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d'espaces définis par un système de voisinages le rôle d’achèvement que joue dans le cas d’espaces métriques la propriété d’être complet : Un point À étant point d’accumulation pour un ensemble infini de points distincts d’une variété, si tout voisinage de À contient au moins un point de l’ensemble distinct de À, la variété est dite close si tout ensemble infini de points admet sur cette variété un point d’accumulation. Cette propriété d'achèvement au sens de la topologie est distincte de l’achèvement au sens de la métrique mais suffit en tout cas à conférer à la structure d’un groupe un caractère de fermeture dont la présence est indispensable pour que cette structure se réfléchisse localement, dans la métrique de l’espace auquel le groupe est associé. Le théorème de WEYL ne peut s'appliquer directement aux groupes de KLEIN qui opèrent sur un espace homogène donné E, car ces groupes ne sont en général pas linéaires; aussi M. CARTAN procède-t-1l de la façon suivante : il adjoint au groupe G des transformations qui opèrent sur l’espace E, le groupe T des automorphies internes du groupe G: ce groupe adjoint se trouve être linéaire ainsi que tous ses sous-groupes. M. CARTAN considère alors un certain sousgroupe déterminé y de l (1), et démontre le théorème suivant : Si le groupe linéaire y est clos, il existe dans l’espace homogène E une métrique riemannienne invariante par G (2). Il y a là une liaison essentielle entre la topologie du groupe de KLEIN et la métrique locale d’un espace riemannien dont M.CARTAN dégage assez de conséquences pour pouvoir écrire au terme d’un article que nous avons cité plus haut : « Partis de l’antagonisme entre les géométries de KLEIN et la géométrie de RIEMANN, nous arrivons après un long détour à cette constatation que c’est sous la forme riemannienne

(r) y est le sous-groupe du groupe linéaire adjoint qui correspond au plus grand sous-groupe g de G qui laisse fixe un point de l’espace. (2) E. CARTAN, La théorie des groupes.…., p. 30 et p. 43.

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que les géométries de KLEIN montrent le mieux leurs propriétés fondamentales (1). »

Représentation approchée des fonctions.

Les domaines où nous allons étudier maintenant une solidarité entre la structure de l’ensemble et la nature individuelle des éléments, sont des ensembles de fonctions. Nous considérerons tout d’abord l’ensemble X (&) des fonctions continues, dont la valeur est un nombre complexe et qui sont définies sur un ensemble fermé de points &. Il est possible d'envisager cet ensemble de fonctions comme formant un espace l (6), satisfaisant aux axiomes des espaces vectoriels, et qu’on appelle l’espace des fonctions continues dans &. Les propriétés globales de cet espace sont essentiellement des propriétés d'achèvement comparables à celles que nous avons déjà définies plus haut ; les propriétés individuelles des fonctions qui sont éléments de cet espace concernent un mode de décomposition qui s’applique à chacune d’elles, et nous verrons le lien étroit qui unit les propriétés de l’ensemble aux propriétés des éléments.

L'achèvement au sens de la métrique se définit pour un espace de fonctions de façon analogue à l’achèvement d’un espace de points. Il suffit de définir pour deux fonctions quelconques f et g un nombre | f — g | qui est dit la distance de ces deux fonctions ; on peut alors définir sur l’espace de fonctions des suites fondamentales et des suites convergentes (au sens de la convergence uniforme) (2). L'’espace est complet si toute suite fondamentale y est conver-

(1) E. CARTAN, La théorie des groupes et la géométrie. Ens. Math., année 1027 ND N222.

(2) La distance || f-gl| de deux fonctions f(x) et g(x) est définie comme le maximum de la valeur absolue | f(x)-g(x) | , x appartenant à l’ensemble de base G.

ILE y LPRES

gente et l'espace T (8) des fonctions continues est précisément un pareil espace complet.

Pour étudier les propriétés individuelles de décomposition des fonctions continues, nous commencerons par le cas simple où l’espace de points & est un intervalle fermé [4, b] de l’espace euclidien. WETERSTRASS a démontré que si j (x) est une fonction continue dans [4, b), cette fonction peut être approchée d'aussi près que l’on voudra par un polynô-

n me en x, P(x) — 3 c; x. On a ainsi quel que soit « >= 0,

I f(x) — P{x | £ e. Cette approximation d’une fonction continue quelconque par un polynôme est immédiatement interprétable en termes de décomposition pour la fonction en question. On démontre en effet que l’on a le droit de dé-

duire de l'inégalité | f — P | <e l'égalité /(x) HS De

R—0 La fonction se décompose ainsi en une série uniformément convergente d’une infinité de termes. Si nous cherchons maintenant à préciser le sens de ce résultat, nous allons voir qu'en lui s’unissent le point de vue global d'achèvement et le point de vue de la décomposition individuelle. L'égalité CARS Ÿ c, x* concerne bien le mode particulier de décomo

position de la fonction f (x) ; mais si l’on considère la série 00 . . . 2 ’ A Sc, x*, on peut y distinguer une infinité de polynômes

#7 #”dunnombre Hoi devtermes:26c,x et de de-

k=0 gré croissant. La convergence unñhorme de cette suite de polynômes vers une limite / (x) résulte cette fois, non plus des propriétés individuelles de cette limite, mais de la propriété globale de fermeture de l’espace des fonctions continues. En d’autres termes, le fait que dans un voisinage infinitésimal de la fonction f (x) se trouve un polynôme P (x) concerne bien la fonction f (x) considérée isolément, mais ce fait se rattache immédiatement à la totalité des cas ana-

logues. Dans l’espace des fonctions continues l’ensemble