PIE

par x °«,, dont nous savons que

lim &,—= 00.

rn= 2

Dans la suite finie considérée, prenons le terme qui diffère le moins

IE

de r *; évaluons le nombre des termes p qui est indispensable pour parvenir de ce terme au terme maximum. D'après (26), p est plus grand que le plus petit nombre p' satisfaisant à la condition

+= NE ceanrs noO+(n—p}+(n—p'+if+...+(n—i)+nfin on,

car ici nous avons construit le terme maximum à l’aide de termes qui

sont les plus grands possibles.

Cette inégalité peut s'écrire encore

, * ARE (an—1)—=nfn(a,;,—1);

NS (n—p'}f+(n—p'+i) +... .+(n—i)f+néin

donc

p>n'(an—1),

car le second membre est le produit de deux facteurs dont le premier est le plus grand terme du premier membre.

Construisons maintenant S,..

D’après le raisonnement donné, le nombre des s;(1<7) qui sont

plus grands que # *est au moins ra, — 1); donc ils donnent une parue de S, d'ordre plus élevé que À + 1. Les autres termes positifs ne peuvent pas diminuer cet ordre, de même que les $, négatifs, leur somme, en valeur absolue, étant inférieure à A 2*+!', Nous avons donc

démontré que nÂAt+i

lim

Appliquons maintenant le théorème de Cesàro sur les deux fonctions

mme, N\ ni TEE lin à Tr —=0 et f(x) — \ st PE =>: DA En remarquant que, d’après un théorème de M. Appell ("), Li nk+i r bris (A Hi), et que, par suite, | fon Pr on obtient NT) : 1 ha lim — lim = ln eee, D JA ) no) (Tr) = «© S,

ce qu'il fallait démontrer.

14. Affranchissons-nous maintenant de la restriction que les coefficlients soient réels. Dans ce cas plus général, le théorème s’énonce comme 1l suit :

Supposons que Him sup.| a, |<1.

Si l’on peut ranger les s, en deux groupes de manière que tous les termes s, du premier groupe se trouvent dans un angle a <®= du plan complexe (sommet à l’origine) et si pour ces termes

li | Sn, | RE 1M SUP. —5 —®, n= © n°?

el Si, pour les autres termes, hmsup Pl,

(*) APpeLr, Sur certaines séries, etc. (Comptes rendus, t. LXXX VII).

20 P. DIENES.

L2 où a est un nombre fini ou nul, la fonction représentée par Ÿ Le

devient infinie au point 1.

Considérons, en effet, la fonction

? a PE —N SAGE I— Z dd e . n=0 qui peut s’écrire < @ AC REINE I X gp" - gp

s’accroisse de la valeur 7° jusqu'à 2°«,, il faut ajouter

au moins un nombre 7°(x,— 1) de coeflicients, car la valeur absolue

des coefficients est inférieure à l'unité. Nous aurons donc des |s,, |

situés entre les valeurs z° et »*x, au moins en nombre 7 (a, — 1); par

suite, Comme auparavant, on peut conclure que la fonction

Pour que }s,,

É ji

un

= ta sl

de même que son 5, a un ordre d’infinitude supérieur à 1 au point 1. C'est-à-dire

lim (1 — D sa, [a = co.

RAY | Ti

Mais, d’après (12), pour x positif, inférieur à 1 et assez proche de r,

Ge PUR Sd