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réguliers; donc, tout d’abord, nous allons résumer ces recherches faites en plus grande partie par MM. Hadamard, Mittag-Leffler et Painlevé. Pour cela, donnons en quelques mots la définition des moyennes arithmétiques d'ordre fractionnaire.

Soit donnée une fonction analytique

Soient Sa — à, di Ans QUAVES * pe Ki Si us Si nie Sn PRO OO CE DC On NE 2 NC ) (r) (=) (Gr?) (= Re) TE D et soient (1) Sismotrse- TS $ == ) [12 ei ee 21e mess tatare ae eue ; (AN e(r— 1 (EP) 50 re Sréoosrt I n

les moyennes arithmétiques ordinaires formées au point 1. M. Knopp (‘) a démontré que l’existence de la limite

ns Him s!

entraîne celle de la

lim

TL et que les deux limites sont égales. Tout récemment M. Schnee (?) a complété ce résultat en démontrant le réciproque.

Donc, pour généraliser cette notion, on peut partir des S/” dont la généralisation pour 7 fractionné est immédiate, étant donné que

2] I A Re Det DS Pier

(:) Kxorr, Grenswerthe von Reihen bei der Annäherung an die Konver-

genzgrenze, 1907, P. 19- (2) W. Scawse, Die Identität des Cesàroschen und Hôlderschen Grenzwertes

(Mathematische Annalen, t. LX VII, 1909, p. 110).

32 P. DIENES.

Nous posons donc, pour r positif quelconque,

1 T(r + 182", ï OT où n IAE ; se Ÿ' BE a— [ See n LMP OT) F(n—i+i) T—=0 20

car les B°*" sont des coefficients binomiaux, et nous dirons que les 5,” sont les moyennes arithmétiques (ou moyennes de Cesàro) d’ordre r formées au point 1. Cette dénomination est justifiée par le fait que,

pour 7 entier, la limite des ro

coïncide avec celles des moyennes arithmétiques. Si nous voulons former les moyennes arithmétiqnes d'ordre quelconque en un point x,, il faut mettre a,x° au lieu de a,.

16. Cela posé, nous pouvons résumer rapidement les résultats de M. Hadamard, qui a donné, dans sa Thèse (‘), deux propositions se rattachant à la représentation de la fonction dans les points réguliers de son cercle de convergence.

La première s’énonce comme il suit :

Si l’ordre de la fonction sur son cercle de convergence est inférieur à l’unité, la série elle-même converge dans tous les points réguliers de ce cercle.

La deuxième est plus générale :

St l’ordre de la fonction sur son cercle de convergence est inférieur à w, les moyennes artthmétiques des s, d’ordre w donneront pour limite dans tous les points réguliers du cercle de convergence la valeur de la fonction en ce point.

Remarquons que M. Hadamard n’emploie pas l’expression moyennes arithmétiques ; mais la formule dont il se sert et qui ne dif-

fère de ces moyennes que par un facteur dont la limite pour # — + est égale à l'unité, s’en rapproche tellement que, pour plus de conformité du langage, nous énoncerons ce théorème toujours sous cette forme.

M. Fatou (') a complété le premier théorème d'une manière intéressante en démontrant que la condition

Nr =10 ee une fois remplie, et si l’on suppose que le rayon de convergence soit égal à l’unité, la série converge dans tous les points réguliers du cercle.

Évidemment, si la série converge en un point du cercle de rayon 1, on peut toujours en conclure que

Mes = n= © Donc c’est la condition nécessaire et suffisante pour que la série converge aux points réguliers de son cercle de convergence. Par exemple, pour représenter la valeur de la fonction

ei log re

n=0 aux points réguliers du cercle de convergence de rayon 1, il faudrait se servir, d'après le premier théorème de M. Hadamard, des moyennes arithmétiques, car l’ordre de la fonction sur le cercle entier est 1, tandis que, en réalité, la série elle-même y converge, comme le montre le théorème de M. Fatou.

On peut compléter de la même manière le second théorème de

M. Hadamard, comme l’a montré M. M. Riesz (*) en démontrant que

: (4 lim 0 n=" 1

est la condition nécessaire et suffisante pour que les moyennes arith-

(1) Farou, Séries trigonométriques et séries de Taylor (Acta mathematica,

t. XXX, p. 389).

(2) Russz, Sur les séries trigonométriques sommables, 1908 (en hongrois).

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métiques des s, d'ordre r aient une limite bien déterminée dans chaque point régulier du cerele de convergence. Et cette limite représente bien la valeur de la fonction en ce point.

17. Le deuxième pas, en quelque sorte définitif, de la représentation de la fonction sur le cercle de convergence, est fait par M. Borel ("), qui a démontré que dans tous les points réguliers x, du cercle la li-

mile [-] \ s a" ln , —\( lim = ) = N\ a Li 7!

r=0 où

Sn = A + Lo + AA +... + AnTT)

existe et représente la valeur de la fonction en ces points, quels que sotent les coefficients a, de la série donnée. Cette limite s'appelle la limite généralisée des s, et

sont, pour des valeurs de & tendant vers linfini, les sommes exponentielles des s,.

Dans cette voie, c'est le premier théorème qui ne suppose rien sur les coefficients 4, et qui donne cependant une relation très précise entre les coefficients (par lesquels sont déterminées les sommes exponentielles) et allure de la fonction aux points #,. Et, ce qui nous parait le plus important, à l’aide de la sommation exponentielle on peut envisager l'allure de la fonction en un point sans s'occuper des singularités de la fonction en d’autres points : ce n’était pas le cas dans la sommation par les moyennes arithmétiques. Nous verrons que cette propriété de la sommation exponentielle, jointe à sa grande simplicité qu'elle doit, pour la plus grande partie, à l'emploi de la fonction exponentelle, nous permettra d'obtenir des résultats analogues au théo-

(') Borez, Leçons sur les séries divergentes, 1901, p. 128.

rème indiqué de M. Borel, se rapportant aux singularités de la foncton envisagée.

L'autre grand avantage de la méthode exponentielle de M. Borel est qu'elle permet de franchir le cercle de convergence. En effet, comme l’a démontré M. Borel ('), la limite généralisée des

Cie CAR co etui

existe en {ous points intérieurs du polygone de sommabilité et représente la valeur de la fonction en ces points, quels que soient les coefficients a, qui déterminent d’ailleurs le polygone de sommabilité.

Comme la singularité d’une fonction au point x, est caractérisée, en général, uniquement par les valeurs régulières de la fonction au voisinage de ce point, il est évident que cette extension du champ de représentation est indispensable pour l’étude systématique des singularités. À ce point de vue, la représentation de la fonction dans les points réguliers doit précéder toujours la recherche générale des singularités. C’est aussi pourquoi le théorème général de M. Mittag-Leffler (?) nous sera si utile dans la suite. Mais nous utiliserons ce dernier sous des formes très différentes, de sorte que nous ne pouvons pas en donner le résumé. |

Remarquons seulement que, à notre connaissance, on n’a établi à l’aide de la représentation de M. Mittag-Leffler aucune relation générale qui se rapporte aux singularités situées sur la frontière de l'étoile. Nous en proposerons deux dans la suite de ce Mémoire.

$S VI. — Des points singuliers d’ordre négatif situés sur le cercle de convergence.

18. Nous avons vu que l'ordre des points réguliers situés sur le cercle de convergence est nécessairement — +. Par conséquent, les singularités qui se rapprochent le plus de ces points sont celles dont l’ordre est négatif. Nous allons voir, en effet, qu’en cheminant vers un

(:) Borez, Lecons sur les séries divergentes, 1901, p. 126. (2) Mirrac-LereLer, cinq Notes dans les Acta mathemalica, ou encore Boret, Séries divergentes, chap. V.

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tel point à l’intérieur ou à la circonférence du cercle de convergence, la fonction tend vers une valeur bien déterminée. Nous dirons que celte valeur est la valeur de la fonetion en ce point singulier. Par

exemple, À est une telle valeur pour la fonction A + [log(1 —æx)l8.(1— xt,

où & est un nombre positif, mais n’est pas égal à un entier; 6£o et log(1 — x) représente la branche du logarithme qui s’'annule pour D'

Soit donc æ, un point singulier d’ordre négatif du cercle de conver-

gence de la fonction donnée

Ce]

Fa) pa CCS

D'après la définition de l’ordre, on peut trouver toujours un arc (a, b) contenant +, à son intérieur sur lequel l’ordre de la fonction f(æ) est négatif. Nous pouvons appliquer le théorème fondamental de M. Hadamard (Thèse, p. 72); si nous le citons textuellement, c’est que ce résultat servira de base pour les démonstrations de nos théorèmeés se rapportant aux points singuliers d'ordre négatif.

Une fonclion d'ordre w sur un arc déterminé el en ses points extrêmes peul être remplacée par une somme de deux fonctions dont l’une est d'ordre égal à w ou dépassant © d'aussi peu qu’on le veut sur le cercle entier, et l’autre est holomorphe en tous les points de l’arc considéré.

On peut donc écrire

n) a! \ HOT DITES = 0 n=0 = 0 où l’ordre, sur le cercle entier, de la fonction représentée par à bee diffère aussi peut que l’on veut de l’ordre de la fonction f(x) sur l’are (a, b), c'est-à-dire peut être supposé négatif. Mais, dans ce cas, la fonction > b,x, est continue partout sur le cercle de convergence, en parüuculier sur l’arc (a, b).

L Es Le: A r D'autre part, la fonction représentée par > &æ" est holomorphe sur

ESSAI SUR LES SINGULARITÉS DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 97 cet arc; la fonction f(x) est donc nécessairement continue sur l'arc (a, b), parce qu'elle est la somme de deux fonctions continues. On en conclut que f(x) est continue par exemple dans l'aire limitée par l'arc (a, b) et par les deux rayons OA et OB, d’où résulte la proposition qui était à démontrer.

19. Il s’agit maintenant de représenter les valeurs de la fonction aux points singuliers d'ordre négatif situés sur le cercle de convergence. Pour résoudre complètement ce problème, nous allons donner trois théorèmes, correspondant aux deux théorèmes, sous leur forme plus complète, de M. Hadamard et à celui de M. Borel.

Soit donnée la fonction

= Y= Y dE ms

n = et soit son rayon de convergence égal à 1.

Si l’on a bhnu7—0;

+ x | | NE EL la série > a," est convergente en chaque point d’ordre négatif du

cercle de convergence.

Soit, en effet, x, un tel point singulier. D’après le théorème fondamental de M. Hadamard cité tout à l'heure, on peut écrire

z LA 4 fta)=Y az — > b,27 + > AE

et il est permis de supposer que l'ordre, Q,, de DT sur le cercle

entier est négatif.

D’après (4),

log | b Q,— 1 = lim sup. log 18% rss log

c’est-à-dire, pour z assez grand,

log | b, |

log n