Supposons maintenant que (27) Un

Nous démontrerons le théorème suivant :

Pour que la limite des moyennes ariüthmétiques d'ordre r existe et représente la valeur de la fonction en chaque point d'ordre négatif du cercle de convergence, il faut et il suffit que les coefficients

de la série > a, x" satisfassent à la condition (27).

Soit, en effet, x, un point singulier d'ordre négatif de la fonction donnée f(x). On peut toujours écrire

où l’ordre de la fonction représentée par > b,x" peut être supposé

négatif sur le cercle entier, car son ordre sur ce cercle diffère aussi peu qu'on veut de l’ordre de f(x) sur un arc (a, b) contenant x, à

LA E LA ! ’ A son intérieur ; d’autre part, la fonction représentée par > C,x” est ho-

lomorphe en tous les points de l'arc (a, b).

D'où l’on peut conclure, comme auparavant, que la série

Le] > Dr n=0

est convergente en chaque point du cercle de rayon 1; a fortiort, les moyennes arithmétiques de s, d'ordre quelconque ont une limite finie bien déterminée pour un point quelconque du cercle.

10 P. DIENES.

On en déduit immédiatement que

lim b, = 0 n= © @t EC . An—0 Lim + = lim © = 0

Appliquons maintenant le deuxième théorème complété de M. Hadamard à la fonction représentée par Ÿ c,x" dont le point x, est un point

régulier. On voit tout de suite que les moyennes arithmétiques d'ordre r formées au point x, ont une limite bien déterminée. Par conséquent, il en est de même des moyennes arithmétiques d'ordre r formées pour la série

Donc la limite hs (a 2)

= © existe. Enfin, d’après le théorème de M. Hôlder, généralisé par M. Knopp (‘}, en cheminant à l’intérieur du cercle de convergence vers le point x, sans que le chemin soit tangent au cercle,

lim > Arte hms (ar)

si la limite du second membre existe. Donc la limite des moyennes arithmétiques d'ordre r représente bieu la valeur de la fonction en ce point singulier x,.

Enfin, on voit aisément que la condition (27) est nécessaire pour que les moyennes arithmétiques d’ordre r aient une limite en un point d'ordre négatif du cercle de convergence. Le fait étant établi pour les points réguliers, il suffit d'utiliser Le théorème fondamental de M. Hadamard pour séparer la singularité au point considéré des singularités d'ordre plus élevé de la foncüuon.

(hrRnope, oc67/m 8007

21. Prenons maintenant le cas le plus général où les coefficients ne sont assujettis à aucune restriction. À l’aide de la sommation exponentielle de M. Borel, nous allons démontrer le théorème suivant :

La limite généralisée des s, existe et représente la valeur de la Jonction en chaque point d'ordre négatif du cercle de convergence.

La marche du raisonnement est identique à celle déjà suivie deux fois. On écrit

où la série

est convergente en chaque point du cercle de convergence. Seulement il faut montrer que les sommes exponentielles ont aussi une limite bien déterminée en tous ces points et que cette limite est égale à la somme de la série en ce point. Pour cela nous allons généraliser le théorème de Cesàro pour les fonctions entières, étant donné que nous nous servirons de cette généralisation plusieurs fois dans la suite.

Démontrons donc que,

étant deux fonctions entières et

be > 0, on «à Den" eu 7 (28) in nee À 5 Li. © = 0 b, D Dr si la limite du second membre existe.

Par hypothèse, «a 7 =A+E

42 P. DIENES.

avec lime 0) d’où An — A Or + En Un et L°] Le] - 2. De = 0 7r—=\0 EE = À + — b PAL L b x?

Il suffit donc de démontrer le théorème pour À — o, car dans ce cas

co c

; En Di De | En Da | Ln

. = Une je" .

lim | = <fim =———— —limfe, | = 0.

L= 0 Tù— 0

Supposons donc que

An 7 — ÊËn:

e étant donné d’avance, on peut trouver un indice N tel que pour x > N

E An < = OS par suite, œ N Qi Su [Yen + 2 € ; LT De Dre n=0 1 —=0

D'autre part, nous pouvons prendre x assez grand pour que

ESSAI SUR LES SINGULARITÉS DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 43 N CD ant est un polynome. Donc finalement n=0 — N a, x" cpascl Lies < 5.

N DA PAL dd

ce qu'il fallait démontrer,