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petit sous-groupe du groupe fondamental, c’est-à-dire le groupe unité qui correspond à la classe de chemins réductibles à un point par déformation continue, on obtient le double résultat escompté ; il existe une surface maximale ou universelle de recouvrement qui recouvre toutes les autres surfaces de recouvrement, et cette surface possède un caractère de simplicité absolue puisque son groupe fondamental étant le groupe unité, tout chemin fermé sur elle est réductible à un point. Cette surface universelle est donc, seule de toutes les surfaces qui recouvrent la surface initiale, simplement connexe. On peut la caractériser de la façon suivante : À un point donné P de la surface initiale F, correspondent autant de points conjugués P,, P,... sur la surface de recouvrement F qu’il existe sur F de contours fermés issus de P, non réductibles les uns aux autres. En somme chaque point de la surface multiplement connexe n'était unique qu’en apparence, il possédait une complexité cachée, qui se traduisait par le degré de connexion de la surface et en dissociant tous les points confondus pour les éparpiller séparément sur la surface de recouvrement, on restitue à la surface la simplicité idéale des surfaces parfaites. Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment en restituant à la surface sa simplicité on lui restitue en même temps sa fécondité.

L’uniformisation des fonctions algébriques sur une surface de Reimann.

Le problème de l’uniformisation des fonctions analytiques (nous ne nous occuperons que des fonctions analytiques algébriques) (x) est en lui-même un problème dont la signi-

(1) Une fonction algébrique € — f(x) est une fonction qui satisfait à une équation algébrique du type : go(z)tr + g,(z)@n-1 + gs (z) = o.

RRQ AU

fication logique est comparable à celles des problèmes précédents : Il s’agit encore d’éliminer les imperfections de certains êtres mathématiques par passage de ce qu’ils sont primitivement à un idéal de simplicité absolue dont l’existence est impliquée dans les enchevêtrements même de leur Structure. Une fonction algébrique & — f(2) est dite multiforme autour d’un point de ramification algébrique d’ordre m, Si lorsque la variable tourne autour de ce point, la fonction peut prendre successivement # valeurs différentes avant de retrouver la première de ces valeurs. On dit alors que » branches de la fonction viennent aboutir en ce point. Une fonction uniforme au contraire ne peut prendre qu’une valeur en un point. Le problème de l’uniformisation consiste alors à trouver un paramètre complexe f tel que & et zse laissent exprimer comme fonctions uniformes € — ({) et z = y({) de la nouvelle variable {. Le passage de l’ancienne à la nouvelle variable a donc pour conséquence de faire disparaître les points de ramification de la fonction algébrique, et nous allons montrer, en exposant la théorie des surfaces de RIEMANN des fonctions algébriques, comment les possibilités de résolution du problème de l’uniformisation sont liées au fait que ces surfaces de RIEMANN contiennent en elles les éléments de la construction d’une surface universelle de recouvrement.

Si l’on prend comme domaine d’existence de la fonction t — (2), le plan complexe z lui-même, nous avons dit que la fonction pouvait alors se ramifier en plusieurs branches autour de certains points : ainsi la fonction elliptique t= VA + ÀA2#% + A2 + A:z + À,se divise autour de chacune des 4 racines supposées distinctes du polynôme sous le radical, en 2 branches distinctes. Au lieu d'admettre ainsi que des branches distinctes de & aboutissent en un même point du plan complexe, RIEMANN imagine une surface composée de feuillets différents du plan complexe, soudés en croix le long des coupures unissant deux à deux

les points de ramification. (Dans le cas de la fonction elliptique que nous venons de considérer, la surface de RIEMANN est composée de deux feuillets soudés en croix le long de 2 coupures unissant deux à deux les 4 points de ramification). On obtient ainsi, d’une façon générale, la surface de RIEMANN de la fonction algébrique considérée. Cette surface est du point de vue de sa structure infiniment plus compliquée que le plan complexe primitif ; les coupures dont elle est entaillée, la soudure en croix des bords de chaque coupure font qu’elle n’est pas simplement connexe ; il est possible en effet de tracer sur cette surface des courbes fermées, appelées rétrosections, dont aucune ne divise la surface en deux régions telles que pour passer de l’une à l’autre, il faille rencontrer la courbe, et qui sont irréductibles à un point par déformation continue. Ces complications topologiques des surfaces de RIEMANN sont compensées par le fait que le comportement de la fonction algébrique sur cette surface est beaucoup plus voisin de l’uniformisation que sur le plan complexe. S'il n'existe pas encore de fonction uniformisante globale, il existe déjà en chaque point de cette surface une « uniformisante locale ».

Soit par exemple la fonction t — \/z. La surface de RIE- MANN de cette fonction possède au point complexe z = 0,m feuillets superposés raccordés de façon à établir une permutation circulaire des # valeurs de la fonction à l’origine. Si nous posons #” — z,on at — é,1il y a correspondance ponctuelle biunivoque entre les # feuillets de la surface soudés ensemble au point z — o et " portions séparées du plan complexe simple de la variable {, au voisinage du point t — 0. La variable / uniformise ainsi la fonction &, au voisinage de l’origine. On peut même définir la surface de RIE- MANN comme le fait M. HERMANN WEYL dans son livre : Die Idee der Riemannschen Fläche, sans procéder à cette superposition compliquée de feuillets et en ne faisant appel

qu'à l'existence, au voisinage de chaque point Ds, d’une uniformisante locale {(p), telle que si {(p) est une fonction analytique régulière ou ramifiée au voisinage de p,, on puisse représenter /(p) sous forme d’une série de puissances en {(p) :

La surface de RIEMANN ainsi constituée (1) par une juxtaposition de voisinages où sont définies des uniformisantes locales, paraît à M. WEYL comparable à ces multiplicités à n dimensions de la géométrie différentielle riemannienne, définies par la valeur de leur ds? au voisinage infinitésimal de chaque point. Cette comparaison n’est possible que grâce à la définition nouvelle de la surface de RIEMANN proposée par M. WEYL, qui reconnaît (2) du reste lui-même, que rien dans les écrits de RIEMANN ne laisse supposer que RIEMANN ait établi de rapprochement entre les espaces qu’il introduisait en géométrie et les surfaces qu’il introduisait en analyse. On peut même voir à bon droit une différence essentielle entre les espaces de RIEMANN et les surfaces de RIE- MANN. Les espaces définis par leur ds? sont explorés de façon purement locale, et nous avons indiqué de quelle richesse de connexions leurs éléments restaient susceptibles. La caractéristique principale de la surface de RIEMANN d’une fonction algébrique est, au contraire, de posséder cette structure topologique globale que lui confèrent les coupures et les rétrosections dont nous parlons plus haut et dont la considération est essentielle pour le problème de l’uniformisation. Il est possible du reste de se représenter de façon intuitive cette structure de la surface de RIEMANN d’unefonction algébrique. On démontre en effet qu'une pareille surface peut toujours, par déformation continue, prendre la forme de la surface à deux côtés d’un disque percé de trous. Si le disque

(x) H. Weyz, Die Idee der Riemannschen Fläche, p. 36. (2) H. WEYL, op. cit., p. 36.

OO

comporte p trous, il'y a 2p rétrosections indépendantes possibles, c’est-à-dire 2p courbes fermées, irréductibles l’une à l’autre par déformation continue et dont aucune ne divise la surface en deux régions distinctes. Considérons par exemple le cas où p — 2. A chacun des deux trous correspond un couple de rétrosections Q et Q' pour le premier, R et R' pour le second. Il est facile de voir que la surface (lorsqu’on n’en découpe pasles rétrosections),n’est pas simplement connexe et possède en chaque point un groupe fondamental au sens défini page 73. Joignons en effet un