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quadratiques étudie les corps de classes qui peuvent être engendrés à partir du corps de base lorsqu'on adjoint à ce corps de base la racine carrée d’un élément contenu dans k. En somme À contient #, mais ne contient pas 44 et l’on cherche dans quelles conditions l’extension (Vu) peut être corps de classes pour un groupe d’idéaux contenu dans 2. Un résultat essentiel de la théorie, que nous ne pouvons qu’indiquer sans démonstration, établit un lien très précis entre le nombre des classes d’idéaux dans À et l’existence dans À d’un nombre # tel que k(Vu) soit corps de classes : il faut pour qu’un pareil nombre existe, que le nombre de classes soit pair (1). De même que dans la théorie des surfaces de RIEMANN, au nombre p était liée l’existence des intégrales abéliennes partout finies, en théorie du corps de classes, les propriétés du nombre » qui mesure les classes d'une décomposition interne du corps, se répercutent en affirmation d'existence relative à un nombre # qui engendre un corps de classes quadratique (Vu).

Nous avons comparé une théorie où l'existence naît du découpage d’une surface, à une théorie où l’existence naît de la division en classes des idéaux d’un corps, parce que les analogies de ces théories nous paraissaient mettre en lumière une même conception des rapports de l'essence et de l’existence, où l'existence d’un être émerge de la décomposition structurale d’un domaine de base. Nous avons montré comment on pouvait rattacher cette conception à la distinction métamathématique de propriétés structurales et de propriétés extensives; or,ces notions ne se sont précisées que depuis une dizaine d’années, et dès 1900, au Congrès de Paris, HILBERT établissait le rapprochement des deux théories mathématiques dont nous venons de parler ! Les

(1) Voir HizBERT, Die Theorie der algebraischen Zahlkôrper (1897), reproduit dans HILBERT, Gesamm. Abh., t. I. Le théorème en question y est démontré p. 155. Voir également HECKE, Vorlesungen über die Theorie der

algebyaischen Zahlen, Pp. 154.

mathématiciens ont toujours admiré la puissance de divination d’un génie qui pouvait énoncer en 1900,23 problèmes à résoudre dont la plupart furent ensuite résolus par lui-même ; nous allons citer un fragment de cette Conférence qui concerne le problème que nous traitons actuellement et où il nous semble qu'HILBERT ébauche la philosophie des genèses mathématiques que devait nous suggérer la logique qu il allait développer 20 ans plus tard : « L’analogie, écrit-il (x), entre le concept du genre d’une surface de RIEMANN et le nombre de classes d’un corps de nombres saute aux yeux. Considérons, pour prendre le cas le plus simple, une surface de RIE- MANN de genre x et un corps de nombres dont le nombre de classes À soit égal à 2. A la démonstration de l’existence d’une intégrale partout finie sur la surface correspond la démonstration de l'existence d’un nombre « dans le corps de nombres tel que le nombre 4/« engendre un sur-corps quadratique non ramifié sur le corps de base » (c’est-à-dire un corps de classes). Ce texte ne contient peut-être pas les termes du commentaire philosophique que nous en avons donné, il en contient à coup sûr l’esprit. Du genre de la surface ou du nombre de classes du corps à l’existence de l'intégrale ou à celle du nombre «, il ya en effet passage d’un genre de l’être à un autre genre de l'être, et la possibilité de ce passage résulte de la découverte d’une façon de structurer un domaine qui le rende apte à une création.

La théorie de la représentation des groupes.

La théorie de la représentation des groupes va nous montrer comment le rôle de domaine et celui d’êtres créés, ne dépendent pas de la nature intrinsèque des êtres mathématiques en question, mais leur sont conférés par leurs fonctions

(1) HiLBERT, Mathematische Probleme. Problème 13 dans HILBERT, Gesamm. Abh., t. III, p. 3r2.

respectives dans un processus de genèse. La notion de «représentation » a historiquement un sens plus « concret ». plus « matériel » que la notion de groupe, mais comme les représentations naissent de la structure des groupes, il sera plus conforme à notre conception d’assigner au groupe la nature de domaine, et de voir dans les représentations, des êtres abstraits créés sur ce domaine qu’on appelle l’espace du groupe. Nous verrons du reste que ce changement de perspective correspond bien à l’évolution actuelle de la notion de représentation.

La notion de groupe a son origine dans les groupes de transformations. Un groupe de transformations présuppose un espace de points E sur lesquels sont définies les opérations du groupe. Un ensemble de transformations forme un groupe si étant donné une transformation S qui fait passer du point p au point p’ et une transformation T qui fait passer du point p' au point p’’, il existe une transformation, considérée comme le produit. ST des deux premières, qui fasse passer du point p au point p'”’. Il faut de plus que le groupe contienne la transformation identique, qui fait correspondre à chaque point ce point lui-même, et enfin, que pour toute transformation il existe une transformation inverse. Cela posé, on peut négliger dans les transformations leur sens d'opérations définies sur un espace de points,et n’y voir plus que les éléments d’un ensemble abstrait au sein duquel est définie une certaine loi de composition. Ce qu’on obtient alors est un groupe abstrait dont les éléments n’ont plus aucune signification intrinsèque et peuvent être considérés comme les points d’un espace abstrait : l'espace du groupe. On peut alors inversement passer de ce groupe abstrait à un groupe de transformations en redonnant une nature de transformations aux éléments du groupe. C’est en ce sens qu’un groupe de transformation réalise un groupe abstrait. En particulier, lorsque la réalisation du groupe fait correspondre à chaque élément du groupe une transformation li-

néaire et homogène de l’espace de points primitif (voir plus haut p. 34), on a ce qu’on appelle une représentation du groupe. Une représentation est donc une correspondance entre les éléments s d’un groupe abstrait et des transformations U opérant sur les points de l’espace E,et définies par des équations du type suivant :

nn ns messes

nn ems ts seneues ses

La pensée de M. WEYL est sans aucun doute de considérer (1) que des transformations au groupe abstrait, il y a appauvrissement et qu’en sens inverse la descente du groupe abstrait aux représentations qui opèrent sur un espace de points, nourrit de matière la forme un peu vide du groupe abstrait. Les représentations du groupe jouent bien ainsi par rapport au groupe abstrait le rôle des interprétations d’un système d’axiomes en logique. Nous allons voir que malgré ce caractère concret qui leur vient de leurs origines géométriques, les représentations peuvent être considérées comme des êtres abstraits définis sur l’espace de groupe ; nous verrons ensuite comment leur existence est liée à la structure de cet espace.

Les représentations que nous allons envisager sont celles qui sont unitaires et irréductibles. Une représentation est unitaire si les transformations qui la constituent laissent invariante une forme hermitienne x % + ...... %,X%, (2) elle est de plus irréductible si elle ne laisse invariant aucun sous-espace de l’espace sur lequel elle opère. Soient alors s un élément variable du groupe et U la transformation correspondant à cet élément s dans une représentation

(1) H. WEYL, Gruppentheorie und Quantenmechanik, chap. III. (2) x: est la variable conjuguée complexe de x.

unitaire et irréductible du groupe. Cette transformation est caractérisée par un tableau de coefficients :

ns ses

ns

et nous désignerons un élément quelconque de ce tableau par w (s) pour bien montrer que les coefficients d’une transformation dépendent d’un élément s du groupe. Ils se présentent ainsi comme des fonctions d’une variable qui n’est autre que l’élément variable du groupe; ce sont donc comme des fonctions définies sur l’espace du groupe et un théorème essentiel de la théorie établit que les coefficients de toutes les représentations unitaires, irréductibles et non équivalentes (1) entre elles forment sur l’espace de groupe un système complet de fonctions de base. Ceci veut dire que toutes les fonctions définissables sur l’espace du groupe peuvent être représentées comme une combinaison linéaire des coetficients de ces représentations. S'il s’attache encore à la notion de représentation un sens géométrique, ce sens est totalement absent de la notion de fonction définie sur un espace de groupe et l’on voit que sous ce nouvel aspect de fonctions de base, les coefficients des représentations envisagées ont bien le sens d’êtres abtraits définis sur l’espace de groupe.

Il ne nous reste plus maintenant qu’à indiquer comment, dans le cas de groupes finis, ces êtres abstraits sont non seulement définis sur l’espace de groupe maïs émanent directement de sa structure. La structure d’un groupe, c’est essentiellement le nombre de ses classes. Soit 4 un élément

(1) Soient s un élément du groupe, Ufs) la transformation correspondant à s dans un certain système de coordonnées de l’espace fondamental E. Soit À la matrice d’un changement de coordonnées de cet espace. La représentation s > U(s) est transformée en une représentation équivalente s + AU(s)A"1.

fixe et s un élément quelconque d’un groupe, l'élément asa* est dit conjugué de s par rapport à 4. Deux éléments conjugués sont dits appartenir à la même classe et le groupe se décompose ainsi en classes d'éléments conjugués. Cette division en classes se laisse interpréter en termes de genèse, en ce qui concerne les représentations du groupe ; on a en effet pour les groupes finis le théorème suivant : Le nombre des représentations irréductibles et non équivalentes entre elles (1) est égal au nombre des classes du groupe (2). Le nombre de ces classes caractérise une décomposition interne du groupe ; il a également un sens créateur puisqu'il détermine le nombre des représentations dont les coefficients forment un système de base pour les fonctions de l’espace du groupe. Son rôle est donc en tout point comparable à celui du nombre p dans la théorie des surfaces de RIEMANN. Nous venons d'étudier les cas les plus nets où la structure d’un domaine est immédiatement interprétable en termes d'existence pour certaines fonctions définies sur ce domaine: ce sont les cas où cette structure est caractérisée par un nombre attaché à la décomposition du domaine de base. Les genèses mathématiques reposent ainsi sur le double sens de ce nombre, structural et créateur. Nous avons donc là un moyen de distinguer dans les relations que soutiennent entre eux deux genres d'êtres mathématiques différents, ceux qui jouent le rôle de domaine concret et ceux qui peuvent être conçus comme êtres abstraits créés sur ce domaine. Il est parfaitement possible qu’un même genre d’être joue dans un schéma de genèse le rôle d’abstrait par rapport à un concret de base et soit au contraire dans une autre genèse le concret d’un nouvel abstrait. Ainsi, par exemple, l’espace de groupe peut être à la fois conçu comme être

(1) Dans le cas de groupes finis, toute représentation est équivalente à une représentation unitaire.

(2) Cf. H. WEvL, op. cit., p. 130.

abstrait par rapport à un espace de points fondamental et comme domaine concret par rapport aux représentations du groupe. L'élément essentiel dans le passage de l’essence à l'existence, ce n'est pas tant la nature du rôle assumé par chacun des genres de l’être en présence, que l’existence même du passage entre deux genres de l'être.

Une pareille présentation des choses implique un tel renversement par rapport aux habitudes de pensée classiques, qu'il nous faut encore insister en terminant, sur le sens nouveau que recoivent ici les expressions de concret et d’abstrait. Le « groupe abstrait », au sens mathématique du terme, de même que les systèmes d’axiomes de la mathématique formalisée sont souvent conçus comme des structures purement formelles, « abstraites » au sens de la philosophie classique du concept, et indépendantes de leurs réalisations arithmétiques ou géométriques. [1 nous a semblé, avons-nous vu, que ces structures « abstraites » au sens classique étaient si profondément engagées dans la genèse de leurs réalisations, qu'il valait mieux abandonner toute référence à une ontologie dans l’usage des expressions de concret et d’abstrait pour ne plus désigner respectivement par ces termes que les structures de base et les êtres dont l'existence est déterminée par ces structures.

Cette conception des rapports du concret et de l’abstrait nous paraît particulièrement adaptée à exprimer non seulement l'engagement du concret dans la genèse de l’abstrait, mais encore les relations d'imitation qui peuvent exister entre la structure de cet abstrait et celle du concret de base. Nous n’en donnerons qu’un exemple : On peut définir pour certains systèmes de nombres (dits systèmes hypercomplexes), de même que pour leurs représentations, un mode de décomposition complète en éléments irréductibles. Un théorème essentiel de la théorie établit alors une relation étroite entre la décomposition complète de certains de

ces systèmes hypercomplexes et celle de toutes leurs représentations (1). Nous voyons bien ainsi comment dans certains cas, la genèse de l’abstrait à partir d'un concret de base, s'affirme jusqu’à réaliser une imitation de structure entre ces genres d'êtres qui naissent l’un de l’autre.

(1) Cf. vAN der WAERDEN. Moderne Algebra, t. II, p. 180.