CHAPITRE VI

Du caractère exceptionnel de l'existence.

Dans la plupart des problèmes étudiés au chapitre IV et au chapitre V, le passage de la structure du domaine à l’existence des êtres définis sur ce domaine résulte d’une décomposition structurale du domaine interprétable en termes d'existence par rapport à d’autres êtres, ceux qui sont créés sur ce domaine. Nous allons envisager maintenant un nouveau mode de liaison entre la structure et l’existence, celui où l'être cherché résulte de la sélection au sein d’un domaine d’un élément distingué parmi tous les autres par ses propriétés exceptionnelles. M. Maurice JANET a publié dans les Recherches philosophiques (x) un article extrêmement précieux sur des problèmes de cette sorte, les plus importants au point de vue philosophique : les propriétés exceptionnelles qui caractérisent l’existence de l’être cherché y sont en effet des propriétés extrêmales de maximum ou de minimum. Cette détermination de l’existence par des recherches de maximum ou de minimum suggère à M. JANET les rapprochements qui s'imposent avec la pensée d'EULER et de LEIBNIZ. M. JANET cite ce texte d'EULER : « Comme la construction du monde est parfaite et due à un créateur infiniment sage, il n’arrive rien dans le monde qui ne présente quelque propriété de maximum ou de minimum. Aussi n'y a-t-il aucun

(1) M. JANET, La finalité en mathématiques et en physique. Recherches philosophiques, t. II, p. 1.

doute qu’il soit possible de déterminer tous les effets de l'univers par leur cause finale à l’aide de la méthode des maxima et des minima avec tout autant de succès que par leurs causes efficientes. » Ce texte exprime les mêmes idées que le fameux opuscule de LEIBNIz sur l’origine radicale des choses : « par là on comprend de la manière la plus évidente, que parmi les combinaisons infinies des possibles…, il en existe une par laquelle la plus grande quantité d’essence ou de possibilité soit amenée à l'existence. Et en effet, il y a toujours dans les choses un principe de détermination qui doit se tirer du plus grand et du plus petit ou de manière que le plus grand effet s’obtienne avec la moindre dépense » (1). Il y a dans ce texte comme un double programme d’application du calcul des variations aux mathématiques et à la physique et l’on sait tout le succès des considérations variationnelles en physique. M. JANET refait rapidement l'historique du principe de FERMAT pour la lumière, du principe de MAUPERTUIS pour la mécanique et montre que l’analogie de ces deux principes de minimum dornine tout le courant d’idées qui va de HAMILTON à M. Louis DE BROGLIE.

Nous entendons dans ce chapitre nous borner exclusivement aux mathématiques et voudrions montrer que dans la détermination de l'existence d’un être mathématique par des considérations d’extremum se réalise le schéma logique d’une solution nouvelle au problème du passage de l’essence à l'existence, où, comme dans les schémas des chapitres précédents, l'essence et l’existence portent sur des êtres mathématiques distincts. Lorsqu'on détermine un être par des propriétés de maximum ou de minimum, il faut en effet le considérer comme plongé au sein d’un ensemble et montrer ensuite que la structure de l’ensemble est telle qu’elle permet d’y distinguer l'être cherché. Dans la mesure où les

(1) Lergnrz, De l'origine yadicale des choses. Ed. Janet, t. II, p. 546.

propriétés qui rendent la sélection possible sont des propriétés de maximum ou de minimum, elles confèrent bien à l'être obtenu un avantage de simplicité et comme une apparence de finalité, mais cette apparence disparaît lorsqu’on se rend compte que ce qui assure le passage à l’existence, ce n'est pas le fait que les propriétés en question sont des propriétés extrêmales, c’est que la sélection qu’elles déterminent est impliquée par la structure de l’ensemble considéré. Nous verrons d’ailleurs comment il est d’autres propriétés exceptionnelles, bien différentes des propriétés extrêmales et qui permettent également de distinguer un être au sein d’un ensemble ; dans tous ces cas nous nous attacherons à montrer comment la structure de l’ensemble était préparée à la mise en évidence de l’élément distingué. Le problème logique qui domine ces théories est donc bien encore ici celui des liaisons à établir entre la structure d’un domaine et l’existence d'êtres définis sur ce domaine, et il est pour nous essentiel de pouvoir observer dans les mathématiques des solutions différentes de ce même problème. Une des thèses essentielles de cet ouvrage affirme en effet la nécessité de séparer la conception supra-mathématique du problème des liaisons que soutiennent entre elles certaines notions et la découverte mathématique de ces liaisons effectives au sein d’une théorie. Les schémas de genèse par sélection sont bien distincts des schémas de genèse par décomposition et les uns et les autres opèrent pourtant le passage de l'essence du domaine à l’existence de fonctions définies sur ce domaine.

Nous allons envisager tout d’abord les deux problèmes qu’expose M. JANET : celui du problème de DIRICHLET et celui des valeurs propres d’un opérateur dans l’espace de HizBErt. Le problème de DIRICHLET consiste, étant donné un domaine D et une fonction continue sur les frontières de D, à démontrer qu’il existe une fonction W continue dans D ainsi que ses dérivées partielles de deux premiers

ordres, prenant sur la frontière de D des valeurs données et AAA / , 2V a V

satisfaisant à l’équation de LAPLACE FE de —

RIEMANN avait utilisé le fait qu’une telle fonction rend

minimum l'expression :

up) + (1e à

pour affirmer l’existence de cette fonction, admettant sans démonstration que l'intégrale Z(U) atteint effectivement son minimum. WEIERSTRASS a montré qu’il n’était pas du tout évident qu’une expression donnée atteigne effectivement son minimum de sorte que si la fonction cherchée existe elle jouit bien de la propriété minimale en question, mais le fait qu’elle en jouirait n’est pas suffisant pour en assurer l’existence. Il fallait avoir recours à d’autres procédés. Le principe de la méthode découverte par HILBERT consiste, comme dans le dernier exemple que nous avons exposé au Chapitre V, à interposer entre le domaine D et la solution V une famille de fonctions compacte, qui joue ici encore le rôle d’un mixte intermédiaire entre la structure du domaine et l’existence de la fonction. Rappelons qu’une famille de fonctions holomorphes et bornées dans leur ensemble dans un domaine D est compacte si de toute suite infinie de cette famille on peut extraire une suite partielle convergeant uniformément dans chaque domaine intérieur à D vers une fonction limite. Le théorème qui affirme la compacité d’une suite de fonctions est donc en même temps théorème d’existence pour la fonction limite d’une suite convergente extraite de la famille et le fait que la fonction limite peut jouir en plus de propriétés extrêmales n'intervient aucunement dans sa détermination. Voici le théorème d’existence dont nous empruntons l'énoncé à M. H. LEBESGUE : On suppose données des fonctions %, Ua ... Un …, continues et monotones (ce qui veut dire qu’elles ont même limite inférieure et

même limite supérieure dans un domaine fermé et sur sa frontière, et ceci quel que soit le domaine considéré) dans un domaine D, toutes égales entre elles sur la frontière de D, ayant en tout point intérieur au domaine des dérivées partielles du 1er ordre finies et continues, telles enfin que quel

que soit 2, l'expression :

2 ou; \2 ) : e )] id

He J} [(

ait un sens et soit inférieure à un nombre finiH indépendant de : ; alors parmi les %... #,.., on peut choisir une suite qui convergeuniformément versune limite continue... (r). L’existence de la fonction cherchée est donc liée à la structure compacte de la famille de fonctions #,.… #,... et la propriété exceptionnelle qui la distingue n’est plus une propriété d’extremum mais la propriété d’être la limite d’une suite convergente.

Des considérations analogues se dégagent de l’étude des valeurs propres d’un opérateur. On se rappelle qu’étant donné une expression AH(X, X) = >h x; x, la détermination des valeurs propres de Æ revient à transformer l'expression 2; x; x, en une somme de carrés > à, Y: V, par une transformation des vecteurs de base de l’espace de HiLBERT. L'une des méthodes de détermination des valeurs propres », est une méthode de maximum. Elle s'appuie sur le raisonnement suivant : Toute fonction réelle et continue de À variables réelles dans un domaine borné et fermé est uniformément continue. Donc elle est bornée, donc elle a un maximum atteint pour un point au moins du domaine des variables ou de sa frontière. On considère alors l'expression H(X, X) comme une fonction de X, lorsque À est un vecteur quelconque satisfaisant à | X? | — 1.

OU; 2x

(1) H. LeBesGuEr, Sur le problème de Dirichlet. Rendiconti del Circ. Mat. di Palermo, 1907, p. 386.

ALBERT LAUTMAN 9

Le domaine de variation des coordonnées x; de X est borné et fermé ; donc H(X, X) est fonction réelle et continue des x; dans ce domaine et présente un maximum x atteint pour À — &. On considère ensuite tous les vecteurs X, de longueur égale à x, orthogonaux à «. Les variables X décrivent encore un domaine borné et fermé dans lequel Æ atteint un maximum x <2X pour À = # et ainsi de suite (r). Le point essentiel du raisonnement est celui qui lie le fait que le domaine de variation des x; est borné et fermé à l'existence d’un maximum de la fonction H(X, X) = Eh x; x, sur ce domaine. La valeur extrêmale n'apparaît chaque fois que parce que la structure du domaine est adaptée à sa mise en évidence, le schéma de genèse opère donc bien encore le passage de l’essence du domaine à l’exis-

tence du maximum.

Les méthodes de Poincaré.

Nous allons envisager maintenant des propriétés exceptionnelles qui vont permettre d’opérer sur un domaine des sélections bien différentes. Ce sont celles qui remontent aux méthodes inaugurées par POINCARÉ dans son mémoire : Sur les courbes définies par une équation différentielle. Ce mémoire a pour les questions logiques que nous étudions une importance capitale car c’est là que POINCARÉ a caractérisé l’aspect structural que devait prendre à ses yeux le problème moderne de l’intégration des équations différentielles. POINCARÉ n’y envisage encore en 1887 que la substitution du point de vue global au point de vue local, mais nous montrerons comment ces nouvelles méthodes l’ont conduit plus tard à déterminer l’existence de certaines solutions par leurs propriétés exceptionnelles. Voici les

(x) Résumé d’après G. JuLrA, Introduction mathématique aux théories quantiques, P. 191.

textes auxquels nous faisons allusion : « MM. Fucxs, BRIoT et BOUQUET, Mme KoWwALEWSKA au lieu d'étudier la manière d’être des intégrales des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles pour toutes les valeurs de la variable, c’est-à-dire dans tout le plan, se sont d’abord occupés de déterminer les propriétés des intégrales dans le voisinage d’un point donné... » A cette méthode quantitative, POINCARÉ oppose une méthode qualitative : « Pour étudier une équation algébrique, on commence par rechercher à l’aide du théorème de SruRM quel est le nombre des racines réelles, c’est la partie qualitative ; puis on calcule la valeur numérique de ces racines, ce qui constitue l’étude quantitative de l'équation. De même pour étudier une courbe algébrique on commence par construire cette courbe, comme on dit dans les cours de Mathématiques spéciales, c'est-à-dire qu'on cherche quelles sont les branches {de courbe fermées, les branches infinies,etc... Après cette étude qualitative, on peut ensuite déterminer exactement un certain nombre de points... (1) » Cette étude qualitative est donc essentiellement une étude topologique des courbes où l’on cherche à déterminer leurs cols, leurs nœuds, leurs foyers, leurs centres. Les courbes les plus importantes sont celles qui se présentent sous la forme de cycles fermés autour d’un centre. Leur importance mathématique vient de ce que leur connaissance détermine en même temps la connaissance des courbes qui leur sont voisines. Dans le cas d’équations différentielles du r°7 ordre à variables réelles, ce sont par exemple des spirales qui s’approchent asymptotiquement de cette limite. La signification physique des cycles fermés en mécanique céleste est évidente : ils correspondent à des trajectoires périodiques, c’est-à-dire à des astres qui restent stables sur leur orbite. On cherche généralement à déterminer ces solutions périodiques par des méthodes ana-

(1) H. PorncaRÉ, Œuvres complètes, t. IIT, p. 56.

lytiques, mais le génie de POINCARÉ a su découvrir des méthodes de sélection infiniment plus simples, empruntées à la topologie. Nous allons résumer rapidement ces recherches d’après l’exposé de M. BIEBERBACH (1).

Les méthodes nouvelles de PoINcARÉ qui nous intéressent ici portent sur les solutions d'équations différentielles en relation avec un problème du calcul des variations. Toutes ces solutions sont donc des extrêmales par rapport à ce problème et il s’agit pour POINCARÉ de déterminer les extrêmales fermées. Il est possible par des transformations assez simples de se représenter ces extrêmales comme des courbes d’un espace à 3 dimensions dont certaines sont fermées, celles qui correspondent aux solutions périodiques et dont les autres s’enroulent une infinité de fois autour de ces courbes fermées. L'ensemble forme comme un faisceau de courbes dont on envisage l'intersection avec une surface à 2 dimensions. Les courbes fermées ne rencontrent cette surface qu’en un nombre fini de points ; on peut même arriver par un choix approprié des coordonnées à ce que les courbes fermées ne rencontrent la surface qu’en un point ; mais toutes les autres courbes enroulées une infinité de fois autour des cycles fermés rencontrent la surface d’intersection en un nombre infini de points. Cela étant, si l’on suit une courbe intérieure du faisceau à partir d’un de ses points de contact avec la surface jusqu’à sa rencontre avec un second point de la surface, et si l’on opère de la même façon pour toutes les courbes du faisceau, on opère une transformation de tous les points intérieurs de la surface d’intersection, qui fait correspondre à chaque point a le plus proche point d’intersection 4’ de la courbe passant par a avec la surface ; seuls les points correspondant aux courbes fermées restent fixes dans cette transformation. (Une propriété caractéristique de cette transformation est de laisser invariante une

(1) L. BIEBERBACH, Differentialgleichungen, p. 202.

certaine expression intégrale.) Le problème de la détermination des solutions périodiques est donc ramené à la détermination des points d’un domaine qui restent fixes lorsqu'on opère une transformation sur tous les points intérieurs de ce domaine. Nous voyons ainsi apparaître une propriété exceptionnelle nouvelle, celle des points fixes dont l'existence est immédiatement interprétable en termes d'existence de solutions périodiques d'équations différentielles. Il nous faut maintenant montrer comment l’existence de ces points fixes est liée à la structure du domaine sur lequel a lieu la transformation interne.

POINCARÉ avait énoncé peu avant sa mort un théorème dont M. BIRKHOFF devait donner quelques mois après la démonstration. Voici ce « dernier théorème » de POINCARÉ : Si une transformation continue bi-univoque conservant les aires transforme un anneau en lui-même, en réalisant deux rotations de sens inverses pour les deux circonférences bornes de l’anneau, il existe toujours à l’intérieur de l’anneau deux points qui ne sont pas altérés par la transformation (x).

Les conditions d’existence des points fixes ne dépendent pas seulement dans cet énoncé, de la structure du domaine de base, elles dépendent aussi de la nature de la transformation interne opérée puisque cette transformation doit conserver un invariant intégral de surface ; le développement récent de la topologie a permis, pour la plupart des domaines topologiques, de déterminer par la seule considération de la structure topologique de ces domaines si une transformation interne de leurs points admet ou non des points fixes. On sait que parmi les caractéristiques structurales d’un complexe figurent en premier lieu les nombres de BETTI de ce complexe (voir plus haut page 54), c'est-à-dire le nombre

(x) Voir POINCARÉ, Sur un théorème de géométrie. Rend. di Palermo, 1912 ; Husson, Les trajectoires de la dynamique. Mémorial des Sc. Math., fasc. 55, p. 50 et BIEBERBACH, Differentialgleichungen, p. 205.

maximum de cycles linéairement indépendants de la dimension o, de la dimension 1, .… de la dimension #, n étant la dimension du complexe. Il est alors possible, grâce aux formules obtenues par MM. Hopr et LEFSCHETZ de déterminer l'existence ou l’absence de points fixes d’une transformation interne par la seule considération des nombres de Berri. Voici quelques résultats qui sont à cet égard significatifs : soit P un polyèdre d’un seul tenant dont tous les nombres de RETTI sont nuls à l’exception de celui de la dimension © (p, — 1). Toute transformation interne de ce polyèdre en lui-même admet au moins un point fixe. Soit N la caractéristique d'EULER d’un complexe, c’est-à-dire un invariant de structure de ce complexe, qui est égal à la somme algébrique des nombres de BETTI du complexe.

[— N =5(— 1)" p“]. Pour qu’une transformation 1interne d’un complexe, réductible à l'identité par déformation continue, admette des points fixes, il suffit que la caractéristique d'EULER du complexe soit différente de o (x), etc. Tous ces théorèmes montrent comment l'existence des points fixes d’une transformation interne est impliquée par Jes invariants de structure du complexe. Il y a une analogie étroite entre l’affirmation d'existence du maximum d’une fonction sur un domaine à partir du fait que le domaine est borné et fermé et l’affirmation d'existence de points fixes à partir du fait que la constante d'EULER du complexe est différente de o ; si l’on abstrait de ces théorèmes le schéma logique qu’ils dessinent, on obtient un schéma de genèse, de l’essence du domaine à l’existence de l'être distingué sur ce domaine, aussi caractérisé que pouvaient l'être les schémas de genèse qui établissaient un lien entre la décomposition et l’existence.

(1) Voir pour tout ceci : SEIFERT und THRELFALL, Topologie, p. 200; Ou : ALEXANDROFF und Hopr, Topologie, p. 532.

Les singularités des fonctions analytiques.

PoINCARÉ considérait, avons-nous vu page 131, que l’étude qualitative de l’allure des courbes intégrales s’opposait aux procédés de ses prédécesseurs qui se préoccupaient d’abord d'étudier la nature de la solution au voisinage d’un point donné. On peut pourtant montrer que la connaissance de la valeur d’une solution autour de certains points permet également de caractériser de façon globale la fonction qui est intégrale d’une équation proposée, parce que les points choisis ne sont pas quelconques ; ils correspondent en effet aux singularités des solutions. Les points singuliers sont bien en tant que points, points du domaine de base comme tout autre point de ce domaine, mais ils ont de plus en plus, dans les théories modernes un rôle dominateur et exceptionnel ; nous allons rapidement voir qu’en eux viennent se confondre un grand nombre de points de vue logiques que nous avons caractérisés séparément au cours de ce travail.

Soit l'équation différentielle w''" + p; (2) w' + pa (2) w = 0, dont les coefficients p, {z) et #, (:) ont au point & une singularité isolée. On démontre que toute solution de l’équation peut être obtenue en n’importe quel point régulier du domaine de la variable z par combinaison linéaire de deux solutions particulières indépendantes w, (2) et w (2), formant ce qu’on appelle un système fondamental. Il s’agit donc avant tout de déterminer deux solutions fondamentales de l'équation et ceci va être fait tout d’abord au voisinage du point singulier. Pour déterminer ces deux solutions fondamentales dans les cas les plus simples, admettons que les coefficients p.(z) et P. (2) n'aient en a que des pôles qui soient respectivement du premier et du second ordre, c’est-à-dire que l’on ait :

Dans ces conditions, l’équation :

P; (za) P; (2-4) 11 n ! 0 RPM z-4 a (z-a)?

admet toujours au voisinage du point z — a un système

fondamental de la forme :

w, = (z-a)" P (z-a) w — (z-a)* P* (z-a) + éventuellement un terme logarithmique.

Les nombres /, et Z sont racines d’une équation dite équation fondamentale, formée avec les premiers coefficients du développement en série de P, (z-a) et de P, (z-a). Si une équation admet plusieurs points singuliers, la même méthode s'applique : il faut déterminer au voisinage de chacun d’eux un système de deux solutions fondamentales. Le passage des solutions w, et w, définies au voisinage de points singuliers aux solutions définies en chaque point régulier se fait selon les idées de WEIERSTRASS par prolongement analytique. Nous allons voir comment ces solutions locales sont néanmoins susceptibles de caractériser une fonction globalement. Les cas que nous allons envisager sont ceux des fonctions admettant 3 points singuliers : les points o, 1 et co. On peut en effet toujours obtenir par une transformation linéaire que les singularités se produisent à ces points là. Considérons le plan de la variable complexe z entaillé sur l’axe réel de o à —- o et de 1 à + ©. Le prolongement à partir d’une solution locale ne peut donc jamais entourer plus d’un point singulier à la fois. Soient w, et w, un système fondamental correspondant au point

w ; singulier z — 0. Soit w le quotient —. On démontre que Ws

la fonction w (7) assure la représentation conforme du demi-

plan supérieur de la variable complexe z sur un triangle curviligne du plan de la variable w. Si l’on cherche ensuite à prolonger la fonction w(z) sur le demi-plan inférieur de la variable z on obtient un triangle curviligne du plan des w qui a un côté commun avec le premier et en répétant indéfiniment le prolongement de la fonction w (2 d’un demi-plan à l’autre de la variable z, on obtient une infinité de triangles curvilignes qui dans certains cas tend à recouvrir complètement tous les points situés à l’intérieur d’un cercle fondamental du plan des w. C’est ainsi que l’on peut obtenir par exemple sur le plan w la figure cicontre dite figure modulaire.

F1G. 8 (d’après la figure 104 de HurwITZ-COURANT, Funktionentheorie).

La fonction w (2) opère donc la représentation du plan z (x) sur cette figure modulaire, et sa fonction inverse, z (w), dite fonction modulaire opère inversement la représentation de la figure modulaire sur le plan complexe z.

Si l’on rappelle que le point de vue global en théorie des fonctions analytiques est celui qui considère une fonction t — { (2) comme opérant la représentation du domaine de

(1) Ou plutôt de la surface de RIEMANN obtenue par la superposition sur le plan des z, d’une infinité de plans soudés en croix le long des coupures O > — © et I > + ©.

la variable 2 sur le domaine de la variable &, on voit que les fonctions w (z) et z (w\) définies à partir des solutions locales d’une équation différentielle n’en prennent pas moins immédiatement place dans la théorie riemannienne. Du reste une de leurs propriétés accentue encore le caractère global du résultat obtenu : Nous avons montré au Chapitre III que la surface universelle de recouvrement correspondant à une fonction algébrique € — / (2) donnée était en ce sens achevée, qu'il existait toujours sur cette surface une fonction # telle que les fonctions & — + (£) et z — y (é) soient uniformes. Or ces fonctions sont des fonctions automorphes, c’est-àdire qu’elles conservent la même valeur pour certaines

) =: 4({). I] se trouve alors que la fonction modu-

transformations de la variable é : (

al + y é ga laire, obtenue à partir d’un système de solutions purement local, est du type de ces fonctions automorphes qui uniformisent globalement les fonctions algébriques (x).

Nous voyons donc les aspects multiples sous lesquels se présentent dans cette théorie les points singuliers : 1° ils permettent la détermination d’un système fondamental de solutions, prolongeables analytiquement sur tout chemin ne rencontrant pas de singularités : c’est en ce sens que leur singularité se traduit en termes d’existence des solutions ; 20 ils permettent un découpage structural du plan complexe tel qu'il puisse exister une fonction qui représente le plan pareïllement découpé sur la figure modulaire. En ce sens leur rôle est de décomposer un domaine de facon que la fonction qui assure la représentation soit définissable sur ce domaine ; 3° ils permettent le passage de l’intégration locale des équations différentielles à la caractérisation

(1) Voir pour tout ce paragraphe : BIEBERBACH, Differentialgleichungen, p. 227 sqq.

globale des fonctions analytiques qui sont solutions de ces équations. Nous annoncions plus haut qu’un grand nombre des notions logiques que nous avions étudiées séparément se rencontraient mêlées, dans les problèmes relatifs aux points singuliers : nous voyons en effet le rôle qu’ils jouent du point de vue de la synthèse du local et du global (Chap. I), du point de vue de la liaison entre la décomposition structurale d’un domaine et l’existence de fonctions sur ce domaine (Chap. IV\ et enfin comment leur nature de points singuliers sur un domaine détermine l’existence, en chaque point du domaine de la variable 2, de solutions de l'équation proposée, au même titre que les maxima ou les minima étudiés au début de ce chapitre entraînent dans d’autres cas l’existence de solutions propres.

Cette rencontre de points de vue logiques distincts, au sein d’un même problème, nous l’avons bien souvent constatée dans les chapitres précédents : elle nous montre à la fois, aussi paradoxal qué puisse être le rapprochement des termes, l’union intime et l'indépendance complète de la logique dialectique, telle que nous la concevons et des mathématiques. Les théories mathématiques se développent par leur force propre, dans une étroite solidarité réciproque et sans référence aucune aux Idées que leur mouvement rapproche. Les schémas logiques que le philosophe découvre alors dans ce mouvement ne peuvent avoir la netteté de contours qu’auraient des règles données antérieurement à l'expérience, ils n’ont d’existence qu’unis à ces théories qui se font en même temps qu'eux, et s'ils empiètent tous les uns sur les autres, c'est pour pouvoir mieux soutenir le magnifique et universel réseau des relations mathématiques.

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