SUR LES POINTS SINGULIERS D'ORDRE NÉGATIF

$ V. — Résumé des résultats relatifs aux points réguliers du cercle de convergence.

45. Nous allons aborder maintenant l'étude systématique des singularités. Dans cette étude, on a suivi en général deux méthodes assez distinctes (!). L’une ne suppose aucune restriction aux coefficients de la série de Taylor donnée, et, par cela même, les résultats obtenus par cette méthode acquièrent une très grande importance. Mais, comme le remarque M. Hadamard (?}, « il est à craindre que ces résultats resteront toujours trop peu nombreux ».

L'autre méthode consiste à faire des hypothèses, parfois très particulières, sur les coefficients pour traiter des singularités relativement simples. Par exemple, les beaux résultats de M. Hadamard sur les pôles des fonctions analytiques supposent que les singularités les plus voisines de l’origine sont des pôles exclusivement, ce qui revient à faire des hypothèses toutes particulières sur certains déterminants formés de coefficients de la série.

En général, si l’on veut suivre la première méthode, on ne doit supposer aucune restriction aux singularités, car ce sont celles-ci qui déterminent les propriétés limites de la suite des coefficients.

Dans ces deux derniers Chapitres de ce Mémoire, nous essayerons de trouver une position convenable qui soit intermédiaire entre ces deux points de vue, en envisageant les singularités relativement les plus simples sans supposefægien sur les autres singularités de la même fonction, c’est-à-dire sutles coefficients de la série donnée.

Pour y parvenir, nous avons besoin de résultats relatifs aux points

*) Voir Hanamarn, Série de Taylor (Scientia), p. 13.