépare la perfection de l’imperfection est donc inscrite dans la nature même de l'être imparfait ; l'esprit s’éiève à l’absolu en un mouvement dont les démarches sont commandées par le but que l’on aperçoit dès le point de départ. La structure de l’être imparfait prend alors son véritable sens.: sa complication ou son obscurité ne sont que des écarts par rapport à la simplicité transparente de la vision finale ; la montée vers la perfection semble parcourir en sens inverse les étapes d’une dégradation antérieure.

Il est possible de retrouver dans certaines théories de l’algèbre moderne de pareilles relations entre la perfection et l’imperfection ; nous étudierons dans ce chapitre la nécessité de cette référence à un absolu qui se laisse apercevoir dans la nature imparfaite de certains êtres mathématiques, et cette montée vers lui en une série d’étapes dont chacune efface quelque impureté, jusqu’à la dernière où tout défaut est comme racheté. C’est là un mode de pensée bien différent de ceux qui se présentent dans l’arithmétique ordinaire ; l’arithmétique est en effet le domaine de la récurrence à l'infini, tandis que ce qui est caractéristique du mouvement des théories que nous allons considérer, c’est

(x) Ed. Ad, Tann,, t. VI, p. 35.

oies

l'existence d’un but conçu à l’avance comme terme de la montée. Dans la théorie du corps de classes, ce but c’est le corps de classes absolu, dans la théorie de l’uniformisation des fonctions algébriques ou analytiques sur une surface de RIEMANN, c’est la suriace universelle de recouvrement. L'armature logique de l’une et l’autre de ces deux théories leur vient de la théorie des équations algébriques de GaA- LOTS, aussi quoique plusieurs auteurs (1) en aient déjà exposé l'importance philosophique, croyons-nous devoir montrer à nouveau comment elle contient l’outil mathématique essentiel du passage à l’absolu.

La théorie de Galoiïs (2).

Soit un corps de nombres k, c’est-à-dire un ensemble de nombres quelconques, satisfaisant aux axiomes de l’addition, de la multiplication et de la division, et soit f (x) un polynôme en x, de degré n et à coefficients dans k. Ce polynôme est irréductible dans À si k ne contient aucune de ses racines «4. «,. Ainsi par exemple le polynôme x? — 2 est irréductible dans le corps des nombres rationnels puisque ses deux racines + ÿ2 et -- (2 n’y sont pas contenues.

Soit Æ le corps obtenu en ajoutant à k l’une des racines « du polynôme. Cette extension K de k s'écrit A(«,). Si les # corps conjugués À (4)... À («,) coïncident, le corps unique K ainsi défini contient toutes les racines du polynôme f(x) et est dit galoisien par rapport à À. Le degré de l'extension K sur k est égal au degré # du polynôme irréductible / (x). Le groupe de Galois G du polynôme f (x) est rormé des transformations internes (ou automorphies) du corps K qui lais-

(x) Cf. en particulier : Maximilien WinTER, La Méthode dans la philosophie des Mathématiques, p. 146-185.

Car

(2) Cf. vAN DER WAERDEN, Moderne Algebra, t. I. Berlin, Springer, 1930.

RPC

sent fixes les éléments de À (tous contenus dans K) et permutent entre elles les racines «; du polynôme proposé. Comme à une racine «; peuvent correspondre # racines conjuguées ... «,, le groupe contient # substitutions ; l’ordre de ce groupe est ainsi égal au degré du sur-corps K.

Ces définitions vont nous permettre de comprendre ce que l’on pourrait appeler «l’imperfection » (1) du corps de base par rapport à un polynôme donné. Cette imperfection réside en ce qu’il est besoin d’une extension de degré # pour passer du corps À au corps K qui contient toutes les racines du polynôme en question et elle est mesurée par l’ordre du groupe de GALOIS attaché à l'équation. Nous allons voir comment en « montant » de À à K, on peut considérer des corps intermédiaires À! tels que k € k' € K.et dont « l’imperfection » diminue à mesure que l’on s'approche de X. Soit en effet k' un pareil sur-corps, tel que K ne soit plus que de degré m par rapport à k' (m < n). Le théorème de GALOIS associe de façon univoque à ce corps intermédiaire un sous groupe g’ du groupe G, défini de la façon suivante : g' laisse invariants tous les éléments de X qui sont dans £' et ne permute entre eux que ceux qui restent à intégrer. De plus, l’ordre de ce sous-groupe est égal au degré = de l’extension qui doit encore faire passer de k’ à K et mesure bien ainsi ce qui demeure d’imperfection en k’. La « montée» de À à k' est donc accompagnée d’une « descente » dans l’ordre des groupes attachés à ces corps, et au corps final K, en lequel toute imperfection a disparu, puisqu'il contient toutes les racines de f (x), correspond le plus petit sousgroupe de G, le groupe unité / qui ne contient que la transformation identique.

L'intérêt du schéma logique de la théorie de GALOIS est considérable. On rencontre bien en algèbre un certain

(1) Il va sans dire que nous employons ici l'expression d’imperfection sans référence aucune au sens algébrique de l'expression de « corps parfait ».

ALBERT LAUTMAN LS

UPS

nombre d’autres théorèmes qui affirment, pour un domaine de base imparfait à un certain point de vue, l'existence d’une extension où cette imperfection ait disparu. Ainsi par exemple il existe pour tout corps de nombres, une extension Q qui est « algébriquement fermée » c’est-à-dire telle que tout polynôme en x à coefficients dans Q, soit completement décomposable en facteurs du 1°r degré à coefficients dans Q ;: mais le théorème d’achèvement de la théorie de GALOIS est infiniment plus riche. Il associe à chaque étape de la montée de = à K un nombre qui mesure cequi subsiste d'écart entre l’étape en question et l’étape finale. La prévision du but est encore plus précise lorsque l’équation f (x) = o est résoluble par radicaux, c’est-à-dire lorsque le corps À qui contient toutes les racines de l’équation proposée peut être construit par adjonctions successives de gran-

deurs ya, a appartenant chaque fois au corps déjà obtenu. On peut dans ce cas ordonner de À à K une série croissante de corps À ck' ch"... € K à laquelle correspond terme à terme une série descendante de groupes G 3 2’... = 7 telle que cette série ne puisse être allongée par l’adjonction d’aucun élément intercalaire. Les données initiales impliquent alors non seulement l'existence du but et l’écart qui le sépare du corps de base, mais aussi le nombre exact des étapes à accomplir pour arriver à lui. Nous retrouvons bien là les deux moments essentiels du passage à l’absolu dans la méditation cartésienne : Tout d’abord la vision de l’être parfait dont l’existence est impliquée par celle de l’être imparfait, et d’autre part la conscience que la nature desdémarches à effectuer pour accéder à l'absolu est, dans une certaine mesure, donnée avec l'être imparfait proposé, dont la structure appelle ainsi un modèle achevé où ses défauts s’effacent.

C’est en nous plaçant à ce point de vue cartésien ou galoisien que nous allons examiner maintenant la théorie du corps de classes.

La théorie du corps de classes (1).

La théorie du corps de classes issue tout entière du génie d'HILBERT est une théorie d’aigèbre extrêmement abstraite et qui fait appel à un grand nombre de notions difficiles à saisir, mais elle s'impose à nous comme un des exemples les plus nets de la mathématique nouvelle où les édifices successifs tendent vers un but que leur mouvement prévoit. Elle présente à nouveau le cas d’une montée de COrpsS en sur-corps jusqu’à un être maximal : le corps de classes absolu qui jouit par rapport à un corps de base initial de la plus grande simplicité dont une extension soit possible. Sa richesse philosophique ne s’épuise du reste pas dans cette montée vers l’absolu, car nous retrouvons en elle cette solidarité de structure entre les éléments d’un tout et le tout auquel ils appartiennent que nous avons décrite au Chapitre I. Les deux problèmes sont même si étroitement liés qu’il est impossible d’exposer séparément l'apport de l’un ou de l’autre.

Les « éléments » d’un « tout » ce sont ici les « idéaux » (2)

(x) Cf. pour cette théorie C. CHEVALLEY, La théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux. Thèse de la Faculté des Sciences de Paris et J. HERBRAND, Le développement moderne de la théorie des corps algébriques. Mémorial des Sciences mathématiques, fascicule 75.

(2) Voici les définitions des notions utilisées dans ce paragraphe :

Etant donné un corps de nombres algébriques k, on appelle idéal de ce corps tout ensemble de nombres du corps tel que :

a) Si « fait partie de cet ensemble, il en est de même de A4, quel que soit l’entier « ;

b) Si B est un autre élément de cet ensemble, &« + $ en fait aussi partie ;

c) Il y a un entier y. tel que pour tout « de cet ensemble, pa soit entier.

Etant donné un ensemble quelconque de nombres du corps, &, &,..., l’ensemble des À, & + À, a, +... les À étant des entiers arbitraires du corps, forme un idéal, l'idéal (a, &s...).

L'idéal («) engendré par un seul nombre a-£o est dit principal.On peut définir un produit de deux idéaux, et on appelle idéal premier un idéal entier a qui ne peut être mis sous la forme b e,où b et e sont entiers et différents de (1) (HERBRAND, op. cit., chap. 1, $ V).