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point quelconque P au point commun de 2 rétrosections conjuguées. On obtient déjà quatre classes de chemins fermés issus d’un même point et irréductibles les uns aux autres. Ces classes engendrent le groupe fondamental de la surface. Il ne nous reste plus qu’à montrer que l’on possède ainsi tous les éléments nécessaires à la démonstration de l'existence sur cette surface de RIEMANN d’une uniformisante globale.

Nous allons aborder pour cela les considérations que nous avons annoncées au début de ce paragraphe. Il existe une liaison étroite entre le fait pour une surface d’être simplement connexe et le fait de donner naïssance sur elle à une

fonction qui assure la représentation conforme (r) de cette surface soit sur la totalité de la sphère complexe, soit sur cette sphère à laquelle on enlève un point, soit sur le cercle unité du plan complexe. C’est là un théorème d’une importance mathématique considérable, tant par la difficulté des moyens que RIEMANN, POINCARÉ, HILBERT, K@BE et bien d’autres durent mettre en œuvre pour le démontrer que par l’immensité des horizons nouveaux qu'il a permis de découvrir. Soient p, un point quelconque de la surface simplement connexe, £, le point correspondant du plan complexe, la fonction qui assure la représentation conforme de la surface sur le plan a la valeur #, pour la valeur p, de sa variable et il existe une fonction inverse qui prenant la valeur p, sur la surface pour la valeur #, de sa variable assure ainsi la représentation réciproque du plan sur la surface simplement connexe. Le problème de l’uniformisation est donc résolu pour une surface simplement connexe. Le théorème de la représentation conforme fournit en effet cette fonction t(p) dont l'inverse p({) est une fonction uniforme sur le plan complexe £. De plus, toute fonction f(p) sur la surface simplement connexe est également fonction uniforme de é. La nouvelle variable est donc bien une uniformisante globale au sens défini p. 75.

Lorsque la surface de RIEMANN de la fonction algébrique considérée n’est pas simplement connexe, l’idée géniale de PoIncaRÉ et de K&ŒBE a été de considérer la surface universelle de recouvrement de cette surface. Comme cette surface est, elle, simplement connexe, le théorème de la représentation conforme lui est applicable et elle donne naissance à une uniformisante globale de la fonction /(p)

(1) Rappelons qu’une correspondance conforme entre deux domaines est une représentation bicontinue et biunivoque des deux domaines l’un sur l’autre et qui est telle que toute fonction analytique et régulière en un point d’un domaine soit transformée en une fonction analytique et régulière au point correspondant.

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attachée à la surface de RIEMANN primitive ; ce qui résout complètement le problème.

Nous arrivons donc au terme de cette étude sur l’uniformisation des fonctions algébriques à un double résultat : la surface universelle de recouvrement se présente tout d’abord avec un caractère de perfection par rapport à la surface de RIEMANN primitive parce que la montée vers elle a fait disparaître les ramifications de la fonction algébrique considérée, mais ce n’est là encore qu’une perfection interne qui résulte de ce qu’une structure plus simple se laissait voir dans le dessin de la structure primitive ; une autre perfection se manifeste qui n’est plus seulement d’achèvement intérieur, mais de puissance créatrice, c’est ce privilège qu'ont certains domaines de faire naître sur eux un monde nouveau de fonctions et d’intégrales dont nous nous occuperons dans la seconde partie de cet ouvrage.

Les études que nous venons de poursuivre au cours de ces trois chapitres nous montrent ainsi la variété des liaisons logiques qui se manifestent au sein des mathématiques. La solidarité du tout et de ses parties, la réduction des propriétés de relation en propriétés intrinsèques, le passage de l’imperfection à l'absolu, voilà autant d’essais d’organisation structurale qui confèrent aux êtres mathématiques un mouvement vers l’achèvement par quoi on peut dire qu’ils existent. Mais cette existence ne se manifeste pas seulement en ce que la structure de ces êtres imite les structures idéales auxquelles ils se laissent comparer; il se trouve que l’achèvement d’un être soit en même temps genèse d’autres êtres, et ce sont là des relations logiques entre l’essence et l’existence où s'inscrit le schéma de créations nouvelles.