CHAPITRE V

Les mixtes.

Ce qui caractérise les genèses que nous avons décrites au chapitre précédent, c’est que les êtres créés y procèdent directement du domaine de base, et que d’un genre de l’être à un autre genre, 1l y a ainsi passage immédiat. La structure du domaine joue bien dans ces créations un double rôle, puisqu’elle est interprétable à la fois comme une décomposition du domaine et comme une répartition de nouveaux êtres sur ce domaine ; elle n’est cependant pas un troisième genre interposé entre le domaine et les êtres créés, car elle est tout entière inhérente au domaine qui la reçoit.

Certaines genèses mathématiques ne se laissent pourtant pas décrire par des schémas de ce type. Elles obéissent à des schémas plus compliqués où le passage d’un genre à un autre genre nécessite la considération de mixtes intermédiaires entre le domaine et l’être cherché ; le rôle médiateur de ces mixtes va résulter de ce que leur structure imite encore celle du domaine auquel ils se superposent, alors que leurs éléments sont déjà du genre des êtres qui naîtront sur ce domaine. Voulant adapter l’une à l’autre des réalités radicalement hétérogènes, les mathématiques retrouvent dans leur développement propre la nécessité logique d’une médiation comparable à celle du schématisme de l’Analytique transcendantale, intermédiaire entre la catégorie et l'intuition. Le texte où KAnT définit le schématisme est pour nous à cet

égard d’une importance qui dépasse de beaucoup le problème spécial de la philosophie de l’entendement; il contient comme une théorie générale des mixtes que nous verrons s’appliquer presque parfaitement aux besoins de la philosophie mathématique. Voici ce texte : « Or, il est évident qu’il doit y avoir un troisième terme qui soit homogène, d’un côté à la catégorie et de l’autre au phénomène et qui rende possible l’application de la première au second. Cette représentation intermédiaire doit être pure (sans aucun élément empirique) et pourtant il faut qu’elle soit d’un côté intellectuel, et de l’autre sensible. Tel est le schème transcendantal... Une détermination transcendantale du temps est homogène à la catégorie (qui en constitue l’unité), en tant qu’elle est universelle et qu’elle repose sur une règle 4 priori. Mais d’un autre côté elle est homogène au phénomène, en ce sens que le temps est impliqué dans chacune des représentations empiriques de la diversité. Une application de la catégorie à des phénomènes sera donc possible au moyen de la détermination transcendantale du temps, c’est cette détermination qui, comme schème des concepts,sert à opérer la subsomption des phénomènes sous la catégorie (1). » Le moment essentiel de cette définition est celui où le schème est conçu à deux points de vue différents, comme homogène à la nature de deux réalités essentiellement distinctes et entre lesquelles il sert d’intermédiaire nécessaire pour tout passage de l’une à l’autre. Les mixtes des théories mathématiques assurent le passage d’un domaine de base à l’existence d’êtres créés sur ce domaine par l'effet d’une pareille dualité interne.

Il est possible de trouver une première ébauche de ces mixtes dans les théories dont nous avons parlé au chapitre précédent. Considérons tout d’abord la théorie des champs en logique mathématique. La propriété extensive pour une formule d’être réalisable dans un champ de k individus

(1) KANT, Critique de la raison pure. Ed. Ac. Berlin, t. ILE, p. 142.

implique, avons-nous vu page 88, que le domaine de variation des variables de la formule comprend au moins k individus et qu’il est possible de trouver un choix de valeurs des variables qui font de la formule, une formule vraie au sens ordinaire. Ces recherches s'appuient sur le fait que dans le cas de domaines finis (au sens ordinaire) toute formule logique peut être mise sous forme d’une disjonction de termes dont aucun ne contient plus de variables. Si l’un de ces termes est vrai, et ceci est déterminable en un nombre fini d'étapes, la disjonction est une identité et la formule primitive est alors réalisable. Ainsi, par exemple, dans un champ ne contenant que les deux variables 1 et 2, l’expression (Ex) P(x, x) est équivalente à P(x,1) V P(2,2). La simple inspection des deux expressions arithmétiques P(x,r) et P(2,2) permet de voir si l’une ou l’autre de ces expressions est vraie et par là-même résout le problème de savoir si la formule est réalisable. Nous avons déjà signalé que lorsque les variables peuvent prendre une infinité de valeurs, il devient impossible de former la disjonction qui résulte de toutes les substitutions possibles ; on ne peut donc découvrir par un processus fini la substitution qui réalise la proposition donnée et c’est à cette impossibilité qu’est due, comme nous l’avons montré, le passage du point de vue extensif de la réalisation au point de vue structural de l’irréfutabilité. Le point de vue extensif reparaît cependant dans les recherches d'HERBRAND, mais sous la forme de champs métamathématiques, intermédiaires entre les signes des formules et les champs mathématiques de leurs valeurs effectives.

L’intention d’'HERBRAND est de ramener toute proposition arithmétique, et ceci quelle que soit l'étendue du domaine de définition des variables, à une disjonction finie de termes, ne contenant plus de variables et dont l'examen permet ainsi, comme dans le cas de champs mathématiques finis, de décider si cette disjonction est une identité logique. II lui a donc fallu trouver une manière de définir, pour une variable

susceptible de prendre une infinité de valeurs mathématiques, un nombre fini de valeurs métamathématiques, qui symbolisent ainsi l'existence de cette infinité si difficile à manier. Soit par exemple la variable y intervenant sous la forme «particulière »: (Ey), (il existe un y tel que ...) ; cet v peut être égal à l’un quelconque des termes d’un ensemble infini ; HERBRAND (1) n’envisage cependant comme domaine de valeurs de cette variable qu’un champ C; composé d’une seule valeur 4. Soit maintenant la variable z intervenant sous la forme « générale » : (2) (pour toute valeur de 2) ; HERBRAND associe à cette variable générale une certaine fonction d'indice f, qui a pour arguments les variables restreintes précédant la variable générale en question ; les valeurs de cette fonction d’indice sont situées dans un champ C, qui ne contient que le nombre d'éléments nécessaires pour que toutes les fonctions élémentaires (fonctions descriptives données dans la formule et fonctions d'indice) fassent correspondre aux différentes valeurs a,.…, a" de C:, des valeurs différentes 4,,,, 4,4,, 4... dans le champ C:. S1 l’on a par exemple la succession suivante de signes de variables : (Ey) (2) (il existe un y tel que pour toute valeur de 2), et si 4, est la valeur de (Ey), à z correspond la fonction {.(y) à laquelle on donne par convention comme valeur la lettre 4, d’un champ C, ; a, représente la « valeur » de x pour la valeur 4, de y. On construit ainsi par récurrence une série finie de champs d’ordre croissant dont chacun contient les valeurs des fonctions descriptives et des fonctions d’indice à arguments pris dans les champs d'ordre inférieur et dont la valeur n’ait pas encore été donnée. Les éléments de ces champs sont donc en étroite correspondance avec les signes des variables des formules ; ils constituent plutôt un système de nouveaux signes que l’on substitue aux premiers qu'un ensemble de véritables valeurs pour les variables

(1) Cf. HERBRAND Thèse, p. 90.

désignées par ces signes. D’un autre côté, ils n’en possèdent pas moins une nature de champs indépendants de la formule qu'ils réalisent, et présentent bien ainsi un premier aspect de mixtes en tant qu'ils sont intermédiaires entre les signes formels et leurs valeurs mathématiques effectives. De ce premier caractère on peut en dégager un second, infiniment précieux pour la conception générale des mixtes en mathématiques. Intermédiaires entre les signes et leurs valeurs, ces champs sont, d’une part homogènes à la discontinuité finie des signes puisqu’à un signe de variable (Ey) ne correspond qu’une valeur a, et, d'autre part ils symbolisent une infinité de valeurs mathématiques puisque la lettre a, représente n’importe quelle valeur mathématique éventuelle de la variable y lorsqu'elle intervient sous la forme particulière (Ey). Une médiation s’opère donc par ces champs du fini à l'infini, qui permet dans les cas traités par HERBRAND de dominer l'infini et tel est le rôle que nous reconnaîtrons aux mixtes que nous allons envisäger maintenant. Nous allons voir en effet à propos de l’espace de HILBERT comment entre la continuité d’un domaine de base et la discontinuité des solutions de certaines expressions définies sur ce domaine, s’interpose un mixte qui tient du continu par l’origine et la topologie de ses éléments, du discontinu par ses propriétés structurales et qui permet la liaison de l’un à l’autre.

L'espace de Hilbert.

Nous avons vu au chapitre I comment certaines équations différentielles ou aux dérivées partielles ne pouvaient être résolues que si l’on se donne également les conditions aux limites, initiales et finales auxquelles doivent satisfaire les fonctions qui sont solutions de l'équation proposée. Considérons par exemple une membrane vibrante encastrée par ses bords dans une paroi fixe ; l'équation qui traduit

l'oscillation d’un point de cette membrane est l’équation classique Au + x — 0 ; il est évident que toute solution %# doit être nulle aux limites de la membrane. Considérons encore en mécanique quantique, l'équation de SCHRÜDINGER qui exprime l’amplitude a d’un corpuscule de masse # oscillant dans un champ extérieur d'intensité V et possédant une énergie E. Cette équation s'écrit :

T2 AG + ee LEP) = 0 NT);

Etant donné que l’amplitude a est l’amplitude d’une onde associée à un corpuscule, il est naturel d'admettre qu’elle n’occupe qu’une région limitée de l’espace des x, y, z, et qu’elle est nulle aux limites de cette région. Le domaine de base est évidemment dans ces cas le domaine D de variation des variables. Les êtres dont on cherche à déterminer l'existence sont les fonctions qui sont solutions du problème, mais la structure du domaine n’est pas directement adaptée à la mise en évidence de ces solutions. Les schémas de genèse du chapitre précédent sont ainsi impuissants à décrire le passage à l'existence pour des équations de ce type.

Ces équations ont une importance considérable car leur solution présente comme une synthèse remarquable de notions continues et de notions discontinues. Elles ne sont en effet susceptibles de solutions %1...#,..., continues sur tout le domaine des variables et nulles aux limites que pour certaines valeurs discontinues du paramètre, à, 13... À, qui forment le spectre des valeurs propres de l'équation. Les solutions propres #... #,... Correspondant à ces valeurs propres ont une propriété essentielle pour toute la théorie que nous allons exposer : elles forment un système complet de fonctions sur le domaine de base D. Ceci veut dire que

(x) Louis DE BROGLIE, La théorie de la quantification dans la nouvelle mécanique, P. 43.

toute fonction continue dans ce domaine, deux fois différentiable et nulle aux limites, peut être représentée comme une combinaison linéaire de ces fonctions de base ; on dit encore que toute fonction arbitraire /{x, y, z) sur le domaine, peut être développée en série convergente dans le système des fonctions de base sous la forme suivante :

f(x, y; 2) Ci Mi "n Ca Se c. Cnlys..

Une situation analogue s’est retrouvée dans l’étude des équations intégrales (1). Considérons tout d’abord l'équation intégrale linéaire et homogène (c’est-à-dire sans second membre) :

I ACER Le. d\ œ(t) dt = 0.

La variable s variant de o à x, la fonction inconnue cherchée est la fonction o(s) ; la fonction X{(s, f) est une fonction continue donnée de deux variables ; c’est le noyau de l’équation intégrale, que nous supposerons dans la suite symétrique enseten£:K ({s,t) = K {{, s). On démontre comme dans les problèmes précédents que pour o<s< I, l'équation I n’a de solutions que pour certaines valeurs discontinues du paramètre, les valeurs propres x, L… ; les solutions p;, 92... qui leur correspondent sont de nouveau appelées les solutions ou fonctions propres de l'équation homogène. Nous verrons plus loin que les fonctions et les valeurs propres dépendent essentiellement du noyau X(s, #) ; ce qui nous intéresse ici, c’est que dans le cas où il existe une infinité dénombrable de fonctions propres, elles forment un système complet de base pour l’ensemble des fonctions /(s) qui satisfont à une équation du type :

(x) Cf. pour tout ceci : Ernst HELLINGER, Hilberts Arbeiten über Integralgleichungen und unendliche Gleichungssysteme, dans HILBERT, Gesamm. Abkh., t. IL, p. 94 sqq.

ALBERT LAUTMAN 8

Ï(s) = j K(s, à) x (é) dt,

x(s) étant une fonction continue quelconque.

On a donc j(s) Me », et ce théorème de développe-

CS

ment en série uniformément convergente de fonctions propres du noyau K{(s,t) s'applique en particulier aux fonctions qui sont solutions de l’équation intégrale non homogène (avec second membre)

n(S à JE (sd ef) di — js).

Toute solution de l’équation non homogène est limite de combinaisons linéaires finies des fonctions propres de l’équation homogène correspondante. On peut alors voir poindre l’idée centrale qui a guidé HILBERT dans sa théorie générale des équations intégrales linéaires : Construire sur le domaine o<s<1 un espace de fonctions jouissant de caractéristiques globales telles que l’on puisse, par une décomposition appropriée de cet espace, y distinguer un système de fonctions de base qui soient en même temps fonctions propres de l’équation proposée. En tant qu’elles forment un système de base pour les fonctions de l’espace fonctionnel, elles sont liées à la structure de cet espace ; en tant qu’elles sont fonctions propres de l’équation proposée, elles se détachent de l’ensemble des autres fonctions de l’espace pour apparaître avec leur sens nouveau de solutions. Il n’existe peut-être pas de cas plus net où la décomposition structurale d’un espace soit équivalente à l’affirmation d’existence de fonctions cherchées, et nous allons voir que l’espace fonctionnel de cette théorie se prête à de pareilles genèses parce que d’une part il est doué d’une topologie comme un ensemble de points, et que d’autre part ses éléments sont déjà homogènes aux solutions cherchées qui se trouvent ainsi comprises dans cet espace avant que d’y être reconnues.

Nous allons d’abord étudier des schémas de genèse dans l'espace de HILBERT qui est un espace vectoriel et verrons ensuite l’application des résultats ainsi trouvés aux espaces fonctionnels de la théorie des équations intégrales.

Voici la définition axiomatique de l’espace H de HILBERT d’après J. von NEUMANX (1):

A. H est un espace vectoriel ; c’est donc un ensemble d'éléments x, y... où sont définies l'addition x + y de deux vecteurs et la multiplication «.x d’un vecteur par un nombre complexe «.

B. Æ est hermitien. Ceci veut dire qu’étant donné deux vecteurs quelconques x et y de F1, il existe un + produit scalaire » (x, y) des deux vecteurs jouissant des propriétés suivantes :

1) nestohnéare entrer ur, 4) — M (Xi, Y) + 2 (X2, Y).

20 (x, y) possède la symétrie hermitienne :

3° le produit scalaire (x, y) engendre l'existence d’une forme hermitienne positive, définie :

(x, 4) = |x|?>0o sauf si 4 = 0.

Cette forme | x |? définit une métrique dans l’espace X. C. H est complet au sens de la métrique.

D. H est à une infinité dénombrable de dimensions.

Il existe dans un pareil espace une infinité de systèmes complets de vecteurs de base m1, pa ....…. , tels que l’on ait pour tout vecteur x de H'x=2Ec PR

Nous allons considérer maintenant dans À, une variété linéaire fermée à # dimensions, c’est-à-dire un sous-espace

(1) Nous nous référons à l'exposé de M. André WeiL. Séminaire de mathé-

matiques de l'Institut H. Poincaré, année 1934-193 5: (2) D'une façon générale x est la quantité conjuguée complexe de x.

de l’espace de HILBERT. On peut attacher à cette variété des « formes hermitiennes », c’est-à-dire des expressions algébriques formées à partir des vecteurs de la variété et susceptibles d’être décomposées d’une façon particulièrement remarquable, lorsqu'on fait choix pour exprimer les coordonnées des vecteurs d’un système «propre » de vecteurs de base. C’est la liaison de ce choix du système de base à la décomposition de formes hermitiennes qui est l'étape essentielle des schémas de genèse que nous voulons décrire dans ce chapitre.

Soit un opérateur linéaire À agissant sur les éléments x de la variété, c’est-à-dire tel que Ax soit également élément de la variété. Les formes hermitiennes que nous envisagerons sont les produits scalaires (x, Ax). Il résulte des axiomes de l’espace de HILBERT que (x, Ax) = À (x, x) = A(x, x), Si l'on fait choix d’un système de base quelconque dans la variété, les vecteurs x ont sur les axes de coordonnées choisis, des composantes x; et l’on a

A (x, X) = Dax %: Ki; dix — Ai.

2, ht Dans le système de base adopté, la forme hermitienne A(x, x) est donc caractérisée par la matrice de coefficients

soso sessessses

Cette matrice comprend des termes « rectangles » pour les-

quels les deux indices sont différents, et des termes «carrés »

(=), les termes diagonaux. Il est alors possible,et c’est là le

point central de la théorie, de trouver un système de vecteurs

de base privilégié +, 92... »,, tel que les composantes d’un

vecteur x étant devenus dans ce systèmex", x’... x, la forme î

.,e . À —=H ol hermitienne soit transformée en une somme Ÿ & X'; X': ne

contenant plus que des termes « carrés ». Le changement de Système de base a donc pour effet de transformer la matrice A* en une matrice ne contenant plus que des termes diagonaux :