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d’un corps de nombres algébriques; ils restent des «idéaux » dans les extensions successives de ce corps, mais leur structure interne varie avec l'extension que l’on considère et exprime à chaque fois une caractéristique globale du corps où ils sont plongés. Si l’un de ces corps peut alors être conçu comme le terme ultime d’une ascension, c’est qu’en lui enfin tous les idéaux du corps de base trouvent la structure interne la plus uniforme et la plus simple. Plus précisément, étant donné un idéal premier d’un corps de base k, cet idéal ne reste pas premier dans une extension X de À. Peut-on, connaissant le degré de l’extension de X par rapport à k, prévoir le mode de décomposition des idéaux premiers le Æ dans K ? Inversement, connaissant les lois de décomposition des idéaux dans un sur-corps, peut-on caractériser la nature de l’extension envisagée ? Ce sont là deux problèmes réciproques de solidarité entre un tout et ses parties, problèmes comparables aux problèmes de métrisation et de prolongement envisagés p. 31, mais il s’y ajoute un élément nouveau, celui de la montée vers un corps maximal qui rapproche ce problème de la théorie de GALors.

HILBERT avait énoncé en 1808, sans démonstration, les principaux théorèmes de la théorie du corps de classes, dans le cas de sur-corps particuliers (sur-corps abéliens non ramifiés). Ces résultats ont été démontrés et étendus à des catégories beaucoup plus générales de sur-corps par FURTWAN- GLER en 1907 et TAKAGI en 1920. Nous nous bornerons ici aux cas simples envisagés par HILBERT et voudrions brièvement mettre en lumière la liaison établie entre l’ensemble des sur-corps, qui contiennent le corps À et l’ensemble des groupes d’idéaux qui sont contenus dans ce corps.

La définition des groupes d’idéaux d’un corps À peut se faire de la iaçon suivante : Soit À le groupe de tous les idéaux du corps k et soit S le groupe des idéaux principaux du corps, qui est évidemment un sous-groupe du groupe À. On envisage comme groupes d’idéaux tous les sous-

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groupes À de À qui contiennent le groupe S des idéaux principaux. Ces sous-groupes sont ainsi disposés entre un groupe maximal À et un groupe minimal S et ils déterminent chacun une division en classes des idéaux de À : deux idéaux étant dans la même classe par rapport à Æ lorsque leur quotient se trouve contenu dans le sous-groupe A considéré.

La notion de « groupes d’idéaux » étant ainsi précisée, HILBERT appelle «corps de classes» pour le groupe d’idéaux A du corps k, un certain sur-corps algébrique X tel que seuls les idéaux premiers de À appartenant à H se décomposent dans Æ suivant une certaine loi simple qu’il indique (x) ; les autres idéaux se décomposant suivant une loi plus compliquée. FURTWANGLER et TAKAGI ont alors démontré les deux théorèmes réciproques qui permettent d’établir une correspondance biunivoque entre les groupes d’idéaux dans k et les extensions swr À : Pour tout groupe d’idéaux Æ situé dans k, il existe une extension X de = qui est corps de classes pour Æ et inversement : Tout corps K qui est relativement abélien sur À est corps de classes pour un certain groupe d’idéaux Æ situés dans À. Le degré de l'extension K sur À est égal à l’ordre du groupe A/H des classes d’idéaux déterminé par la division en classes que le

(1) Ce qui nous intéresse ici ce n’est pas tant la nature mathématique de cette décomposition que le fait de savoir qu’elle est plus simple pour les idéaux premiers du groupe d’idéaux À que pour les idéaux qui n’appartiennent pas à H. En fait, voici cette loi : Etant donné un idéal A de K, soit a l’ensemble des nombres de A qui sont dans le corps de base k. Considérons les conjugués de A dans les corps galoisiens conjugués de Æ. Le produit de tous ces conjugués est appelé la norme de l'idéal A et si A est premier dans K on démontre que Norme À = à, f est dit alors le degré relatif de A par rapport à k. Dans ces conditions, seuls les idéaux premiers de À appartenant à 4 se décomposent dans À en un produit d’idéaux premiers différents, de degré relatif 1. Si, par contre, p est un idéal premier de » n’appartenant pas à AH, et si pfest la plus petite puissance de p située dans A, p se décompose dans X en un produit d’idéaux premiers de degré relatif f par rapport à À.

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sous-groupe H opère dans le groupe À de tous les idéaux du corps k. De plus, cette correspondance biunivoque de corps et de groupes établit comme la théorie de GALOIS, une liaison entre la montée dans les sur-corps et la descente dans les groupes : On démontre en effet que la relation K' = K'' entraîne la relation inverse H' € H'"' pour les groupes d’idéaux H' et H'' correspondant à deux corps de classes X' et K'' distincts.

Ces résultats établissent donc tout d’abord une solidarité étroite entre les lois de décomposition dans K des idéaux premiers de k et les caractéristiques globales de l'extension X, mais ils nous donnent également un résultat plus riche : ils nous laissent pressentir l’existence d’un corps de classes absolu qui contient tous les corps de classes pour tous les groupes H d’idéaux de k, et qui n’est contenu dans aucun. Puisqu’il y a en effet un groupe minimal dans la série des sous-groupes, le groupe S des idéaux principaux, et qu’à une hiérarchie descendante entre des groupes correspond une hiérarchie ascendante entre les corps correspondants, il y a un corps de classes maximal, celui qui correspond au groupe des idéaux principaux. Il se trouve alors que ce corps de classes maximal est tel que tous les idéaux de À y subissent une même modification de structure : ils deviennent tous idéaux principaux. Au fait d’être le dernier, le corps de classes maximal joint donc le fait d’être le plus simple : la montée s'achève à un stade où certaines des différences les plus importantes entre les idéaux du corps de base ont disparu et l’existence de ce stade était impliquée dès la jonction établie entre les groupes d’idéaux et les corps de classes. De la théorie tout ertière se dégage le même mouvement cartésien que de la théorie de GALOIS.

ss FAURE

La surface universelle de recouvrement.

La théorie que nous allons exposer maintenant a pour nous une importance philosophique beaucoup plus grande que les théories précédentes, car la montée vers l’absolu y a pour conséquence, non seulement de conférer à un être mathématique la plus grande simplicité de structure interne possible, mais de le rendre à même de donner naissance sur lui à d’autres êtres que lui. Toute la seconde partie de cet ouvrage sera consacrée en effet à l’étude de la procession des êtres mathématiques les uns à partir des autres et, comme nous le verrons, ce mouvement n’est possible que si la structure de l’être dont procèdent d’autres êtres a été amenée au préalable à un certain état de perfection. En tant que nous aurons montré comment l’existence d’une variété universelle de recouvrement est impliquée par la structure d’une variété quelconque, la montée vers cette surface maximale est encore un problème relatif à l’achèvement d’une structure interne, à l’élimination des enchevêtrements qu'elle pouvait primitivement présenter, mais en tant que la variété universelle de recouvrement donne immédiatement naissance sur elle à certaines fonctions dont l’existence était impossible sur toutes les surfaces recouvertes par cette variété universelle, le passage à l’absolu confère à la surface un pouvoir de production qu’elle ne possédait pas aux stades antérieurs ; la structure de l'être parfait s’est épanouie en surprenante richesse.

Pour étudier le recouvrement, on peut prendre comme objet d’étude soit le complexe à # dimensions de la topologie combinatoire, tel que nous l’avons défini p. 53, soit la variété à n dimensions de la topologie « ensembliste », définie par les axiomes du voisinage que M. THRELFALL présente de la façon suivante : 1° À tout point P d’un ensemble est