CN O0 A — O0 0 VO

Les «; sont les « valeurs propres » de l'opérateur À, auxquelles correspondent les vecteurs propres +..

Ces résultats qui sont dus à HERMITE dans le cas d’une variété à # dimensions, HILBERT les a étendus à l’espace H à une infinité de dimensions. Nous n’avons pas à entrer ici dans l’étude des conditions de convergence extrêmement délicates qui ont permis le passage à l'infini, seul nous importe l’aspect final de la théorie : On décompose en somme, l’espace À en sous-espaces orthogonaux les uns aux autres H,, H,... Chacun de ces sous-espaces est sous-tendu par les vecteurs propres correspondant à une valeur propre «. La forme hermitienne A{(x, x) devient alors égale à la somme de ses projections À (x, x) — Ya; x’, x; dans chacun de ces différents sous-espaces. On voit donc le double rôle des vecteurs propres : ils ont un rôle structural dans l’espace dont ils sous-tendent les parties orthogonales les unes aux autres, ils ont également un sens d’existence pour l'opérateur À puisqu'ils constituent le système de vecteurs privilégiés qui permet la réduction de la forme hermitienne en une somme de carrés.

Ces considérations s'appliquent immédiatement à l’espace fonctionnel de la théorie des équations intégrales. Soit un espace fondamental E. Ce sera le domaine de base de nos schémas de genèse, l’espace fonctionnel étant un mixte interposé entre Æ et les fonctions cherchées. Soit # une mesure de LEBESGUE définie sur E. On considère l’ensemble Q des fonctions f(p) à valeur complexe telles que 1 f() du

existe et que | j(p\l*du ait une valeur finie. On obtient ainsi E

l’espace des fonctions de carré sommable qui est d’après les

travaux de RIEsz et de FISCHER isomorphe à l’espace de

Hrzgerr. Cet espace possède donc une topologie identique

à celle de l’espace H. Soit f|f,(9) —/#, (#)l°du l'expression E

de la distance de deux fonctions de l’espace ; l’espace est complet au sens de cette métrique et il existe une infinité de systèmes de base dénombrables tels que toute fonction de Q puisse être développée en série convergente (au sens de la

métrique définie dans Q), /(s) = cv.

Il ne nous reste plus qu’à voir le rôle de ce mixte qu'est l’espace Q des fonctions de carré sommable, dans la genèse des solutions propres d’une équation intégraleànoyau symétrique. Nous n’envisagerons que l’étude des fonctions propres du noyau X{(s, {) qui sont situées dans l’espace 9 ; leur détermination va se faire par une décomposition privilégiée de cet espace qui joue, par rapport au noyau X(s, #) le rôle que joue dans l’espace de HILBERT la décomposition en espaces propres correspondant à une forme hermitienne X{(x,x). Pour cela, et c’est le point central, HILBERT associe à l’espace des fonctions de carré sommable un espace Æ tel qu’au noyau K(s,t) correspondeune forme hermitienne K{(x, x) =>Xk,x,x,. L'espace H se décompose, comme nous venons de le voir en sous-espaces propres définis chacun par les vecteurs propres correspondant à une valeur propre de l’opérateur K. On passe ensuite immédiatement des vecteurs propres et des valeurs propres de l'opérateur K dans l’espace de HILBERT aux fonctions propres et aux valeurs propres du noyau K(s, ?) dans l’espace Q et l’on obtient ainsi les solutions de l'équation intégrale.

La genèse de ces solutions se fait donc suivant le schéma suivant : le domaine de base ÆE est le domaine de variation de la variable. On superpose à ce domaine de base un espace

fonctionnel qui, par sa topologie, est dans une certaine mesure comparable à un espace de points et dont les éléments sont des fonctions homogènes aux fonctions cherchées. Une décomposition de cet espace en espaces propres met alors en évidence l’existence des fonctions propres de l'équation. Le moment essentiel de cette genèse est donc contenu dans la décomposition de l’espace, ou ce qui est équivalent, dans la réduction d’une forme quadratique à une somme de carrés et là encore un texte d'HILBERT de 1909 caractérise de la façon la plus nette la liaison d’une décomposition structurale et de l’existence de solutions : « Une forme quadratique Q(x) peut toujours quand elle est continue, être transformée par une transformation orthogonale en une somme de carrés des nouvelles variables x’ telles que l’on ait : O(x) = ki%'1? + Ra 22... De ce théorème découle le théorème important suivant : un système d'équations linéaires à une infinité d’inconnues — par conséquent une équation intégrale — possède en ce qui concerne le nombre et l'existence de ses solutions toutes les propriétés d’un système à un nombre fini d'équations possédant les mêmes inconnues (1). »

L'importance de la théorie de l’espace de HILBERT développée par HILBERT et ses élèves, en particulier WEYL et von NEUMANN est considérable dans la physique nouvelle ; il s’est trouvé en effet que cette théorie constituée entre 1904 et 1906 était l'outil le plus adapté à l'interprétation des mécaniques quantiques. Reprenons par exemple l’équation de SCHRÔDINGER : A4 +- F TR ME NA EN Le paramètre variable étant l’énergie E, cette équation n’a de solutions que pour des niveaux discontinus d'énergie qui

sont les valeurs propres de l’équation. On a souvent opposé

(1) Hiusert, Wesen und Ziele einer Analysis der unendlichvielen unabhängigen Variablen. Gesamm. Abh., t. III, p. 59.

la physique du continu à la physique du discontinu ; nous voyons que le problème de la genèse du discontinu sur le continu n’est pas un problème de physique, le drame se joue plus haut, au niveau des mathématiques ; le continu, c’est le domaine de variation de la variable, le discontinu ce sont les solutions, et ce mixte qu'est l’espace d'HILBERT est homogène au continu par la nature et la topologie de ses éléments, et au discontinu par ses décompositions structurales. La théorie des rapports mathématiques du continu et du discontinu nous paraît donc recevoir tout son sens du fait qu’en elle s’incarne le schéma de genèses plus abstraites, où le passage du continu au discontinu se fait par l’intermédiaire de mixtes dont la fécondité résulte des propriétés de leur double nature.

Les familles normales de fonctions analytiques.

Nous allons étudier maintenant un autre modèle de mixtes, également intermédiaires entre un domaine de base et une fonction cherchée. Ce sont les familles «normales » de fonctions analytiques dont la considération a amené M. MoN- TEL (1) à une théorie d’une extrême richesse. Nous allons donner un exemple de cette fonction médiatrice des familles normales en nous appuyant sur l’exposé que fait M. MONTEL d’un théorème de M. CARATHEODORY. Il s’agit de démontrer que tout domaine D simplement connexe du plan de la variable complexe Z peut être représenté de façon conforme (voir p. 79) sur un cercle d du plan de la variable complexe 2 lorsque la frontière du domaine ne se réduit pas à un point. Le domaine de base au sens de nos schémas de genèse est évidemment le domaine simplement connexe en ques-

(x) Voir pour tout ce paragraphe : P. MonTEL, Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs applications.

tion, la fonction cherchée est la fonction z — G(Z) qui assure la représentation conforme du domaine sur le cercle et à laquelle correspond la fonction inverse Z — /(:) qui assure la représentation conforme du cercle sur le domaine.

Ce qui nous intéresse dans ce problème c’est le moment où intervient la nécessité d’un mixte, c’est-à-dire le moment où les modes de passage à l’existence qu'’offrent les théories plus simples ne sauraient convenir aux conditions envisagées. Nous admettrons donc les théorèmes classiques qui établissent l’existence d’une représentation conforme de domaines limités par des polygones rectilignes sur un cercle, et partons du fait que ces théorèmes ne peuvent s'appliquer au cas d’un domaine D, borné, simplement connexe et dont la frontière ne se réduit pas à un point. La méthode de M. CARATHEODORY consiste alors à interposer entre le domaine D et la fonction z — G(7), une famille de fonctions telle que la structure interne de cette famille entraîne immédiatement l’existence au sein de cette famille de la fonction cherchée. La condition de structure employée est celle de compacité. C’est une notion topologique qui lorsqu'elle est relative à une famille de fonctions, permet de comparer cette famille à un espace de points et assureainsi une certaine homogénéité entre la nature de la famille de fonctions et la nature du domaine de base. Comme d’autre part la famille de fonctions est composée de fonctions et non de points, ses éléments sont en un autre sens homogènes à la fonction cherchée, de sorte qu’elle présente bien l'aspect d’un mixte intermédiaire entre deux réalités hétérogènes. Voici ce qu’est la compacité : étant donné une suite infinie de points, cette suite est dite compacte, c’est-à-dire qu’il est toujours possible d'extraire de cette suite une suite partielle qui converge uniformément vers un point limite. En ce qui concerne les suites de fonctions analytiques, la propriété de compacité n’est plus générale ; il faut pour qu’elle s'applique, que les fonctions satisfassent à certaines conditions restrictives,

celle d’être bornées dans leur ensemble par exemple. On dit que des fonctions (2) holomorphes dans un domaine d sont bornées dans leur ensemble dans ce domaine, si l’on a

{(2) | < M, M étant un nombre fixe, quelle que soit la fonction (2) et quel que soit z intérieur à d. Le théorème suivant dû à M. MoNTEL établit alors l’existence de familles compactes, ou normales, de fonctions analytiques : Soit une famille de fonctions holomorphes et bornées dans leur ensemble dans un domaine d ; de toute suite infinie de cette famille on peut extraire une suite partielle qui converge uniformément dans chaque domaine intérieur à d vers une fonction limite (1). Dans le problème de représentation conforme dont nous nous occupons ici (2), la solution va être obtenue en construisant sur le domaine D une famille compacte de telle sorte qu’une fonction limite dont l’existence est impliquée par la compacité de la famille soit la fonction cherchée. La structure du domaine D n’est donc pas directement adaptée à la mise en évidence de la fonction cherchée z — G(Z) mais nous allons voir comment cette structure est adaptée à la genèse du mixte intermédiaire : on recouvre le plan Z d’un quadrillage formé de carrés de côté égal à 1. On considère tous les carrés complètement intérieurs au domaine ; ils forment un domaine simplement connexe D, dont la frontière est un polygone rectiligne. On envisage ensuite

le quadrillage de côté obtenu en conservant les lignes du

quadrillage précédent, ce qui permet de définir de la même manière un domaine D, contenant tous les points de D.

Me :

Avec le quadrillage de côté 7 °n obtient de même un do-

nm maine D,. La suite infinie de domaines D, D, D,... est telle que : 1° chacun de ces domaines est complètement intérieur à D ; 20 D, contient tous les points de D,,, ; 3° tout

(x) Cf. P. MONTEL, 0h. cût., p. 21.

(2) Cf. pour toute la suite : P. MONTEL, op. cit., p. 98-102.

point intérieur à D est intérieur aux domaines D, à partir d’un certain rang.

Le domaine D se laisse ainsi structurer en une infinité croissante de domaines limités par des polygones rectilignes : D, .. D,... En vertu des théorèmes admis au début du paragraphe, il existe donc des fonctions Z, — f,(?), Z1 = fi(2)..…, qui assurent la représentation conforme du cercle 4 sur chacun des domaines D, ainsi définis. Les fonctions /,(2) sont holomorphes dans 4, elles sont bornées puisque les valeurs de Z, sont intérieures à D quel que soit », elles forment donc une famille normale dans d.

Les équations définissant la correspondance peuvent être résolues par rapport à z, on en tire :

IC) 2 C2). 2 GiZ).

Les fonctions G,(Z) sont holomorphes et bornées dans D, puisque les valeurs correspondantes sont les affixes des points intérieurs à d ; elles forment donc une famille normale dans D,, qui est véritablement le mixte essentiel de la théorie.

M. MoNTEL démontre ensuite que l’on peut extraire de cette famille une suite partielle qui converge uniformément dans chaque domaine D,. Soient G(7) la fonction limite de cette suite, et f(2) la fonction inverse limite de la suite correspondante dans la famille des fonctions j,(2). La fonction G(Z) assure la représentation conforme du domaine D sur le cercle 4, et son existence est ainsi déterminée au sein de la famille normale définie sur le domaine de base.

Nous voyons ainsi comment la décomposition structurale de D peut être interprétée en termes d’existence, non pas de l’être cherché mais d’un mixte et comment c’est de la structure de ce mixte que résulte l’existence de cet être cherché. Une remarque s'impose. Dans le cas de l’espace de HILBERT la structure du mixte donnait naissance aux valeurs et aux fonctions propres cherchées par une décomposition interne

analogue à ces découpages et à ces divisions des domaines de bases étudiés au chapitre IV. Nous avons ici à faire à un schéma de genèse légèrement différent. La famille normale procède bien d’une sorte de décomposition du domaine de base, mais la fonction limite n’est plus liée à un mode de décomposition du mixte. Elle résulte d’une sélection que permet au sein de la famille normale la propriété des suites infinies partielles d’être convergentes. Ce point de vue nous amène à ceux auxquels nous nous placerons dans le chapitre suivant pour étudier dans leur ensemble les schémas de genèse où l'existence d’un être résulte de ce que cet être jouit de propriétés exceptionnelles qui permettent de le distinguer parmi les autres. Il n’en est pas moins vrai que dans le cas des familles normales, la sélection de la fonction : limite est déterminée par la structure compacte de ces familles normales avec la même rigueur logique que l’existence des fonctions propres dans l’espace de HILBERT était liée aux possibilités de décomposition de cet espace.

Les deux problèmes que nous venons d’exposer rapidement nous montrent ainsi que la découverte de l’existence d’un être présuppose souvent l’existence d’un ensemble qui contienne l'être cherché avant même qu’on sache l’y voir. La construction de cet ensemble est en effet plus facile parce que sa nature s'adapte directement au domaine auquel il se superpose. Le problème des mixtes en mathématiques se divise donc en un problème d'imitation, le mixte imitant une structure de domaine, et un problème de sélection. Les mixtes se situent bien ainsi entre deux réalités à la nature de chacune desquelles ils participent.