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rème analogue au théorème de CAUCHY pour les équations différentielles : si l'équation aux dérivées partielles

ou ou | 1UR = ONU 2. OU F{x x... x, U, — , ————)—=0 OK; 0X; 90Xk # Xoy —=

1 : ’ peut être résolue par rapport à . de telle sorte que l’on ait

a2u ou a2u > — f(x, Xi. AU, —, — ),1,kh=1..n 2x? 9%; "0KX: 0%

la fonction j étant holomorphe (1) par rapport à x,%1... 4,, 4, et à toutes les autres dérivées, cette équation admet une solution et une seule, holomorphe en x, x1... x,, et satisfaisant pour x — © aux conditions:

les fonctions g et h étant holomorphes en x... x,. Si l’on envisage alors l’ensemble des points x = o comme déterminant un plan ou une surface {de l’espace à n dimensions (#7 étant le nombre de variables indépendantes de l'équation), on peut interpréter (2) le théorème de Mme KowALEWSsKA en termes de déterminisme classique : La connaissance de la valeur d’une fonction et de l’une de ses dérivées sur tous les points d’une surface S permet d’affirmer l’existence et la régularité de cette fonction dans une certain voisinage de la surface S.

Pendant que l'analyse établissait ainsi des théorèmes

(1) Une fonction analytique f(z) est holomorphe dans une région connexe D du plan de la variable complexe z, si elle est continue dans D, et si à tout point z de D correspondant des valeurs uniques pour f(z) et f'(z).

(2) Voir pour tout ce paragraphe : l'Enseignement mathématique, t. XXXWV, n°% 1-2, août 1936. Ce fascicule reproduit les conférences sur la théorie des équations aux dérivées partielles faites à l’Université de Genève en juin 1935. Nous nous inspirons particulièrement de la conférence de M. HADA-

MARD, à laquelle nous empruntons également la forme des équations citées dans le texte.

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d'existence locaux, l'étude directe de certains phénomènes physiques amenait à la considération de problèmes bien différents : ce sont tous les problèmes du type du fameux problème de DIRICHLET où l’on est amené à démontrer l'existence d’une fonction satisfaisant à l’intérieur d’un volume V à une certaine équation aux dérivées partielles, ( l'équation de LAPLACE : ho ne —0) et pre- 9%? 9? CE

nant à la frontière du domaine des valeurs données à l'avance. On rencontre de pareilles fonctions dans l’étude de l'équilibre électrique ou calorifique, lorsqu'il s’agit par exemple de déterminer la température qui finira par s'établir au sein d’un domaine, sur la frontière duquel on répartit une succession continue de températures, invariables au cours du temps. Le fait physique qu’une température d'équilibre finit effectivement par s'établir, a donné aux mathématiciens la certitude de l’existence de la fonction cherchée avant même qu'ils en eussent une démonstration rigoureuse.

Si l’on réfléchit à la nature des conditions aux limites du problème de DIRICHLET, on se rend compte, remarque M. HaADAMARD, qu'il y a entre elles et les données initiales des théorèmes de CAUCHY-KOWALEWSKA, comme une profonde contradiction. Puisque, la connaissance de la valeur de la fonction en chaque point de la surface S détermine complètement cette fonction dans le cas du problème de DIRICHLET, « il apparaît évident qu’on n’a pas le droit de se donner le long de S la valeur de # et celle d’une de ses dérivées » conime on le fait dans l’énoncé du théorème général. L’apparence de contradiction est du point de vue mathématique évitable, d’une part parce que les données initiales du théorème général d’existence sont soumises à des conditions rigoureuses d’analyticité, tandis que les données « aux limites » sont de nature beaucoup plus générale, et d'autre part parce que la solution dont le théorème de Mne KowALEWSKA affirme l'existence n’est définie que pour

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un voisinage plus ou moins immédiat de la surface S tandis que dans le cas d’un problème «à la DIRICHLET » la solution cherchée doit être définie et régulière dans tout le volume V dont la surface S est la frontière. Il n’en est pas moins vrai que la théorie des équations aux dérivées partielles régit des processus physiques nettement différents : les uns, comme la propagation de la lumière, sont en évolution libre, et le schéma déterministe peut leur être parfaitement appliqué. Les autres, au contraire, sont circonscrits par les données aux limites. Il faut connaître au préälable non plus seulement des données initiales, mais les limites extrêmes entre lesquelles les phénomènes étudiés peuvent osciller. On démontre en effet que si la fonction cherchée n’est pas une constante, c’est sur la trontière du domaine, et pour des valeurs données à l’avance, qu’elle atteint, dans le cas &’un problème de DIRICHLET, son maximum et son minimum. Il semble alors que pour un phénomène physique dont l’évolution est « dirigée » et que des limites précises enserrent de toutes parts, il faille faire appel à des interprétations philosophiques inattendues en mathématiques, où le système physique serait comparable à une unité organique. Nous retrouverons du reste des considérations de ce genre au chapitre VI, et verrons de nouveau comment les recherches de maximum et de minimum ont pu parfois suggérer l’idée d’une finalité inhérente à certaines théories mathématiques et à certains phénomènes physiques.

Nous n’aborderons pas ici l'étude de ces questions, qui ressortissent du reste davantage à la philosophie de la physique et nous bornerons à l’aspect purement mathématique de la dualité de l’étude locale et de l’étude globale.

La constatation de cette dualité suggère naturellement aux mathématiciens la recherche d’une synthèse. Etant donné que des éléments composés entre eux par un processus quelconque de cheminement progressif peuvent ne donner naissance à aucun être susceptible de caractéristiques

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globales, il faudrait, pour que l’on soit sûr d’arriver à un résultat, que la structure topologique de l’ensemble se réfléchisse dans les propriétés de ses parties. Cela peut donner lieu à deux sortes de problèmes : ou bien l’on part de l’ensembie dont on connaît la structure et l’on cherche les conditions que doivent satisfaire les éléments pour être éléments de cet ensemble, ou bien l’on se donne des éléments jouissant de certaines propriétés et l’on cherche à lire dans ces propriétés locales la structure de l’ensemble en lequel ces éléments se laissent ranger (1). Dans l’un et l’autre cas on cherche à établir une liaison entre la structure du tout et les propriétés des parties par quoi se manifeste dans les parties l'influence organisatrice du tout auquel elles appartiennent.

Nous rencontrons ainsi en mathématiques des considérations qui peuvent à première vue paraître étrangères aux mathématiques et y apporter comme le reflet de certaines conceptions propres à la biologie ou à la sociologie. Il est évident que l’être mathématique tel que nous le concevons n’est pas sans analogie avec un être vivant : nous croyons cependant que l’idée de l’action organisatrice d’une structure sur les éléments d’un ensemble est pleinement intelligible en mathématiques, même si transportée dans d’autres domaines, elle perd de sa limpidité rationnelle. La prévention que le philosophe éprouve parfois à l'égard des arrangements trop harmonieux ne vient pas tant de ce qu'ils subordonnent les parties à l’idée d’un tout qui les organise, que de ce que la manière dont s'opère cette organisation de l’ensemble est tantôt d’un anthropomorphisme naïf et tantôt d’une mystérieuse obscurité. La biologie comme la sociologie manquent en effet souvent des outils logiques nécessaires pour constituer une théorie de la solidarité du tout

(1) Cette distinction se trouve dans l’article de H. Hopr que nous analy-

sons plus loin.

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et de ses parties : nous verrons par contre que les mathématiques peuvent rendre à la philosophie le service éminent de lui offrir l'exemple d’harmonies intérieures dont le mécanisme satisfait aux exigences logiques les plus rigoureuses.

Nous allons rapidement passer en revue trois théories qui nous apporteront autant de modèles où se réalise cette implication du tout dans la partie : la géométrie différentielle dans ses rapports avec la topologie, la théorie des groupes et la théorie de la représentation approchée des fonctions. Ces trois exemples nous ont paru particulièrement suggestifs parce qu’ils permettent d'arriver à une même conclusion en ce qui concerne les conditions que doit remplir la structure d’un être mathématique afin qu’au sein de cet être règne comme une solidarité organique.

Géométrie différentielle et topologie.

L'étude des relations entre la topologie, étude éminemment synthétique des êtres géométriques (1), et la géométrie différentielle a donné lieu à un grand nombre de recherches poursuivies méthodiquement sous l’impulsion de W. BLASCHKE à Hambourg : nous ne nous proposons ici qu’une analyse sommaire d’un mémoire de H. Hopr où sont contenues les idées essentielles qui dominent la question.

Hopr, se posant le problème général de savoir quels sont les liens qui peuvent exister entre les propriétés topologiques et les propriétés différentielles d’une surface, est amené à distinguer deux problèmes réciproques dont nous avons souligné plus haut l'intérêt : un problème de métrisation et un problème de prolongement. Leur énoncé est d’un tel intérêt logique que nous ne pouvons pas ne pas repro-

(1) Il s’agit ici aussi bien de la topologie « ensembliste », que de la topologie combinatoire ou topologie algébrique.

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duire le texte même de l’auteur (1) : «Le problème de métrisation est le suivant : on donne une surface topologique F. Il s’agit de déterminer sur cette surface une métrique différentielle (un ds)... Quelles sont les conditions auxquelles doit satisfaire la métrique de la surface ? Quelles propriétés métriques sont prescrites à l’avance par la topologie de F ? Par quelles limitations est restreint l'arbitraire avec lequel je puis fixer les #; à l'endroit où je commence à fixer la métrique de la surface ? » Le problème inverse, du prolongement, est le suivant : «(On me donne un petit morceau d’une surface F ; je puis examiner ce morceau avec toute la précision possible, mais par contre je n’ai pas la possibilité d’étudier la surface dans son ensemble. Quelles conclusions puisje dégager de la connaissance que j'ai du petit morceau de la surface, en ce qui concerne la surface totale et en particulier sa structure topologique ? » Ces problèmes ne peuvent être abordés que si l’on précise le sens de l’expression : « la surface totale ». Une surface n’est totale que si elle ne peut être « prolongée » à son tour en une autre surface et pour qu’il en soit ainsi, HoPr et RINOW (2) énoncent quatre conditions équivalentes dont chacune est suffisante pour faire de la surface un « tout » indépendant. Nous n'insisterons que sur l’une de ces conditions parce que nous retrouverons la nécessité d’une conditions analogue dans tous les exemples de ce chapitre ; il faut que la surface soit complète au sens de la métrique. Voici ce qu’il faut entendre par surface complète au sens de la métrique. On appelle suite fondamentale sur une surface, une suite infinie de points 42... 4…., telle qu'à partir d’un certain rang, la distance de deux points soit infiniment petite. La suite est dite convergente vers une limite À si à partir d’un certain point la

(1) H. Horr, Differentialgeometrie und topologische Gestalt. Jahresbericht der

deutschen Math. Vereinig, t. XII, année 1932, p. 209 sqq. (2) HoPpr und RINow, Über den Begriff der vollständigen Differentialgeo-

metrischen Fläche. Comment. Math. helvet., 3 (1931).

distance des points de la suite à ce point À devient également infiniment petite. S'il s'agissait de nombres réels, toute suite fondamentale serait convergente, en vertu du théorème de CAucHY, c’est-à-dire qu’elle tendrait vers une limite qui ferait elle aussi partie de l’ensemble des nombres réels. Lorsqu'il s’agit de points sur une surface, il n'en est plus toujours ainsi et la surface est dite justement complète au sens de la métrique, lorsque toute suite fondamentale converge vers une limite située elle aussi sur la surface. Lorsqu'un ensemble de points, une surface par exemple n’est pas complète, on peut la compléter en lui ajoutant les points qui lui manquent, à savoir les limites de ses suites fondamentales ; or ce qui est essentiel dans les résultats de Hopr et de RINow, c’est que des propriétés topologiques d’une surface ne se réfléchissent dans les propriétés des parties, que si la surface n’est pas susceptible d’être complétée ; ce n’est qu’à cette condition d'achèvement que sont valables les résultats que nous allons maintenant exposer.

Soit pour une surface, le fait d’être simplement connexe, c’est-à-dire telle que toute courbe fermée puisse par déformation continue être réduite sur cette surface à un point. C’est là une propriété topologique de la surface. Une surface est dite à courbure constante si une certaine quantité définie en chaque point, au moyen des coefficients £; du ds? de la surface et qu’on appelle la courbure, est la même pour toutes les valeurs des g;. La courbure étant une notion purement locale, la constance de la courbure est bien une propriété locale, définie pour chaque élément de la surface. Cela étant, on a le théorème suivant: Pour toute courbure KX il existe, à une isométrie près, une seule surface simplement connexe de courbure constante K, à savoir la surface d’une sphère, le plan euclidien ou le plan hyperbolique selon qu’on a K>0, K — o ou K <o. Si l’on abandonne la condition de simple connexion, on peut ranger les surfaces en trois classes topologiques, les classes C,, C,, C. La classe és

contient deux types : la sphère et le plan projectif; la classe C, contient cinq types: le plan, le cylindre, le tore, le cylindre non-orientable et la surface fermée non-orientable de caractéristique nulle (x) ; la classe C contient toutes les surfaces à l'exception des quatre surfaces fermées contenues dans C, et C, (sphère, plan projectif, tore et la surface fermée non-orientable qui vient d’être définie). On a alors le théorème suivant : seules les surfaces de la classe C} peuvent être à courbure constante positive, les surfaces de la classe C, à courbure constante nulle et celles de la classe ( à courbure constante négative (1). Les propriétés métriques sont donc en relation étroite avec la classe topologique de la surface totale. C’est ainsi par exemple qu’une surface à courbure constante positive est nécessairement fermée {problème de prolongement) ou que sur une surface fermée, à courbure constante, le signe de la courbure est le même que celui d’un invariant topologique global de cette surface, la Caractéristique d'EULER (problème de métrisation) (2). On voit l'importance de résultats de ce genre pour les problèmes cosmogoniques dont nous parlions plus haut. Le ds? de l’espace n’est pas déterminé par la forme de l’espace, mais le choix du ds? est soumis aux conditions très restrictives que fixe la topologie de l’espace global.

La théorie des groupes clos.

Nous allons exposer maintenant des ‘résultats dus à H. WEyL et à E. CARTAN où la métrique peut, dans certains cas, être entièrement déterminée par une propriété globale du groupe associé à l’espace en question. L'importance de

(1) La caractéristique d’une surface est une propriété de topologie algébrique sur laquelle nous reviendrons plus loin (cf. chap. VI). (2) Hopr, Differentialgeometrie und topologische Gestalt, p. 213.

ALBERT LAUTMAN

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ces résultats vient de ce qu’ils permettent de rapprocher parfois des espaces de type kleinéen et des espaces de type riemannien, malgré toutes les différences de structure que nous leur avons reconnues plus haut.

Le théorème de H. WEYL utilisé par E. CARTAN est le suivant: un groupe linéaire clos à coefficients réels, laisse invariante une forme quadratique définie positive (1). On voit tout de suite l’intérêt immense de ce théorème : le groupe est défini par des caractéristiques globales puisqu'il est clos; la forme quadratique pourra par contre servir de métrique locale, de ds?, dans un espace associé de manière convenable au groupe par rapport auquel cette forme quadratique est invariante. Dans les problèmes étudiés par M. Hopr, les propriétés globales de la surface ne pouvaient s'inscrire dans la nature des éléments infinitésimaux de la surface que si cette surface était complète ; nous retrouvons avec le théorème de WEYLI une condition d'achèvement analogue. Un groupe continu peut en effet être conçu comme engendrant une variété topologique si l’on fait correspondre à chaque transformation du groupe un point de la variété ; il n’est pas nécessaire pour que cette variété soit définie qu’elle possède une métrique, il suffit qu’elle soit constituée par un ensemble de « voisinages » satisfaisant à certaines conditions énoncées par M.CARTAN (2); on peut alors définir pour la variété d’un groupe une condition de clôture ou de fermeture qui joue dans le cas

(x) E. CARTAN, La théorie de groupes finis et continus et l'Analysis Situs Mémorial des Sc. Math., fascicule 42. Paris, 1930. Rappelons le sens de quelques termes : un groupe étant un ensemble de transformations opérant sur les points d’un. espace, est dit linéaire si les nouvelles coordonnées x'; d’un point s'expriment algébriquement en fonction des anciennes coordonnées #j par des relations du type #3 = @i, #, + Gi, X3 + ...@in 4n. Les aÿ sont les coefficients de la transformation.

Une forme quadratique de deux variables est par exemple l'expression Ax + Bxy + Cy?. Elle est définie si son discriminant est négatif.

(2) E. CARTAN, La théorie des groupes. p. 3.