DRE

Cela posé, on a | br | — n1+1° de sorte que la série el DE

est convergente dans tous les points du cercle de convergence, en particulier au point x,.

D'autre part, d’après le théorème de M. Hadamard, complété par M. Fatou,

Le) N Caa®

est une série convergente. En cffet, du théorème fondamental de M. Hadamard cité plus haut, nous savons que la fonction représentée

par > &, 2" est homolorphe en tous points de l'arc (a, b), en particu-

hérenrr, él Hure, = hmito, —2b;) =:

nn =.œ = 0 On a donc finalement

Le] em Es Tiers ln LUE > QUE Ÿ br æS + > CE A T0

autrement dit, la série envisagée est la somme de deux séries convergentes; donc elle est convergente aussi.

Réciproquement, si la série est convergente en un point du cercle

de rayon 1, lim a, —0.

Donc, pour que la série soit convergente en chaque point singu- , L ? LD D = % à . .

lier d'ordre négatif du cercle de convergence, til faut et il sufjit que He 0;

Le théorème d’Abel nous assure enfin que c’est la valeur de la fonc- Uon au point singulier d'ordre négatif qui est représentée par la somme de la série.