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des polynômes en x est partout dense, c’est-à-dire que dans tout voisinage de fonction continue se trouve un polynôme, et la démonstration de ce théorème fait appel à la fermeture de l’espace.

Il existe, en analyse, d’autres exemples où se montre une pareille liaison entre la structure globale d’un ensemble de fonctions et le mode de décomposition individuelle de ces fonctions. Ainsi par exemple toute fonction continue et différentiable dans l'intervalle — x < x< r est représentable en série convergente de polynômes trigonométriques (ou série de FOURIER) :

JE ee .

RIRE Fi a + Z(a, cosnx + b,sinn x); À À

les a, et les b, étant liés à l’expression de f(x) dans l’inter-

valle considéré par les formules :

I I =) f (x) cos n x dx, b, = — [ f(x) sinn x dx. ET T —T

Ce théorème peut être présenté comme une conséquence du théorème de WEIERSTRASS : l’ensemble des fonctions continues et différentiables dans l'intervalle — x < x < x forme également un espace complet, et cette propriété globale d'achèvement se traduit par un nouveau mode de décomposition individuelle des fonctions qui appartiennent à cet ensemble.

Les études qui précèdent montrent qu’il est impossible de considérer un « tout » mathématique comme résultant de la juxtaposition d'éléments définis indépendamment de toute considération d'ensemble relative à la structure du tout en lequel ces éléments s’intègrent. Il existe ainsi une descente du tout vers la partie, comme une montée de la partie vers le tout, et ce double mouvement s’éclairant à la lumière de l'idée d'achèvement, nous a permis d’observer un premier