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lait ainsi au sein des mathématiques y subsiste encore aujourd’hui en bien des domaines. Nous voudrions rapidement montrer ce qu’il en est dans la théorie des fonctions analytiques, en géométrie, et dans la théorie des équations différentielles.

La conception de la fonction analytique selon les idées de Caucxy et de RIEMANN est une conception globale ou tout au moins régionale. Elle repose en effet sur la considération d'ensemble d’un domaine du plan de la variable complexe z — x + y. Une expression complexe € = w + iv représente pour CAUCHY une fonction analytique sur toute l'étendue de ce domaine, si l’on peut définir en chaque point du domaine, l’existence d’une dérivée unique de & par rapport à la variable complexe 2. On sait que pour qu’une pareille dérivée existe, il faut que les fonctions # et v soient des fonctions continues de x et de y possédant des dérivées partielles continues du premier ordre et satisfaisant aux équations différentielles (dites de RIEMANN) :

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La fonction analytique définie ainsi par l’unicité de la dérivée en chaque point n’est pas encore une noticn définie du point de vue global mais elle conduit à la théorie de l'intégrale qui est au plus haut degré une notion globale : la valeur d’une fonction analytique en un point intérieur z, d'un domaine limité par une courbe fermée C est déterminée par la valeur de la fonction sur la courbe frontière :

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si le domaine en question est simplement connexe, c’est-àdire n’a pour frontière que la seule courbe fermée C. On voit ainsi intervenir dans cette définition, des propriétés structurales de simple connexion relatives à la topologie

du domaine de base. Nous étudierons dans un chapitre ultérieur toute l'importance qu'ont prise avec RIEMANN ces considérations topologiques et comment elles ont permis de lier l'existence de fonctions analytiques à l’existence de domaines de base, définis dans leur totalité par leurs propriétés topologiques. Les conditions relatives à l'existence de la dérivée en chaque point ne jouent plus le premier rôle, et la fonction n’est plus tant définie par ses propriétés en chaque point du domaine que parce qu’elle est appropriée au domaine tout entier.

À la conception globale de RIEMANX s'oppose la conception locale de WErERSTRASS. Une fonction analytique est essentiellement définie pour WEIERSTRASS au voisinage d’un point complexe z,, par une série de puissances à coefficients numériques, qui converge dans un «cercle de convergence » autour du point 3. La méthode du « prolongement analytique » permet ensuite de construire de proche en proche tout un domaine où la fonction est dite « analytique » et cela de la façon suivante : on prend comme nouveau centre un point intérieur du premier cercle, on obtient aïnsi à la fois une nouvelle série et un nouveau cercle de convergence qui peut déborder le premier. La nouvelle série prolonge la première si leurs valeurs coïncident dans la partie commune des deux cercles. La série peut être prolongée ainsi dans toutes les directions jusqu'aux points dans le voisinage :inmédiat desquels les séries obtenues divergeraient. On voit donc que dans cette méthode le domaine n’est pas circonscrit à l’avance, mais résulte plutôt de la succession infinie des opérations locales.

La théorie de WEIERSTRASS s’est développée en opposition voulue avec la conception intégrale de CAUCHY et de RIEMANN. Si de nos jours certains auteurs comme M. Br£- BERBACH présentent un exposé d'ensemble de la théorie des fonctions analytiques où les deux points de vue sont intimement mélés, d’autres au contraire comme GOUR-

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sAT ou M. COURANT (1) estiment nécessaire de maintenir une séparation entre les conceptions de CAUCHY-RIEMANN et celles de WerErsTRass. Nous aurons l’occasion de voir plus loin l'importance que cette séparation des points de vue présente également aux yeux de M. Hermann WEYL (2). En ce qui concerne la géométrie et la théorie des groupes, nous ne pourrons mieux faire que de nous inspirer des articles célèbres que M. CARTAN a publiés sur la question (3). M. CARTAN met toujours au premier plan de ses exposés généraux sur la géométrie, les différences profondes qui ont séparé jusqu’à la théorie de la Relativité la conception globale de l’espace telle que l’a définie F. KLEIN dans son fameux « programme d’Erlangen » de 1872, et la conception infinitésimale de RIEMANN développée dans le mémoire de 1854 : « Über die Hypothesen welche der Geometrie zugrunde liegen ». Une géométrie au sens de KLEIN est l’étude des propriétés des figures qui sont conservées lorsqu'on fait subir à l’espace pris dans son ensemble certaines transformations formant ce qu’on appelle un groupe de transformations. La géométrie euclidienne est ainsi l’étude des propriétés des figures qui sont conservées lorsqu'on fait subir un même déplacement à tous les points de l’espace ; il se trouve que ces déplacements conservent toutes les propriétés des figures et en particulier leurs propriétés métriques. La géométrie affine étudie les propriétés qui se conservent

(1) Cf. R. CouRrANT, préface à l’Allgemeine Funktionentheorie de Ad. HurwiTz et R. COURANT.

(2) En fait, l'étude globale et l'étude locale n’amènent pas à des résultats strictement équivalents. M. BoREL a, en effet, démontré par la découverte de classes de fonctions quasi analytiques, que la classe des fonctions de CAuUcHY est plus étendue que la classe des fonctions de WEIERSTRASS. (

(3) Voir principalement : E. CARTAN, Les récentes généralisations de la notion d'espace. Bulletin des Sc. Math., t. 48, année 1924, p. 204. La théorie des groupes et les recherches récentes de géométrie différentielle. Enseignement math., année 1924, p. 1 et surtout La théorie des groupes et la géométrie. Enseignement math., année 1927, p. 211.

par une transformation linéaire : le parallélisme de deux droites par exemple ; la géométrie projective étudie les propriétés invariantes par rapport à une transformation homographique comme le rapport anharmonique de quatre points sur une droite ou le degré d’une courbe algébrique. Quelles que soient les propriétés dont on recherche l’invariance par rapport à un groupe de transformations, la caractéristique essentielle des espaces de KLEIN est leur homogénéité. Le groupe opère de la même facon sur tous les points de l’espace. Les espaces de RIEMANN sont au contraire dépourvus de toute espèce d’homogénéité. Chacun d’eux est caractérisé par la forme de l’expression qui définit le carré de la distance de deux points infiniment voisins. Cette expression est ce qu’on appelle une forme différentielle quadratique qui généralise la formule euclidienne de la distance de deux points : ds? = du,? + du:?. Le ds? riemannien à deux dimensions est de la forme suivante

ds £11dW? + Lie duduz + B21 Aus di + 82e du:?. Dans une variété à # dimensions on a la formule générale

n de — > g; du du,. Les g; sont des coefficients absolument nf

quelconques et qui varient de point en point. Il en résulte, comme dit M. CARTAN (1), que « deux observateurs voisins peuvent repérer dans un espace de RIEMANN les points qui sont dans leur voisinage immédiat, mais ils ne peuvent pas sans convention nouvelle se repérer l'un par rapport à l’autre ». Chaque voisinage est donc comme un petit bout d'espace euclidien, mais le raccordement d’un voisinage au voisinage suivant n'est pas défini et peut se faire d’une infinité de manières; l’espace de RIEMANN le plus général se présente ainsi comme une collection amorphe de morceaux juxtaposés sans être rattachés les uns aux autres.

(1) E. CarTAN, Les récentes généralisations de la notion d'espace. Bulletin Sc. math., année 1924, p. 297.

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La distinction qui existe ainsi entre une géométrie de KLEIN et une géométrie de RIEMANN se retrouve entre la théorie de la Relativité restreinte et la théorie de la Relativité généralisée. La Relativité restreinte est de type kleinéen ; elle étudie dans l'Univers quadridimensionnel de MINKOWSKI les invariants du groupe de LORENTZ ; la Relativité généralisée est une géométrie riemannienne où les s;; dépendent en chaque point de la distribution de la matière en ce point. L'espace de la théorie de la Relativité généralisée ne présente cependant pas cette absence complète d’organisation qui caractérise les espaces de RIEMANN les plus généraux ; une physique où les lois de l'Univers varieraient de point en point est en effet inconcevable. L'espace riemannien d’'EINSTEIN possède ce que M. CARTAN appelle une connexion euclidienne, c’est-à-dire qu’il est possible d’y repérer de proche en proche les différentes positions d’un observateur les unes à partir des autres. Nous étudierons dans le chapitre suivant les problèmes philosophiques qui sont liés à cette connexion euclidienne des espaces riemanniens ; si on y dépasse le point de vue purement local, on n'obtient encore aucune connaissance de l'Univers dans son ensemble ; le. fossé qui sépare le point de vue local du point de vue global subsiste toujours, et c’est de cette disparité que proviennent pour M. CARTAN les principales difficultés de la théorie unitaire du champ, telle qu’EIn- STEIN l’a exposée en 1929. La métrique de l'Univers donne naissance à un système d'équations aux dérivées partielles pour lequel EINSTEIN cherche des solutions sans singularités existant dans tout l’espace. Cela exigerait la connaissance des propriétés topologiques de l’espace-temps pris dans sa totalité, comme de savoir par exemple s’il est ouvert ou fermé. « On voit ainsi, dit M. CARTAN, que la recherche des lois locales de la Physique ne peut être dissociée du problème cosmogonique. On ne peut du reste pas dire que l’un

précède l’autre ; ils sont inextricablement mêlés l’un à

l'autre (x). » L'intégration globale n’est pas le prolongement de l'intégration locale ; la solution du problème local exige une connaissance préalable de la structure de l’Uni- Vers.

Partis d’une opposition de points de vue qui semblait propre à la géométrie, nous retrouvons le même conflit dans les problèmes d’une importance philosophique considérable, puisque de leur solution dépend l'interprétation du déterminisme de la physique; ce sont des problèmes relatifs aux conditions d’existence des solutions des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles.

Les analystes du x1x® siècle ont pu établir dans la plupart des cas des théorèmes d’existence qui permettent d'affirmer l'existence et éventuellement l’unicité de la solution d’une équation différentielle ou d’une équation aux dérivées partielles, définie dans tout le domaine où une certaine inégalité est vérifiée, et cela en s'appuyant uniquement sur la connaissance de données locales, en un point origine par exemple.

C’est ainsi qu’une équation différentielle du second ordre(2)

dx2 et une seule correspondant à des conditions initiales données, à savoir que pour x = &, y prenne une valeur numé-

de la forme HO =} (x y, a) admet en général une solution

rique donnée b et prenne la valeur &. La solution d’un

pareil problème est ainsi déterminée par des conditions locales, dites de CAucHY. Mme KoWwALEWSKA a établi pour les équations aux dérivées partielles du second ordre un théo-

(1) E. CarTAN, Le parallélisme absolu et la théorie unitaire du champ. Paris. Hermann 1932, p. 18.

(2) Rappelons qu’une équation différentielle établit une relation entre une fonction d’une seule variable et un certain nombre de ses dérivées successives, tandis qu’une équation aux dérivées partielles établit une relation entre une fonction de plusieurs variables et un certain nombre de ses dérivées partielles par rapport à toutes ou à plusieurs de ces variables.