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alors le suivant : le nombre des intégrales de première espèce linéairement indépendantes est égal au genre topologique de la surface. I1 y a là une liaison d’une importance extraordinaire entre la structure topologique de la surface et l’existence des intégrales abéliennes partout finies sur cette surface ; aussi les mathématiciens ne peuvent-ils s'empêcher d'employer les termes les plus admiratifs pour décrire ce double rôle du genre. Voici par exemple ce qu’écrit M. H. WEYL : «On ne peut se refuser à reconnaître l'importance du nombre p en théorie des fonctions, et pourtant ce nombre est quant à sa nature et à ses origines une grandeur d’Analysis situs. Les grandes lignes de la théorie des fonctions. sont toutes inspirées par cette législatrice divine (gôttliche Gesetzgeberin) qui plane invisible au-dessus de la réalité fonctionnelle : l’Analysis situs (1). » Nous voudrions entrer dans le détail de cette genèse de l’intégrale à partir du domaine et montrer le moment où insensiblement s’opère 1e passage de la structure de la surface à l’existence des intégrales partout finies. On démontre que si l’on prend deux points quelconques a et b sur la surface, et si l’on découpe la surface de a à b,1l existe une fonction potentielle (2) #,, ;, qui admette les deux points a et à comme singularités logarithmiques, subisse en franchissant la coupure qui va de a à b une discontinuité déterminée et soit continue, finie et uniforme partout ailleurs sur la surface. Il est facile en partant de là, de définir une fonction potentielle qui n’ait aucune singularité logarithmique (ni aucun pôle) : il n y a qu’à appliquer le théorème d’existence précédent au cas d’une suc-

(1) H. Wevyx, Die Idee der Riemannschen Fläche, p. 134.

(2) Rappelons qu'une fonction potentielle de deux variables obéit à l’é- 2 2. à quation es + sa dx? dy?

montre que les fonctions (x, y) et v(x,y) qui figurent ainsi dans l'expression d’une fonction analytique, quand on sépare la partie réelle et la partie imagiaaire, sont des fonctions potentielles.

— 0. Soit une fonction analytique € — w + iv. On dé-

*+oree

cession de points z', 2, 2"—1 z', tels que le dernier coïncide avec le premier, et qui soient situés sur une des 2p courbes fermées qui ne divisent pas la surface en régions séparées (une rétrosection de la surface). On obtient ainsi des fonc- ÜONS Wu, … … Wn—:,1 qui, en vertu d’un théorème d’'addition, donnent naissance à la fonction potentielle

u(2) = Ua À... Un x er.

Cette fonction potentielle admet comme ligne de discontinuité la coupure fermée tout entière 2! 2! + ...... SE Elle ne possède donc plus de singularités logarithmiques puisque les singularités des fonctions dont elle est la somme se trouvent toutes situées sur la courbe fermée qui est « découpée » de la surface, et elle n’est pas uniformément nulle puisque lorsque la variable z saute par dessus cette coupure, la valeur de la fonction subit un accroissement déterminé. De plus la coupure ne divisant pas la surface en deux régions, la fonction est finie, continue et uniforme sur toute cette surface. Comme il y a 29 rétrosections on peut définir ainsi 2p fonctions potentielles partout finies, et en les associant deux à deux, on obtient ainsi p intégrales abéliennes de première espèce linéairement indépendantes. On démontre ensuite qu on ne peut obtenir d’autres,ce qui achève la démonstration du double rôle du nombre p (1).

On voit dans cette théorie l'importance du « découpage canonique » de la surface : la surface brute ne laisse rien apparaître sur elle ; par contre, la structure qu’elle reçoit de ses rétrosections la rend apte à une création : le moment précis de la genèse réside dans l’acte par lequel on confère à Ja structure une double interprétation : en tant que les rétrosections rendent la surface simplement connexe, elles ont une valeur topologique, en tant qu’elles obligent à des

(1) Cf. pour cette démonstration ; HURWITZ-COURANT, Funkfonentheorie, p. 368.

ALBERT LAUTMAN 7