MOUVEMENT 0E LEAD

D’après ce résultat, GuUelmini regarde chaque molécule B d’une masse liquide (y%. 2), comme tendant à se mouvoir avec une vitesse proportionnelle à la racine carrée de la distance de la molécule à la surface du liquide : c’est-à-dire que , si l’on mène la verticale A G passant par le point B, et qu’on en fasse l’axe d’une parabole A DE, les vitesses correspondantes aux profondeurs AB, A F, etc., seront représentées par les ordonnées B D et F G qui sont entre elles dans le rapport des racines carrées des abcisses.

C’est sur ce principe que repose la théorie suivante de GuUelmini sur l’hydraulique.

Supposons qu’un plan vertical percé d’une infinité de petits trous , soit placé perpendiculairement au cours d’une rivière ; les différentes vitesses de l’eau qui s’échappera par chacun de ces trous seront, d’après GuUelmini , précisément égales aux vitesses qu’avoit la rivière aux mêmes points, c’est-à-dire qu’elles seront proportionnelles aux racines carrées des distances respectives de ces points à la surfiice de l’eau.

Il résulterait de là , indépendamment de beaucoup d’autres conséquences qu’il est inutile de rapporter ici , que l’eau qui touche le fond de la rivière a la plus grande vitesse , que l’eau qui est à la surface se meut le plus lentement , et que , pour un point quelconque, la vitesse suit le rapport des racines carrées des profondeurs. Ces conséquences , cependant , ne s’accordent pas

avec ce qui a lieu en effet ; et si la théorie qui les fournit était exacte, les fleuves auraient depuis long-temps exercé de grands ravages à la surface du globe; les torrens qui se précipitent des montagnes, auraient entraîné les terres qui recouvrent les pays élevés; l’Océan aurait englouti le riche sol de nos prairies; et ces effets,' qui ne s’opèrent qu’avec une lenteur extrême et par degrés insensibles, auraient déjà depuis bien des siècles rendu tout-à-fait inhabitable ce qui est encore à présent couvert de moissons et de cités.

On s’aperçut bientôt que cette théorie était erronnée, et l’on s’efforça de la faire accorder avec les faits, en supposant que le frottement de l’eau contre le lit de la rivière, occasionait une diminution de vitesse pour les parties du liquide qui avoisinent le fond. Mais, malgré cette considération du frottement, et malgré toutes les autres modifications apportées à la théorie de Gulielmini , il fut impossible de la faire cadrer avec ce résultat d’observation : que, dans une eau courante , la plus grande vitesse est à la surface. C’est ce qui fut démontré par l’expérience suivante de Mariette , répétée depuis par Dubuat. Deux boules creuses en verre, ayant à peu près deux pouces et demi de diamètre, furent chargées de telle façon que l’une était un peu plus lourde et l’autre un plus peu légère que l’eau. On les lia l’une à l’autre par un fil, et on les plaça dans un’ courant dont on connaissait la largeur, la pro-

6 MOUVEMENT DE l’eAU

fondeur et la vitesse à la surface. La boule la plus lourde demeura constamment , en arrière, occasionant dans le fd une courbure difficile, cependant, à apprécier. En répétant l’expérience avec différentes longueurs de fil , il fut démontré, par la vitesse commune des deux boules de verre, que plus la boule inférieure approchait du fond, plus elle diminuait la vitesse de la boule placée à la surface.

Pour se convaincre fque la vitesse de l’eau augmente depuis le fond jusqu’à la surface, on plaça, dans le sens d’un courant d’eau, une petite roue extrêmement mobile sur son axe , et portant quatre bras ou ailes : les bras supérieurs se murent dans le même sens que le courant, ce qui démontre que la vitesse de l’eau était plus grande au-dessus qu’au-dessous. On remarqua de plus que la petite roue tournait avec une vitesse qui était sensiblement proportionnelle à la vitesse moyenne de la rivière (i).

La théorie parabolique attira l’attention de plusieurs savansdistingués(2), qui s’occupèrent, avec beaucoup de talent, du mouvement de l’eau dans les rivières et les canaux. Parmi tous ces savans, l’abbé Bossut est celui qui a fait les expériences les plus précises ; au mérite de l’exactitude, elles

(i) Principes d’hydraulique, par le cheyalicr Dubuat, tom. 2, pag. 89, 90.

(a) Mariotte, Bossut.

joignent encore celui d’avoir conduit ,aux expériences faites par le chevalierDubuat,(jui est enfin parvenu à renverser l’ancienne théorie , et à établir un système complet d’hydraulique pratique.

Les premières recherches du chevalier Dubuat eurent pour objet de faire voir que l’eau se meut de la même manière dans un tube pu canal ouvert seulementà ses extrémités, et dans un canal ouvert dans toute sa longueur, comme le lit des fleuves. .

Soit A B {Jîg. 3) (i) un tube horizontal dans lequel l’eau est poussée par la coJonne DA; cette colonne qui est la force motrice , peut être considérée comme produisant deux effets distincts : le premier, d’occasioner la vitesse avec laquelle l’eau se meut dans, le.tube^ le second, de surmonter la résistance qui provient du frottement. Une partie seulement; de, la colonne entière D A sera employée à produire ce dernier effet, et si nous supposons un point de division E tel que la hauteur D E soit nécessaire pour occasioner la vitesse du courant t dans le tube, ou autrement soit la hauteur due à cette vitesse-, le reste E A sera employé à surmonter la résistance du frottement dans le tube A B. D’où il résulte que si nous adaptons en E un tube £ C de même longueur et de même diamètre que A B, et que nous l’inclinions de telle

, (i) Principes d’hydraulique , tome z, pag. aS.

8 MOÜVEMEITT DE i/eAU

manière que l’extrémité de son axe coïncide avec l’axe du tube AB en C, la vitesse du courant sera précisément la même dans les deux tubes, et ils débiteront la même quantité d’eau : en effet, la force motrice dans le tube incliné, se compose du poids delà colonne verticale DE et du poids de la colonne inclinée E C ; mais ce dernier poids est égal au poids d’une colonne verticale E A de même diamètre (i) : tout est donc égal dans les deux tubes, savoir, les longueurs, les diamètres, les forces motrices et les résistances ; par conséquent les vitesses des courans et les quantités d’eau débitées doivent être les mêmes.

Pour chaque partie du tube EC, le poids de la colonne d’eau, ou la force accélératrice, est en équilibre avec la résistance qui a lieu dans cette même partie; car le poids de la colonne EK, par exemple, est au poids de toute la colonne E C , comme la résistance de E en R est à la résistance de E en C ; d’où il résulte qu’on peut raccourcir ou alonger indéfiniment le tube E G sans changer ni la vitesse du courant , ni la quantité d’eau qui s’écoule.

Si, laissant toujours la colonne, on force DA comme ci-dessus, nous alongeons le tube horizontal A B jusqu’en G, par exemple , nous augmenterons la résistance , et par conséquent il

(i) Paradoxes hydrostatiques.

DAirS LES RIVIÈRES. 9

y aura une diminution dans la vitesse et dans le volume d’eau qui s’écoulera. Pour placer un autre tube incliné, dans lequel la vitesse soit la|méme que dans le tube A G , il faudra substituer à D E la hauteur due à la nouvelle vitesse ; et si nous supposons que cette hauteur soit D 1, 1 A sera la colonne ou force nécessaire pour vaincre le frottement. Plaçant donc en I un tube I H de même longueur et de même diamètre que le tube AG, il s’écoulera la même quantité d’eau par ces deux tubes.

Ce que nous venons de dire d’un tube horizontal AB {fig. 3 ), peut s’appliquer à des tubes inclinés A B 4 )• Tirant la droite horizontale B G, nous voyons que D G est la colonne totale à laquelle est dû le mouvement; et si DE est la partie de cette colonne qui produit la vitesse, EC sera la partie employée à vaincre la résistance: plaçant donc un nouveau tube EF, de même longueur et de même diamètre que AB, et terminé à l’horizontal BC, la vitesse sera la même dans EF et A B , et l’inclinaison du tube EF étant ainsi déterminée , la vitesse et le débit ne changeront nullement, quelle que soit la longueur de ce tube.

Nous voyons donc que, dans un tube horizontal ou incliné, l’eau se meut de la même manière que dans un autre tube incliné qui serait appliqué à l’extrémité de la colonne d’eau, dont la hauteur est ' due à la vitesse dans le premier

lO MOUVEMBWT DE l’eAU

tube. Nous voyons aussi que, quant à la vitesse du courant, et à la quantité d’eau qu’il fournit, on peut remplacer le tube horizontal ou incliné par le tube oblique dont on vient de parler.

Or, la force accélératrice étant égale à la résistance , nous pouvons assimiler ce tube à une rivière dont le lit et la pente sont uniformes, et dont le courant est permanent : d’où nous pouvons tirer cette conséquence, qu’un tube fermé et une rivière , peuvent être assimilés l’un à l’autre, relativement aux circonstances qui constituent la permanence du courant.

En effet , nous pouvons regarder un tube cylindrique dans lequel le courant est uniforme et permanent, comme étant composé de deux demicylindres, l’un supérieur et l’autre inférieur, se touchant par deux surfaces d’eau, dont les molécules auront exactement la même vitesse dans l’un quedans l’autre, sans se frotter ni se retarder aucunement : maintenant, si nous enlevons le demi-cylindre supérieur, il restera un tube ouvert, semblable au lit d’un fleuve, et dans lequel toutes les circonstances du mouvement demeureront les mêmes que précédemment : le mouvement lui - même ne sera donc pas altéré. Dans cet état de choses, la force accélératrice dépend de l’inclinaison de la surface supérieure; et cette force étant en équilibre avec la résistance, ce qui constitue la permanence et l’uniformité dumouvement, il faut que la force motrice existe séparé-

DAMS DES RIVIÈIIES. II

ment : cette force motrice est la hauteur de la colonne d’eau à la source , hauteur qui peut être tellement éloignée , qu’il n’en résulte aucune pente sensible pour le fleuve.

Il faut remarquer cependant que la force motrice est aussi produite par l’inclinaison de la surface supérieure du liquide ; car, l’eau venant d’amont, et se portant vers la partie inférieure du fleuve, forme une surface inclinée que la fluidité du liquide tend à ramener à l’horizontalité , en le portant du côté où la pression est moindre : d’où il résulte que , non-seulement chaque molécule de la surface tend, par sa propre pesanteur , à marcher vers la partie inférieure du fleuve, mais qu’il y a une autre force indépendante de cette tendance , et qui provient de l’augmentation de pression dans le sens du courant , laquelle pression sollicite non-seulement les molécules de la surface à se porter en aval , mais affecte encore toutes les autres molécules renfermées dans l’intérieur de la masse liquide.

Dans le vase A G D E [Jig^ 5), qui est plein d’eau, si le liquide s’échappe en E, la force qui le fera mouvoir sera la pesanteur de la colonne AME, ME étant supposée horizontale. D’après le principe fondamental de l’hydrostatique, toutes les molécules qui sont à la même profondeur pressent également dans toutes les directions : or, ici, la surface supérieure n’étant pas horizontale , la profondeur n’est pas la même partout ;

la MOUVEMENT DE l’eAU

par conséquent, pour chaque tranche horizontale , la pression diminue dans le sens de l’inclinaison de la surface supérieure , et cette diminution de pression se fait sentir dans toute la masse du liquide. Sur la ligne F G , par exemple , les points P et Q n’étant pas à la même profondeur , le point Q ne pourra pas résister à la pression qui tend à faire marcher le point P vers G. La différence de pression qui a lieu pour les deux points P et Q se retrouverait encore en considérant deux autres points d’une même tranche horizontale prise à une profondeur quelconque audessous de ME: on peut donc en conclure, qu’il y a une force qui tend constamment à faire marcher toutes les molécules du liquide dans le sens de l’inclinaison de la surface supérieure ; et que cette force, en même temps qu’elle cause une agitation dans toute la masse fluide, et qu’elle fait mouvoir de haut en bas ou de bas en haut les différentes molécules du liquide, fait réellement aussi mouvoir ce liquide de G .en D.

C’est ainsi que s’établit le mouvement dans toute la masse d’un fluide , bien que la surface supérieure puisse rester sensiblement horizontale , comme il arrive , par exemple , lorsque cette surface est très-grande, et qu’il ne s’écoule qu’une •très-petite quantité d’eau.

Le mouvement des liquides est donc produit par la gravité : c’est l’extrême mobilité de leurs molécules qui les force à se mettre de niveau

DANS LES RIVIÈRES. l3

dans des vases fermés, ou qui les fait se mouvoir du côté où il y a diminution de pression ; et si l’on excepte ce qui se passe dans les tubes capillaires , il n’y a pas de pente , telle faible qu’elle soit, qui ne donne lieu à un courant d’eau (i).

De ce qui précède , le chevalier Dubuat conclut ce premier principe ; savoir : que dans une rivière , la force qui fait mouvoir, chacune des molécules d’eau , dépend uniquement de lapente de la surface du liquide. Par l’expression pente d'une rivière, on entend généralement l’inclinaison du lit de la rivière ; mais quand il s’agit de courant d’eau , cette expression se rapporte à l’inclinaison de la surface supérieure du liquide. Quoique le plus souvent la surface supérieure et la surface inférieure soient parallèles, il arrive ce#

(i) Cette assertion n’est point exacte, et ne pourrait l’étre qn’autant que la fluidité de l’eau serait parfaite. La yiscositc de l’eau, ou l’adhérence que ses particules ont entre elles, occasione une résistance très-petite , mais finie , qui s’oppose sans cesse à leur séparation. Cette résistance est fort difficile à déterminer, et exigerait des expériences très-délicates; mais, d’après des estimations d’une exactitude suffisante pour la pratique , le chevalier Dubuat a trouvé que la vitesse est totalement anéantie quand la pente ne surpasse pas un millionième , et il en conclut que la plus petite pente qu’on puisse donner à un canal pour que la vitesse y soit sensible, est de , ce qui revient à peu près à j de ligne pour cent toises. (^Fbjret Principes d’hydraulique, pag. 55 et suiv., tom. i. )

(^Note du Icaducteur.)

î4 MOrVEMEWT DK l’kAU

pendant que, dans certains cas, le lit d’une rivière a une pente assez considérable , tandis que la surface supérieure est sensiblement horizontale, et que l’eau ne parait avoir aucun mouvement.

Si le lit d’une rivière n’opposait aucune résis-' tance au courant de l'eau, et si la fluidité du liquide était parfaite, la vitesse de ce courant s’accélérerait de plus en plus, et acquerrait bientôt une fofce excessive à laquelle rien ne pourrait résister. Mais le frottement qui a lieu contre le lit de la rivière, et qui, par l’effet de l’adhésion se communique à toute la masse du liquide, produit une résistance qui augmente dans un certain rapport avec la vitesse. Ce rapport est à peu près celui des carrés : d’où il suit que la résistance devenant bientôt égale à la force accélératrice , la vitesse doit bientôt aussi devenir uniforme , et qu’alors il est tout-à-fait impossible qu’elle augmente ou qu’elle diminue, à moins qu’il n’arrive un changement' dans la pente ou dans les dimensions du lit de la rivière.

De là résulte ce second principe, que, quand une. rivière se meut avec une vitesse uniforme, la résistance est égale à la force accélératrice.

Il est évident que, pour les tubes ouverts dans le sens de leur longueur, ou les fleuves, la plus grande vitesse de l’eau est sur la ligne milieu de leur surface supérieure , et que , dans les tubes fermés , cette plus grande vitesse est à l’axe des tubes : c’est -une conséquence obligée de ce que

DANS LES RIVIÈRES. l 5

ces lignes sont les plus éloignées de ce qui produit la résistance. Il suit de là que , si , dans l’estimation de la force d’un courant, ou de la quantité d’eau qu’il fournit , on prenait cette plus grande vitesse pour celle de tout le courant, on arriverait à des résultats trop forts. Le point où se trouve la vitesse moyenne dépend de beaucoup de circonstances locales qui ne sont pas encore déterminées d’une manière précise ; mais, par une série d’expériences très-ingénieuses, entreprises par le chevalier Dubuat (i) , il a découvert les lois suivantes (tom. i , pag. 91 ) : •

, i" Pour les vitesses très* faibles , la vitesse de la surface surpasse de beaucoup celle du fond.

a" La différence diminue à mesure que la vitesse du courant augmente, et pour de grandes

(i) La vitesse de l’eau, an fond du courant, fut déterminée par une suite d’expériences très-délicates, faites avec des petites sphères de différentes substances, dont la pesanteur spécifique approchait beaucoup de celle de l’eau. Ces globules roulaient sur le fond bien uni d’un canal factice , avec une vitesse qui était à très-peu près celle du liquide. On trouva ainsi, que la différence entre les vitesses du fond et de la surface supérieure , était proportionnelle à la racine carrée de cette dernière vitesse. Pour connaître la vitesse moyenne , 011 mesura la dépense du canal dans un temps donné , et l’on divisa cette dépense par l’aire de la section du canal ; on arriva de cette manière à ce résultat, que la vitesse moyenne d’un courant est moyenne arithmétique entre les vitesses du fond et de la surface , mesurées toutes deux dans la section verticale passant par l’axe du canal.

l6 MOUVEMENT DE l’eA.11

vitesses, cette dififérence disparait presque entiè ; rement.

3° La grandeur du lit et la pente de la rivière, ne changent nullement le rapport entre la vitesse de la surface et celle du fond , pourvu toutefois que la vitesse moyenne demeure la même.

4° Lorsque la vitesse à la surface est constante, celle du fond est constante aussi, quelle que soit d’aillevu's la profondeur et la largeur du courant.

La vitesse moyenne est moyenne arithmétique entre la vitesse de la surface et celle du fond ; mais il est très-difficile d’estimer cette dernière par l’expérience : son rapport avec la vitesse à la surface est d’autant plus faible , que la vitesse moyenne est plus grande. M. Dubuat a cherché, par beaucoup d’expériences, la loi suivant laquelle ce rapport variait, et il est arrivé à la règle suivante , pour trouver la vitesse au fond et la vitesse moyenne, quand on connaît la vitesse à la surface.

Règle. — Si l’on extrait la racine carrée de la vitesse à la surface exprimée en pouces, et que de cette racine on retranche une unité, le reste élevé au carré sera la valeur de la vitesse au fond du lit. Ainsi, par exemple, si la vitesse au milieu de la surface est de 2 5 pouces par seconde, sera la vitesse au fond du courant, et la vitesse moyenne, d’après ce que nous

I)A.TfS LES RIVIÈRES. I7

avons dit , sera égale à > c’est-à-dire à ao

pouces

Cette règle est très-importante : en effet, la vitesse à la surface se mesure facilement , mais il n’en est pas de même de la vitesse au fond du lit ; il est donc avantageux de pouvoir conclure l’une de l’autre, et de pouvoir, par conséquent, déduire de la seule estimation de la vitesse à la surface , la vitesse moyenne d’après laquelle on doit calculer la dépense , la force et tous les effets d’un courant.

Avant que je m’occupasse de ces recherches, étant déjà convaincu de l’inexactitude du principe sur lequel repose la théorie de Gulielmiiii, je fis plusieurs expériences pour déterminer la vitesse moyenne d’un courant d’eau.

Pour y parvenir , j’eus recours au procédé suivant, qui me paraît extrêmement simple.

Je prenais une baguette bien droite , et de grosseur uniforme dans toute sa longueur, qui était à peu près égale à la profondeur du courant : un petit morceau de plomb de même diamètre que la baguette était fixé à l’une de ses extrémités, pour la faire enfoncer verticalement dans l’eau ; il est évident que la vitesse de la baguette était égale à la vitesse moyenne du courant, puisqu’elle était le résultat de toutes les vitesses qui avaient lieu depuis le fond de l’eau jusqu’à la surface.

l8 MOUVEMENT DE l’eAÜ

De la figure du lit des fleuves', formation et nature de leurs sinuosités.

La largeur d’un courant étant donnée , ainsi que l’aire de la section faite perpendiculairement au fil de l’eau, il est évident que la résistance opposée par le lit de la rivière sera la plus petite possible, si le contour de cette section est un demi-cercle; puisque, à périmètre égal, le cercle est la figure qui renferme le plus grand espace. Si la vitesse du courant, la pente et la surface des sections transversales demeurent les mêmes, les résistances opposées par le lit augmenteront proportionnellement aux périmètres des sections. £n divisant la surface de l’utie de ces sections transversales par son contour , on a ce que M. Dubuat nomme le rayon moyen ; d’où il résulte que,plus le contour estpetit, plus le rayon moyen est grand; et que, plus ce rayon moyen augmente, plus la résistance diminue ; ce que l’on exprime en disant qu’e//e est en raison inverse du rayon moyen (i).

(i) M. Dubuat (tom. i", pag. 63) donne la formule suivante pour trouver la vitesse moyenne d’un courant d’eau :

Vi— log.hyp*rb. 0*0

Dans cette formule , V représente la vitesse moyenne, par seconde de temps , exprimée en pouces.

r est le rayon moyen , c’est-à-dire le quotient de la surface

DANS LES RIVIÈKES. I9

De tous les polygones réguliers comprenant la même surface , celui qui a le plus grand nombre

de la section transversale exprimée en ponces carrés , divisée par le périmètre de cette section exprimé en pouces linéaires.

b est la distance horizontale qni correspond à un pouce d’abaissement de la surface de l’eau; autrement c’est un des côtés d’un triangle rectangle dont l’hypothénuse serait la surface de l’eau , et dont le petit côté serait un pouce. La

fractipn indique donc la pente de la rivière , et si cette

pente est d’un pouce pour mille pouces , par exemple , on aura b = 1000.

Si g est la vitesse acquise au bout de la première seconde de temps, par un corps qui tombe librement, le

mouvement de l’eau étant supposé uniforme , g X -y sera

l’expression de la force accélératrice correspondante à la

pente puisque cettç force est toujours représentée par

la vitesse qu’elle imprimerait pendant une seconde.

La résistance étant proportionnelle an carré de la vitesse

du courant , nous pouvons l’exprimer par — , m étant

ime fonction de r ou du rayon moyen, fonction qu’on dé-

termine par l’expérience. Nous aurons donc -—(ou la résistance ) r= (oula force accélératrice), d’où V j

équation fondamentale de la théorie de M. Dubnat.

D’après un grand nombre d’expériences faites avec des tuyaux de différens diamètres , le chevalier Dubuat a trouvé

que la valeur moyenne de m était 243. 7 ( r — o. i )*, ce

MOUVEMENT DE l’eAU

de côtés, s’approchant le plus d’une circonférence de cercle, a, par cette raison, le périmètre le plus petit et le rayon moyen le plus grand. La même

qui se réduit à m = X en négligeant. la fraction

o.i : et comme g est égal à 36a pouces , nous aurons m g —

\/mg