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associé un voisinage de points de l’ensemble tel que tout sous-ensemble contenant ce voisinage soit également un voisinage de P ; 29 À chaque voisinage V est associé une correspondance biunivoque entre les points de V et les points d’une hyperspbère de l’espace euclidien à # dimensions ; 3° La variété est d’un seul tenant (2 points peuvent toujours y être réunis par un chemin continu). Nous nous bornerons dans la suite aux variétés à deux dimensions, c’est-àdire aux surfaces (1). Ce que nous considérerons pour une surface donnée comme une imperfection inhérente à sa structure est le fait que cette surface peut ne pas être simplement connexe. Une surface est dite simplement connexe si toute courbe fermée sur cette surface est réductible à un point par déformation continue. Le plan euclidien est simplement connexe, mais la surface du tore ne l’est pas. En rangeant en effet dans la même classe toutes les courbes fermées réductibles l’une à l’autre par déformation continue, on découvre sur la surface du tore au moins deux

F1G. 6 (d’après la figure 4 de la Topologie de SEIFERT et THRELFALL).

classes de courbes fermées qui ne sont pas réductibles à un point : celles qui entourent le « trou » central et celles qui font le tour de la surface comme le cercle AOB (fig. 6).

* (x) Voir pour ce chapitre : SEIFERT et THRELFALL, Topologie, chap. 7 et 8 ; H. WEvz, Die Idee der Riemannschen Fläche ; H. THRELFALL, La notion de recouvrement. Enseignement mathématique, année 1935.

L'ensemble des classes de courbes fermées issues d’un point quelconque O d’une surface forme un groupe : le groupe fondamental de la surface, défini par PoINCARÉ et dont la structure mesure ainsi en quelque sorte la multiplicité de la connexion interne de la surface.

Nous allons voir maintenant comment il est possible de définir sur une surface multiplement connexe F, toute une série de variétés dont chacune « recouvre » la surface F. Ces variétés s’étagent entre F et une variété universelle de recouvrement qui recouvre toutes les précédentes sans être recouverte par aucune et sur laquelle la multiplicité de connexion de la surface de base s’est complètement effacée.

Onditqu’unesurface F recouvre une surface donnée F si(r) 10 à tout point de F correspond au moins un point de F qui le recouvre ; 29 s’il existe, pour chacun des points P,, Pet D. qui 0 dans F un point P de F des voisinages V(P), V(P:), V(P,) qui peuvent être représentés topologiquement sur le voisinage V(P) de P dans F ; 32 iQ étant un point du voisinage V(P) d’un point de P sur F, et Q un point recouvrant Q dans F, Q appartient à l’un des voisinages V(P), V)P;), V(P,) qui recouvrent V(P) dans F. Il existe en général plusieurs surfaces de recouvrement d’une même surface. Elles sont susceptibles de se recouvrir éventuellement les unes les autres et chacune possède comme la surface de base un groupe fondamental qui exprime son degré de connexion. Le théorème essentiel de la théorie établit alors une isomorphie entre les groupes fondamentaux des différentes surfaces de recouvrement d’une surface donnée F et les sous-groupes du groupe fondamental de F. L'ensemble de ces surfaces de recouvrement est ainsi en correspondance biunivoque avec l'ensemble des sousgroupes du groupe fondamental. En considérant alors le plus

(x) D’après l’article de M. THRELFALL dans l'Enseignement mathématique Cité D, 72.